一維定態(tài)薛定諤方程的理論求解及MATLAB的仿真實(shí)現(xiàn)研究

王文慧

摘?要：量子力學(xué)的提出可謂是20世紀(jì)物理學(xué)上一個劃時代的里程碑。經(jīng)過一百多年的歷史證明，量子物理學(xué)說明了物質(zhì)屬性及其微觀結(jié)構(gòu)這個根本性問題，同時也促進(jìn)了一些高科技產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。簡述了量子力學(xué)的發(fā)展歷程。在理想無限深方勢阱下對一維定態(tài)薛定諤方程使用兩種求解方法，一種是傳統(tǒng)的理論求解，適用于簡單勢阱下的粒子運(yùn)動;另一種是借助MATLAB軟件進(jìn)行特解求解，適用于復(fù)雜的勢阱情況。為了全面描述粒子的運(yùn)動狀態(tài)，結(jié)合概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)來進(jìn)行描述，適用于多個勢阱條件。

關(guān)鍵詞：量子力學(xué);薛定諤方程;無限深方勢阱;MATLAB

中圖分類號：TB?????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.14.098

1?緒論

經(jīng)典力學(xué)中以牛頓運(yùn)動定律為基礎(chǔ)的部分作為力學(xué)的一個分支最早被認(rèn)為是力學(xué)的基本綱領(lǐng)。原因是牛頓運(yùn)動定律能很好地解釋宏觀生活中的許多物理現(xiàn)象，被人們廣泛接受與認(rèn)可，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。例如，人們根據(jù)牛頓的理論預(yù)測并發(fā)現(xiàn)了海王星。然而十九世紀(jì)以來，隨著人們對物理學(xué)研究的不斷深入，經(jīng)典力學(xué)的局限性也逐漸顯露出來。例如黑體輻射，英國物理學(xué)家瑞利根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)和電磁理論推導(dǎo)出黑體輻射的能量分布公式僅適用于長波，發(fā)現(xiàn)短波部分與實(shí)驗(yàn)的反差嚴(yán)重，這一現(xiàn)象被稱為“紫外災(zāi)難”。出現(xiàn)的問題還有光電效應(yīng)中的紅限頻率，比熱困難等等。這些問題的出現(xiàn)激勵著物理學(xué)家不斷的進(jìn)行思考、實(shí)驗(yàn)，推動了相對論和量子力學(xué)的誕生。

利用普朗克的量子假說與愛因斯坦提出的光量子概念得出的普朗克-愛因斯坦關(guān)系式可以很好地解釋了黑體輻射，光電效應(yīng)以及康普頓效應(yīng)。波爾的量子論可解釋氫原子能級及線狀光譜。德布羅意波的提出，指明當(dāng)波長與客觀尺寸相比擬時，波動性就顯得很重要。因此在微觀世界中，不能使用經(jīng)典力學(xué)分析，只能使用波動力學(xué)。薛定諤方程（Schrdinger equation）是將德布羅意波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，由奧地利物理學(xué)家薛定諤提出。薛定諤方程表明在量子力學(xué)中，粒子以概率的方式出現(xiàn)，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)來決定?？梢悦枋鑫⒂^粒子的運(yùn)動，每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式。當(dāng)勢函數(shù)不隨時間變化時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。本文主要研究定態(tài)下一維薛定諤方程的求解問題。

目前量子力學(xué)的研究，推動了晶體管，能量回收，量子密碼等領(lǐng)域的發(fā)展，使隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，量子計(jì)算機(jī)，瞬時通信，遠(yuǎn)距傳輸?shù)瘸蔀榭赡堋?/p>

此外本文還使用MATLAB軟件進(jìn)行了結(jié)果的形象化處理，其高效的計(jì)算能力，讓求解薛定諤方程從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中脫身。其次，MATLAB具有很強(qiáng)的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果可視化。

2?薛定諤方程

隨著物理學(xué)研究的不斷深入，經(jīng)典力學(xué)開始遇到困難。如關(guān)于熱輻射經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，1893年，威廉·維恩提出一個數(shù)學(xué)公式ρνdν=C1ν3e-C2ν/Tdν 此公式在光譜的短波部分的測定值與計(jì)算值完全一致，然而卻不適用于中波，長波部分。1900年，英國物理學(xué)家瑞利根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)和電磁學(xué)理論，推導(dǎo)出黑體輻射的能量分布公式為ρνdν=8πc3kTν2dν 而此式只適用于長波，在短波部分是無窮值，E=∫SymboleB@

0ρνdν=8πc3kT∫SymboleB@

0ν2dν→SymboleB@

可相反的是實(shí)驗(yàn)得出結(jié)果是零。這個反差強(qiáng)烈的嚴(yán)重問題，被稱為“紫外災(zāi)難”，令許多物理學(xué)家感到費(fèi)解。

