直線圓導(dǎo)軌的多次矯直行程預(yù)測(cè)模型研究

曾 璽，凌 鶴

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

隨著機(jī)械裝備的高精密化，對(duì)組成高精密裝備的零件精度要求逐漸提高。金屬條材類零件的直線度要求也越來(lái)越高，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞矯直加工方面展開(kāi)研究[1]。針對(duì)矯直理論，Tsai等[2-3]建立懸臂梁的載荷-撓度模型，推導(dǎo)出不同載荷下的梁彎曲曲線；Elsharkway等[4]研究了T型鋼發(fā)生拉伸彎曲變形時(shí)的拉彎矯直模型；Kosel[5]分析多次純彎曲時(shí)的回彈曲率方程。在國(guó)內(nèi)，翟華等[6]推導(dǎo)出了臺(tái)階軸和羅拉軸的矯直行程計(jì)算模型；李駿[7]等以矯直過(guò)程的3個(gè)階段為基礎(chǔ)，建立了軸類零件彎曲時(shí)的載荷-撓度模型，并推導(dǎo)出矯直行程計(jì)算方程；周磊[8]等以特定使用環(huán)境下的T型導(dǎo)軌為研究對(duì)象，推導(dǎo)出兩個(gè)方向維度上的矯直行程解析模型，解決了部分異形截面的矯直行程預(yù)測(cè)問(wèn)題。在現(xiàn)有的矯直研究中，雖然矯直理論研究較為成熟，但僅僅重復(fù)應(yīng)用單次矯直計(jì)算模型，沒(méi)有考慮多次矯直過(guò)程之間的關(guān)系，使得矯直精度無(wú)法得到保證，矯直效率低下。實(shí)際上單次矯直之間的殘余應(yīng)力的遺傳和加載應(yīng)力之間的疊加關(guān)系會(huì)對(duì)矯直結(jié)果產(chǎn)生影響[9-11]。筆者以自主研發(fā)的數(shù)控精密自動(dòng)化矯直系統(tǒng)為對(duì)象，以單次矯直過(guò)程應(yīng)力變化為依據(jù)，以直線圓導(dǎo)軌為研究對(duì)象，在彈塑性彎曲的理論基礎(chǔ)上，推導(dǎo)建立多次矯直行程預(yù)測(cè)迭代模型，并通過(guò)試驗(yàn)對(duì)多次矯直行程預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 矯直方法及理論

選用三點(diǎn)反彎矯直法[12]作為壓力矯直方式。壓力矯直實(shí)際是一個(gè)彈塑性反彎的過(guò)程。

矯直時(shí)，選取最大彎曲處為加壓點(diǎn)，并將對(duì)稱的兩端作為固定端，使兩端簡(jiǎn)支，假設(shè)條材中點(diǎn)處的初始彎曲量為δ0，對(duì)加壓點(diǎn)處施加相應(yīng)的集中載荷，工件發(fā)生彈塑性變形產(chǎn)生反向彎曲，反彎量為δw；卸載后，條材部分發(fā)生塑性變形，剩余部分發(fā)生彈性回彈，若此時(shí)彈復(fù)量與反彎量相等，條材恰好被矯直，即單次矯直的理想狀態(tài)。若單次矯直未能達(dá)到理想狀態(tài)，需要多次矯直過(guò)程，此時(shí)殘余撓度在直線度范圍內(nèi)則完成矯直，即δc=|δ0-δs|

2 矯直行程模型建立

2.1 單次矯直行程模型

圖1 彎曲應(yīng)力應(yīng)變圖

因此，截面上的彎矩為：

當(dāng)σ=σtz/Ht，ξ=Ht/H，Mt=πR3σt/4，整理可得圓截面上的塑彎比為：

由于第一次矯直時(shí)，工件不存在殘余應(yīng)力和應(yīng)變，其應(yīng)力分布如圖2所示。

圖2 應(yīng)力分布圖

因此其截面上的矯直加載應(yīng)力分布方程為：

(1)

式中：σ1為第一次矯直時(shí)的加載應(yīng)力；σs為材料的屈服極限；ζ1為第一次矯直時(shí)的彈區(qū)比；λ為強(qiáng)化系數(shù)，λ=E′/E，E為彈性模量；E′為強(qiáng)化模量的平均值；C1為曲率比，C1=1/ζ1。

殘余應(yīng)力是由于加載應(yīng)力和卸載應(yīng)力的差異引起的，因此殘余應(yīng)力為：

σc=σ-σ′

(2)

(3)

