基于能量法與遺傳算法的直齒輪振動(dòng)分析與優(yōu)化

韓 煒，田韶鵬

(1.武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070；2.武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070)

在實(shí)際生產(chǎn)加工過程中，為了改善齒輪的傳動(dòng)性能，減小齒輪的振動(dòng)和噪聲，通常采用齒輪修形方法，即針對(duì)性地去掉輪齒的部分材料來消除輪齒的碰撞沖擊，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)力的平穩(wěn)傳遞。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于齒輪修形已經(jīng)做了大量的研究。Sun等[1]基于薄片理論建立了修形齒輪的時(shí)變嚙合剛度模型，并依據(jù)該模型分析了齒輪不同參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響。Ma等[2]利用有限元方法研究齒輪的修形量與齒輪的嚙合剛度和傳遞誤差之間的關(guān)系，并且分析了與齒輪振動(dòng)特性的關(guān)系。陳洪月等[3]對(duì)漸開線直齒輪的傳遞誤差進(jìn)行研究，利用多目標(biāo)遺傳算法分析了修形量、修形起始點(diǎn)和修形曲線與齒輪傳遞誤差的關(guān)系。楊麗等[4]提出一種基于Kriging模型和遺傳算法的齒輪修形優(yōu)化算法，并通過實(shí)例證明了該算法的修形有效性。筆者根據(jù)已有的研究，結(jié)合齒廓修形理論，首先基于能量法建立了齒輪嚙合剛度計(jì)算模型并驗(yàn)證了該方法的有效性， 然后以齒輪的傳遞誤差峰值為優(yōu)化目標(biāo)，利用遺傳算法確定了齒輪的修形參數(shù)，最后利用實(shí)例驗(yàn)證了模型和計(jì)算方法的有效性。

1 齒輪修形原理及方法

1.1 齒向修形原理及方法

齒向修形是指為了彌補(bǔ)齒輪的受載變形情況，在齒向方向上去除一定的材料，使齒輪的受力主要在齒面中心的位置。通常使用的齒向修形方法是齒向修鼓，如圖1所示。對(duì)齒輪進(jìn)行修鼓可以有效地彌補(bǔ)齒輪由于加工安裝誤差和受到載荷影響時(shí)所產(chǎn)生的變形。

圖1 齒向修鼓原理

齒向鼓形量Cc的選擇是一個(gè)非常重要的問題，其大小對(duì)齒輪的受載性能有很大的影響。通常修形時(shí)參考經(jīng)驗(yàn)公式，由ISO標(biāo)準(zhǔn)給出的鼓形量計(jì)算公式為[5]：

Cc=0.5Fβx

(1)

式中：Fβx為等效歪斜度。

1.2 齒廓修形原理及方法

齒輪在運(yùn)動(dòng)工作時(shí)會(huì)發(fā)生嚙入嚙出的碰撞沖擊，利用齒廓修形可以有效避免這一現(xiàn)象，齒廓修形通過在齒輪的齒面方向上去除一定的材料來使主從動(dòng)輪的基節(jié)大小相同，從而使齒輪嚙合更加精確。齒廓修形原理如圖2所示。齒廓修形方案的確定主要包括3個(gè)參數(shù)：最大修形量Δmax，修形長(zhǎng)度L和修形曲線。最大修形量Δmax會(huì)對(duì)齒輪的振動(dòng)和噪聲產(chǎn)生很大的影響，通常要在實(shí)際的工作條件下進(jìn)行試驗(yàn)來確定，這里根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)采用經(jīng)驗(yàn)公式[6]計(jì)算。

(2)