十九世紀(jì)末，赫茲和湯姆孫在驗(yàn)證電磁波和發(fā)現(xiàn)電子的實(shí)驗(yàn)中也遇到了困難。經(jīng)典物理學(xué)理論被一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果推翻：不僅逸出電子的最大初動能與光強(qiáng)無關(guān)，存在紅限頻率，而且光電子幾乎是瞬時逸出的。經(jīng)典的比熱理論也遇到了一些困難：杜隆-珀蒂定律CPCν=3R只適用于常溫實(shí)驗(yàn)條件下;束縛態(tài)電子為何對比熱貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì);為何在常溫下，大多數(shù)雙原子分子和多原子分子振動自由度會被凍結(jié)，對比熱也沒有貢獻(xiàn)。

經(jīng)典物理學(xué)中遇到的種種困難推動了量子理論的發(fā)展。在1900年，普朗克提出一個經(jīng)驗(yàn)公式，非常符合黑體輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？偨Y(jié)普朗克的量子化理論，黑體和輻射場交換能量只能以吸收或者發(fā)射“量子”的方式進(jìn)行，以ε單位吸收或發(fā)射，能量保持不連續(xù)的變化。 1905 年，愛因斯坦普朗克能量子的假說進(jìn)行進(jìn)一步解釋，提出了光量子的概念：假定光是由光子組成的粒子流，每個光子的能量的計(jì)算方法為ε=hν，其中，，ν表示光的頻率，h是普朗克常數(shù)。而后，德布羅意對波粒二象性和德布羅意波的提出為量子力學(xué)的建立做出了極大貢獻(xiàn)。

德布羅意覺得“任何物質(zhì)都伴隨以波，而且不可能將物質(zhì)的運(yùn)動和波的傳播分開”。那么我們?nèi)绾稳グl(fā)現(xiàn)呢？由λ=hmv可知對于宏觀物體物質(zhì)波幾乎微不可察，而在微觀世界，粒子與相應(yīng)的德布羅意波長可相比擬，波動性才顯著，這時不能使用經(jīng)典力學(xué)分析，只能使用波動力學(xué)。

波函數(shù)的形式可以表示為：

φ（r→，t）=ei（p→·r→-Et）/h（1）

其中 r→表示位置，是矢量 ;t表示時間，為標(biāo)量;p→和E分別表示粒子的動量和能量;h為約化普朗克常數(shù)。式（1）對時間求導(dǎo)：

φ（r→，t）t=φ（r→，t）·（-iEh）ihtφ（r→，t）=Eφ（r→，t）（2）

式（1）對r→求導(dǎo)：

-ihSymbolQC@

φ（r→，t）=p→φ（r→，t）-h2SymbolQC@

2φ（r→，t）=p→2φ（r→，t）（3）

（SymbolQC@

為拉普拉斯算子）

由E=p→22m及式（2）（3）得：

（iht+h22mSymbolQC@

2）φ（r→，t）=（E-p→22m）φ（r→，t）=0（4）

ihtφ（r→，t）=-h2SymbolQC@

22mφ（r→，t）（5）

考慮勢場V（r→）中運(yùn)動的粒子，根據(jù)經(jīng)典粒子的能量關(guān)系式：

E=p→2/2m+V（6）

將式（6）代入（4）可得：

ihtφ（r→，t）=（-h22mSymbolQC@

2+V）φ（r→，t）（7）

此為薛定諤在1926年提出的方程，揭示了原子世界中物質(zhì)運(yùn)動的基本規(guī)律。

3?無限深方勢阱下求解薛定諤方程

3.1?一維定態(tài)薛定諤方程

設(shè)粒子質(zhì)量為m，沿x方向運(yùn)動，勢能為V（x），可得此時薛定諤方程為ihtφ（x，t）=-h22m·2x2+V（x）φ（x，t）（8）

定態(tài)即具有一定能量E的狀態(tài)，定態(tài)下波函數(shù)形式為：

φ（x，t）=φ（x）e-iEt/h（9）

將（9）代入到（8），φ（x）滿足如下能量本征方程：

-h22m·d2dx2+V（x）φ（x）=Eφ（x）（10）

d2dx2φ（x，t）+2mhE-V（x）φ（x，t）=0

令f（x）=2mhE-V（x）則一維定態(tài)薛定諤方程的形式為：

d2dx2φ（x，t）+f（x）φ（x，t）=0

3.2?無限深方勢阱通解的理論推導(dǎo)

在理想無限深方勢阱中 V（x）=0，0

，xa，當(dāng)0

令k=2mEh2代入（11）此時（11）式可化為φ（x）=Asin（kx+φ）的形式。由于理想條件下，粒子穿透阱壁的可能性為零，所以φ（0）=0φ（a）=0，由上式可解得：