式中：σc1為第一次矯直卸載后的殘余應(yīng)力；σH1為第一次矯直的表層應(yīng)力。

工件的表層發(fā)生塑性變形，導(dǎo)致其表層應(yīng)力發(fā)生改變，表層和內(nèi)部的殘余應(yīng)力方向不同，如圖2(b)所示。

在單次矯直中，彈塑性變形階段中的矯直行程計(jì)算過(guò)程為：

又因?yàn)镕=6EI(S-δ)/L3，代入上式可得

(4)

式中：I為截面慣性矩；L為導(dǎo)軌長(zhǎng)度；m為塑彎比。

2.2 二次矯直

在反復(fù)矯直的過(guò)程中，下壓量是逐漸減小的，因此每次矯直過(guò)程中所形成的塑性區(qū)域都小于上一次，直到塑性區(qū)不存在，即彈區(qū)比為1，因此彈區(qū)比ζ2>ζ1。

根據(jù)應(yīng)力疊加原理，第二次矯直時(shí)的加載應(yīng)力σp2按線性規(guī)律變化，σp2=zC2σs，那么，第二次的實(shí)際彎曲應(yīng)力為σ2=σc1+σp2。

若矯直后，第二次加載應(yīng)力方向與第一次相反，此時(shí)，截面上應(yīng)力分布函數(shù)為：

(5)

在彈塑性分界處，根據(jù)函數(shù)連續(xù)性，當(dāng)z=ζ2時(shí)，圓截面上的應(yīng)力關(guān)系應(yīng)滿足：

σH1z+ζ2C2σs

(6)

式中：ρΣ為總彎曲曲率；ρt為極限彈性曲率，ρΣ2為二次矯直時(shí)的總彎曲曲率。

工況彎曲示意圖如圖3所示，根據(jù)圖3可知，圓導(dǎo)軌在發(fā)生彎曲變形后，其橫截面仍然保持為平面，且與變形后的軸線垂直[14]，可以得到曲率和撓度之間的關(guān)系式：

(ρ-R)2=L2+(ρ-R-δ)2

(7)

彎曲變形中工件回彈撓度與彎矩的關(guān)系為：

δf=ML2/3EI

(8)

圖3 工件彎曲示意圖

在矯直中，總撓度變化量為初始撓度δ0與反彎撓度δw之和，其中包括正反向變化，而反彎撓度等于回彈撓度，總撓度變化量即為矯直行程。將前面計(jì)算所得關(guān)系式代入可得二次矯直的行程S2為：

(9)

2.3 多次矯直

根據(jù)上述計(jì)算兩次矯直的過(guò)程，進(jìn)行多次矯直迭代計(jì)算。

假設(shè)第i-1次矯直后，截面上的殘余應(yīng)力為σc(i-1)，那么第i次矯直時(shí)的加載應(yīng)力為σpi，那么截面上的實(shí)際彎曲應(yīng)力為：

σi=σc(i-1)+σpi

(10)

其中，σpi=zCiσs。

由單次矯直和二次矯直的公式可知，在多次矯直中，分段函數(shù)里，第一段和最后一段只與彈區(qū)比有關(guān)，其余段和前一次矯直中的首項(xiàng)符號(hào)有關(guān)，也是前期矯直所產(chǎn)生影響的疊加。且在分段函數(shù)中可以觀察出，以中性層為分界面，除了第一段和最后一段，其余部分均是對(duì)稱分布，即上下層為相反關(guān)系。因此，可推導(dǎo)出通項(xiàng)公式。

因此，當(dāng)矯直次數(shù)i≥2時(shí)，截面上的應(yīng)力分布函數(shù)為：

則殘余應(yīng)力的表達(dá)式為:

(11)

根據(jù)前面單次矯直和二次矯直的過(guò)程，可得在多次矯直中的矯直行程迭代模型為：

(12)

式(12)為隱式推導(dǎo)公式，其精確度由前期實(shí)際迭代情況而定，并不斷由迭代過(guò)程進(jìn)行修正。

3 仿真與試驗(yàn)

3.1 理論計(jì)算

根據(jù)矯直行程預(yù)測(cè)模型，并代入材料的各項(xiàng)具體數(shù)據(jù)，利用MATLAB進(jìn)行理論計(jì)算，針對(duì)不同的初始撓度計(jì)算出結(jié)果，得到不同跨矩下的撓度-矯直行程分布圖，如圖4～圖6所示。

圖4 跨距350 mm撓度-矯直行程分布圖

圖5 跨距500 mm撓度-矯直行程分布圖

圖6 跨距600 mm撓度-矯直行程分布圖

3.2 仿真結(jié)果

采用有限單元法[15]，結(jié)合彈塑性有限元分析，通過(guò)創(chuàng)建有限元模型，設(shè)置好模型的各項(xiàng)參數(shù)，針對(duì)不同撓度的導(dǎo)軌，依據(jù)矯直預(yù)測(cè)模型計(jì)算出矯直行程，利用Ansys Workbench對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行模擬加載，并進(jìn)行各項(xiàng)數(shù)據(jù)的求解。