式中：KA為工況系數(shù)；Ft為圓周力；b為齒寬；εα為端面重合度；Cγ為齒輪嚙合剛度。

圖2 齒廓修形原理

修形長(zhǎng)度L在齒廓修形中也是很重要的參數(shù)，一般分成長(zhǎng)修形和短修形，根據(jù)不同的情況采用不同的修形長(zhǎng)度，如圖2所示。長(zhǎng)修形的修形長(zhǎng)度是指從單齒嚙合區(qū)的終點(diǎn)到齒頂?shù)木嚯x，短修形的修形長(zhǎng)度為長(zhǎng)修形的修形長(zhǎng)度的一半。修形長(zhǎng)度的公式為[7]：

長(zhǎng)修形L=Pb(εα-1)

(3)

短修形L=Pb(εα-1)/2

(4)

式中：Pb為基圓節(jié)距。

在齒廓修形中采用不同的修形曲線會(huì)對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生不同的影響，通常使用的修形曲線有直線、拋物線和雙曲線等[8]。其中直線修形方程為：

(5)

拋物線修形方程為：

(6)

式中：x為嚙合位置的相對(duì)坐標(biāo)，其中沿嚙合線的方向，坐標(biāo)原點(diǎn)取單雙齒嚙合的交替點(diǎn)位置；Δ為x處的修形量。

2 能量法計(jì)算輪齒嚙合剛度

2.1 能量法計(jì)算嚙合剛度原理

在分析輪齒的嚙合剛度時(shí)，利用有限元方法可以獲得相對(duì)精確的結(jié)果，但是這種方法需要花費(fèi)大量的時(shí)間，計(jì)算效率較低。在對(duì)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化時(shí)，利用解析法計(jì)算齒輪的嚙合剛度可以提高計(jì)算效率，為齒輪的修形優(yōu)化提供基礎(chǔ)，下面主要研究基于能量法計(jì)算齒輪的嚙合剛度。

齒輪的嚙合剛度分為5個(gè)部分：彎曲剛度kb、剪切剛度ks、壓縮剛度ka、赫茲接觸剛度kh和基體剛度kf[9]。在直齒輪傳動(dòng)過程中，每一個(gè)輪齒都可以當(dāng)作為一個(gè)變截面懸臂梁，齒輪在受力的情況下會(huì)出現(xiàn)變形。直齒輪輪齒變截面懸臂梁模型如圖3所示。

圖3 直齒輪輪齒變截面懸臂梁模型

齒輪在外部載荷力F的作用下，會(huì)在齒輪內(nèi)儲(chǔ)存能量，這些能量可以分為4部分，即彎曲勢(shì)能Ub、剪切勢(shì)能Us、壓縮勢(shì)能Ua和赫茲勢(shì)能Uh。根據(jù)材料力學(xué)理論，各部分勢(shì)能可表示為[10]：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：F為沿嚙合線方向的作用力，將其分解為沿水平方向的力Fa和沿豎直方向的力Fb；B為齒寬；d為在齒高方向上嚙合點(diǎn)到基圓的距離；h為嚙合點(diǎn)到輪齒中心線的距離；Ix為與基圓距離為x處的截面慣性距；Ax為橫截面面積；E、G和ν分別為彈性模量、剪切模量和泊松比。

經(jīng)過處理可以得出各部分的剛度為：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：α1為嚙合力F與沿齒輪中心線的垂直方向的夾角。

輪齒由于受力發(fā)生形變，沿嚙合線方向上產(chǎn)生的等效剛度即為基體剛度，可以表示為：

(15)

式中：L*、M*、P*、Q*為系數(shù);uf為力Fb到危險(xiǎn)截面的距離；Sf為齒根危險(xiǎn)截面的寬度[11]。

綜上所述，一對(duì)齒輪的綜合嚙合剛度為：

k=

(16)

式中：下標(biāo)1和2分別表示主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪。

2.2 對(duì)比分析

在齒輪的嚙合剛度計(jì)算和傳遞誤差的計(jì)算中，通常采用有限元方法，這種方法的計(jì)算精度較高，但是花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)。為了驗(yàn)證利用能量法得到輪齒嚙合剛度的正確性，選取一對(duì)齒輪進(jìn)行嚙合剛度的分析，并且與有限元方法的結(jié)果進(jìn)行比較。所研究的一對(duì)齒輪的參數(shù)如表1所示。保持從動(dòng)輪不動(dòng)，對(duì)主動(dòng)齒輪施加轉(zhuǎn)矩。齒輪的有限元模型如圖4所示。