φ=0sinka=0，所以ka=nπn=1，2，3……

對于En能級波函數(shù)記為φn（x）?則?φn（x）=Ansin（nπax）（12）

利用歸一化條件∫a0φn（x）2dx=1∴An2=2aAn=2a，將An=2a代入（12）得歸一化的波函數(shù)為φn（x）=2asin（nπax）。

上文已經(jīng)求解出函數(shù)φn（x）及φn（x）2的形式，是普通的正弦函數(shù)形式，接下來通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，形象化表示出在不同位置粒子出現(xiàn)的概率。φn（x）和φn（x）2在不同n值情況下的函數(shù)圖如圖一所示，左側(cè)一列是φn（x）的函數(shù)圖，中一列是φn（x）2的函數(shù)圖，從第一行到最后一行分別是n=1，2，3，4，5，6。對于左側(cè)這列圖像，可以看出，幾乎都均勻分布在φ=0的兩側(cè)，而對于φn（x）2表示概率密度的這條函數(shù)曲線表達(dá)的是當(dāng)前位置出現(xiàn)粒子的概率大小。

3.3?MATLAB求無限深方勢阱的特解

MATLAB軟件功能非常強(qiáng)大，對于微分方程的求解方面也有相應(yīng)函數(shù)可以解決，對于一個未知的變量連同它自己的微分變量由一個方程聯(lián)系起來的關(guān)系就稱之為微分方程，如一維定態(tài)薛定諤方程即為二階微分方程，因?yàn)橛卸挝⒎猪?xiàng)。無限深勢阱中的薛定諤方程的形式為：

d2dx2φ（x，t）+kφ=0（13）

k=2mEh2其中，想要快速求解這個二階微分方程，在這里我們假定勢阱邊界a=1，n=1，k=π，這樣可以使用MATLAB求解方程的函數(shù)dsolve函數(shù)，此函數(shù)可以直接將需要求解的方程寫入，dsolve（‘微分方程，自變量），例如：y=dsolve（'D2y+（pi^2）*y=0'，'x'），這個語句可以獲得一個通解：y =C1*exp（（-k）^（1/2）*x） + C2*exp（-（-k）^（1/2）*x），其中C1和C2根據(jù)不同的初始條件就可以給定不同的數(shù)值;另外dsolve函數(shù)還可以直接給定初始條件來確定所求微分方程的特解，dsolve（‘微分方程，初始條件1，初始條件2，自變量），在無限深勢阱中，邊界的y都為0，求解函數(shù)可以寫為y=dsolve（'D2y+（pi^2）*y=0'，'y（0）=0'，'y（1）=0'，'x'），運(yùn)行之后得到的解為y =C3*sin（pi*x），根據(jù)薛定諤方程的歸一化條件，可以很快求解出C3=2。無限深勢阱條件下的薛定諤方程的特解為φ1（x）=2sin（πx）。使用MATLAB求特解需要注意的是需要使用sym類型將方程中的自變量和因變量聲明為符號變量，才可以順利的得到結(jié)果。

3.4?無限深勢阱條件下粒子位置的概率分布

上文根據(jù)理論推導(dǎo)方法和借助MATLAB軟件求特解的方法求出了無限深勢阱中粒子分布的概率密度函數(shù)（圖1中間列所示），這個圖可以清晰的描繪出粒子落在區(qū)間中的概率高低，概率密度值越大，代表粒子出現(xiàn)的概率越大，而粒子落在某個區(qū)域的概率并不能從概率密度函數(shù)圖中直觀的看出，這時我們就需要計(jì)算概率密度函數(shù)的概率分布函數(shù)，這個函數(shù)一般是來刻畫某個隨機(jī)變量m小于某一數(shù)值x的概率，在這里我們假設(shè)概率分布函數(shù)用P來表示，P（x）指的是粒子出現(xiàn)的位置小于x的概率，概率分布函數(shù)就是概率密度函數(shù)的積分，在MATLAB中可以直接使用函數(shù)int來進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖1最右一列表示。從圖中可以看出每條曲線的x=1對應(yīng)的概率值都為1，對應(yīng)了薛定諤方程歸一化的性質(zhì)。

另外這六條曲線中，總會出現(xiàn)一定的平臺，這些平臺說明，對應(yīng)位置粒子出現(xiàn)的概率幾乎為0，對應(yīng)概率密度函數(shù)的最低點(diǎn)。若使用電子束來模擬粒子，則平臺出現(xiàn)的位置就是暗條紋出現(xiàn)的位置，斜率越大，條紋越明亮。使用概率密度函數(shù)結(jié)合概率分布函數(shù)這樣的分析方法，對復(fù)雜勢阱的分析理解將會有一定的幫助。

4?結(jié)論

本文通過對經(jīng)典力學(xué)的局限性的介紹，引出了物理學(xué)家對這些局限性問題的研究并提出了相對論和量子力學(xué)。另外，本文以無限深勢阱為例，給出兩種求解方式一種是傳統(tǒng)的理論計(jì)算，使用于簡單勢阱下的求解，對于比較復(fù)雜的勢阱，不具備理論求解的條件下，可以使用MATLAB軟件來進(jìn)行求解。對于理解勢阱中粒子的分布位置，一般都是使用概率密度函數(shù)來分析，本文通過MATLAB軟件求解出概率密度函數(shù)對應(yīng)的概率分布函數(shù)，更加直觀的獲得粒子位置的概率信息，驗(yàn)證了解的形式與性質(zhì)，對于復(fù)雜勢阱中粒子運(yùn)動狀態(tài)的研究具有深刻的意義。

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