矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)中的應(yīng)用

李群

摘要：矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種重要形式。不僅可以解決很多線性代數(shù)中的問題，也可以解決物理中的一些問題。本文以矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型為研究對(duì)象，通過舉例的方式，探討了矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：矩陣；等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型；量子力學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O15文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1671—1580（2015）10—0150—02

一、引言

矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種既特殊又重要的形式，它可以解決代數(shù)中的許多問題，例如利用矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型來研究矩陣的一些性質(zhì)，廣義逆矩陣等等。本文是把量子力學(xué)和代數(shù)中的矩陣聯(lián)系起來，把矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型應(yīng)用在物理學(xué)的量子力學(xué)中。

矩陣A和B是等價(jià)的，如果矩陣B可以由A經(jīng)過一系列初等變換得到，同樣也可以這樣表達(dá)：兩個(gè)n×m矩陣，A，B若存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B，則稱這兩個(gè)矩陣，A，B是等價(jià)的。

矩陣Ir0

00為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是這樣定義的：A是一個(gè)m×n矩陣，并且A的秩為r，則A等價(jià)于矩陣Ir0

00.

二、在物理中關(guān)于量子力學(xué)的應(yīng)用

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣在量子力學(xué)中的應(yīng)用，這是物理學(xué)中比較重要的一個(gè)應(yīng)用。

等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形在量子力學(xué)中主要應(yīng)用在線偏振器的表示和密度矩陣的求解中。

在力學(xué)中， 線偏振器是這樣定義的，由入射自然光得到偏振光的器件稱為線偏振器，當(dāng)透振沿X軸的方向時(shí)，瓊斯矩陣可以很容易得到為10

00， 根據(jù)上面的定義，我們可以知道它是等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。當(dāng)入射光E連續(xù)通過兩個(gè)或兩個(gè)以上偏振器時(shí)，輸出光是它們的疊加，輸出的光可表示為E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 為依次通過的各偏振器的瓊斯矩陣，那么很容易看出偏正態(tài)變?yōu)楹唵蔚木仃囘\(yùn)算，又回歸到數(shù)學(xué)的運(yùn)算之中了。

例1設(shè)有一條偏線振光滿足振幅為A，并且振動(dòng)方向是X軸，先通過一透振方向與X軸方向的偏振片，再通過一塊沿軸X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正態(tài)和強(qiáng)度。

對(duì)于上式進(jìn)行分析，不難得出輸出光的x，y分量偏振幅均為A2，這兩個(gè)振動(dòng)相位差為π2，很容易看出，出射光和左旋圓偏正光的形式是一樣的，那么它就為左旋圓偏正光，I=（A2）為出射光的強(qiáng)度，入射光線的強(qiáng)度為π2.

例2 量子態(tài)|φ>相應(yīng)的密度矩陣的矩陣元Pn′n出現(xiàn)（不為0時(shí)），量子態(tài)|φ>必含有|n>和|n′>態(tài)，Pn′n的值與|n>和|n′>態(tài)在態(tài)|φ>中出現(xiàn)的幾率和相位都有關(guān)，如|φ>就是F的某一個(gè)本征態(tài)|k>，則Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一個(gè)對(duì)角矩陣，而且對(duì)角元中只有一個(gè)元素ρkk′不為0，且ρkk′=1，求電子自旋σx=±1的本征態(tài)在pauli表象（σZ表象）中的密度矩陣，進(jìn)而求它在σx表象中的密度矩陣。

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