表1 齒輪參數(shù)

圖4 齒輪有限元模型

將利用有限元方法得到的計(jì)算結(jié)果和基于能量法獲得的計(jì)算結(jié)果兩者比較，如圖5所示，可以看出兩種方案的結(jié)果曲線形狀大致相同，分析得出的嚙合剛度值十分接近。在單齒嚙合區(qū)，利用有限元方法計(jì)算出來的最大嚙合剛度為2.715×108N/m，能量法計(jì)算的最大嚙合剛度為2.738×108N/m，能量法相對(duì)于有限元方法的計(jì)算誤差為0.84%；在雙齒嚙合區(qū)，利用有限元方法計(jì)算出來的最大嚙合剛度為4.671×108N/m，能量法計(jì)算的最大嚙合剛度為4.724×108N/m，能量法相對(duì)于有限元方法的計(jì)算誤差為1.12%。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，能量法的計(jì)算結(jié)果與有限元法的結(jié)果基本相吻合，這驗(yàn)證了利用能量法計(jì)算的正確性，為下面的齒輪修形優(yōu)化打下了基礎(chǔ)。

圖5 能量法和有限元法計(jì)算的嚙合剛度對(duì)比

3 基于遺傳算法的齒輪修形優(yōu)化

3.1 遺傳算法的原理

遺傳算法是仿照自然界中的遺傳進(jìn)化原理的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化算法[12]。

利用遺傳算法產(chǎn)生問題的初始種群后，根據(jù)不同適應(yīng)度情況來區(qū)分不同染色體的優(yōu)劣情況，然后對(duì)種群進(jìn)行遺傳操作。其中，選擇的過程可以產(chǎn)生性能更優(yōu)的種群，變異和交叉可以生產(chǎn)新的個(gè)體，擴(kuò)大搜索范圍保證種群的多樣性，這樣獲得的后代的整體適應(yīng)度會(huì)越來越高。新的種群中遺傳了上一代的優(yōu)點(diǎn)，相比于上一代，性能更加優(yōu)良。這樣經(jīng)過反復(fù)遺傳進(jìn)化之后，逐漸趨近于問題的最優(yōu)解，直到滿足終止條件。

3.2 遺傳算法的優(yōu)化過程

遺傳算法主要分為問題的編碼、初始種群的定義、適應(yīng)度函數(shù)的分析以及選擇、交叉、變異等操作。遺傳算法的優(yōu)化流程如圖6所示。筆者以齒輪修形過程中的修形長(zhǎng)度、最大修形量和齒向鼓形量為優(yōu)化參數(shù)。首先對(duì)問題中的修形參數(shù)進(jìn)行二進(jìn)制編碼，便于后續(xù)的計(jì)算。然后確定初始研究種群的規(guī)模和個(gè)體，初始種群規(guī)模個(gè)體數(shù)為n=100。然后定義適應(yīng)度函數(shù)，分析群體中不同個(gè)體的適應(yīng)度情況，設(shè)定適應(yīng)度函數(shù)為齒輪傳遞誤差的倒數(shù)，這樣定義后個(gè)體的適應(yīng)度值越大，說明所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量越好，按此方法分析群體中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值并根據(jù)大小進(jìn)行排序。然后進(jìn)行選擇、交叉和變異操作。其中，選擇操作采用輪盤賭的方式，即根據(jù)每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值在整個(gè)種群的適應(yīng)度值總數(shù)里所占的百分比來確定每個(gè)個(gè)體能夠被選擇到進(jìn)入下一代的幾率。交叉和變異操作可以在種群中產(chǎn)生新的個(gè)體，這里設(shè)定交叉概率為0.5，變異概率為0.5。通過上述步驟能夠獲得新一代的個(gè)體，判斷種群中個(gè)體的優(yōu)劣情況。這樣經(jīng)過遺傳進(jìn)化到第K代時(shí)，若群體收斂則停止計(jì)算，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直至滿足終止條件。