設(shè)定工件直徑為16 mm，彈性階段選用Isotropic Elasticity模型，塑性階段選擇BKIN模型。選用swept方式對(duì)工件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，約束其兩端面的自由度，釋放繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和右端面的移動(dòng)。選用點(diǎn)載荷的方式對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行加載。整個(gè)矯直過(guò)程分為加載和卸載兩個(gè)部分，在不同初始撓度的條件下，設(shè)定相應(yīng)的加載參數(shù)，加載完成后隨即卸載，得到不同跨矩下的撓度矯直行程分布圖，如圖7～圖9所示。應(yīng)力變化情況如圖10所示。

圖7 跨距350 mm撓度-矯直行程分布圖

圖8 跨距500 mm撓度-矯直行程分布圖

圖9 跨距600 mm撓度-矯直行程分布圖

圖10 應(yīng)力變化圖

由圖10可知，隨著矯直過(guò)程的時(shí)間增加，工件撓度減小，殘余應(yīng)力也逐漸減小。

3.3 試驗(yàn)過(guò)程

矯直試驗(yàn)采用三點(diǎn)反彎矯直的方法進(jìn)行，利用自主研發(fā)的精密數(shù)控矯直機(jī)進(jìn)行在線矯直試驗(yàn)，采用搭載于矯直機(jī)的位移傳感器進(jìn)行在線測(cè)量加載點(diǎn)的撓度值。

選用直徑為16 mm，長(zhǎng)度為350、500、600 mm的圓導(dǎo)軌各1根，材料為45號(hào)鋼，分為3個(gè)實(shí)驗(yàn)組。具體參數(shù)如表1所示。

表1 直線導(dǎo)軌參數(shù)表

將圓導(dǎo)軌分別標(biāo)號(hào)為1、2、3，按順序依次對(duì)3組導(dǎo)軌進(jìn)行初始撓度的測(cè)量，并代入到多次矯直行程模型中，計(jì)算出相應(yīng)的矯直行程，待到應(yīng)力釋放后測(cè)量導(dǎo)軌的殘余撓度；再根據(jù)殘余撓度繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，再次得出矯直行程，在直線導(dǎo)軌上完成相應(yīng)矯直步驟；重復(fù)上述過(guò)程，直至殘余撓度控制在直線度要求之內(nèi)。

3.4 試驗(yàn)結(jié)果分析

經(jīng)過(guò)3組試驗(yàn)，得到試驗(yàn)結(jié)果，如表2所示。

表2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

試驗(yàn)中，矯直樣件采用相同材料的直線導(dǎo)軌，針對(duì)多次矯直行程模型進(jìn)行矯直試驗(yàn)。對(duì)3組對(duì)比組試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析可知，在多次矯直過(guò)程中殘余撓度值趨于收斂，即直線度誤差逐漸減小，說(shuō)明了行程預(yù)測(cè)模型的正確性；在同樣長(zhǎng)度和截面參數(shù)相同的情況下，影響矯直次數(shù)和矯直效果的主要因素是矯直對(duì)象的初始撓度。

4 結(jié)論

針對(duì)直線圓導(dǎo)軌的多次矯直行程預(yù)測(cè)模型，分析了直線圓導(dǎo)軌在多次彈塑性變形過(guò)程中，圓截面上應(yīng)力變化及撓度變化的規(guī)律，推導(dǎo)出多次彎曲矯直時(shí)圓導(dǎo)軌撓度與矯直行程的迭代關(guān)系式，并進(jìn)行了有限元分析。以材料為45號(hào)鋼的直線圓導(dǎo)軌為試驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行模型的理論驗(yàn)證和試驗(yàn)驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

(1)直線圓導(dǎo)軌在經(jīng)歷多次彎曲矯直的過(guò)程中，其圓截面上存在疊加的加載應(yīng)力與殘余應(yīng)力。將上一次彎曲矯直后所產(chǎn)生的殘余應(yīng)力作為預(yù)應(yīng)力，得出多次矯直過(guò)程的行程預(yù)測(cè)公式；

(2)通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證可知，利用所推導(dǎo)出的行程預(yù)測(cè)模型，將直線圓導(dǎo)軌進(jìn)行多次矯直后，得到了較好的矯直結(jié)果，更接近導(dǎo)軌的直線度要求，相較于單次矯直結(jié)果，證明了多次矯直行程預(yù)測(cè)模型的正確性。