圖6 遺傳算法優(yōu)化流程

4 計(jì)算實(shí)例與分析

以一對(duì)直齒輪為例，驗(yàn)證所提出方法的有效性，齒輪的詳細(xì)參數(shù)及工況參數(shù)如表1所示。利用所提出的遺傳算法和能量法相結(jié)合的齒輪修形算法，對(duì)目標(biāo)齒輪進(jìn)行修形分析。根據(jù)齒輪嚙合參數(shù)計(jì)算模型，應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行編程，利用遺傳算法搜尋齒輪修形參數(shù)的最優(yōu)解，設(shè)定最大遺傳進(jìn)化次數(shù)為100，初始種群數(shù)為100，交叉和變異概率為0.5，最大修形量的搜索范圍為[0 μm，8 μm]，修形長(zhǎng)度的搜索范圍為[0 mm，6 mm]，齒向鼓形量的搜索范圍為[0 μm，8 μm]，完成齒輪修形參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，遺傳算法的優(yōu)化搜尋過程如圖7所示。

圖7 遺傳算法優(yōu)化搜尋曲線

表2為基于能量法和遺傳算法的齒輪修形方法、ISO修形方法以及修形前的齒輪修形參數(shù)及傳遞誤差峰值的情況，圖8為不同轉(zhuǎn)矩工況下3種方案的齒輪傳遞誤差峰值的比較。從表2可知，筆者提出的齒輪修形方法的傳遞誤差峰值最小，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于未修形的齒輪傳遞誤差峰值。同時(shí)從圖8可知，在不同的轉(zhuǎn)矩工況條件下，筆者提出的齒輪修形方法總體優(yōu)化結(jié)果較好，驗(yàn)證了基于能量法和遺傳算法對(duì)齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化的正確性和有效性。

表2 不同方法修形的優(yōu)化結(jié)果

圖8 不同轉(zhuǎn)矩下齒輪傳遞誤差比較

為了分析不同的齒輪修形方法對(duì)齒輪嚙合應(yīng)力的影響，分別對(duì)基于能量法和遺傳算法修形的齒輪和未修形齒輪進(jìn)行接觸分析，修形前后的齒輪應(yīng)力比較如圖9所示。從圖9可知，修形前的齒輪最大應(yīng)力為1.219 MPa，基于能量法和遺傳算法對(duì)齒輪進(jìn)行修形后的最大應(yīng)力為0.533 MPa，與未修形前齒輪的應(yīng)力情況相比，該方法使齒輪的應(yīng)力減小56.28%，可以在一定程度上減小齒輪上的應(yīng)力。

圖9 修形前后的齒輪應(yīng)力圖

5 結(jié)論

針對(duì)齒輪的振動(dòng)噪聲問題，根據(jù)齒輪修形理論，提出了一種齒輪修形方法，基于能量法和遺傳算法得到如下結(jié)論：

(1)所提出的基于能量法的齒輪嚙合剛度分析模型能夠精確地計(jì)算輪齒在嚙合時(shí)的綜合嚙合剛度，相比于有限元方法，利用能量法的計(jì)算效率更高，為齒輪修形優(yōu)化設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。

(2)利用能量法和遺傳算法相結(jié)合，對(duì)齒輪的修形參數(shù)完成優(yōu)化設(shè)計(jì)，相比于其他齒輪修形優(yōu)化方法，利用能量法和遺傳算法所得到的齒輪整體優(yōu)化效果最好，能夠有效地改善齒輪的振動(dòng)噪聲情況，為齒輪的性能優(yōu)化問題提供了參考。