“言”“意”通聯(lián)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向深入

張苾菁

摘 ?要：文章圍繞筆者主持的蘇州市教科院十三五規(guī)劃課題《“通聯(lián)”視角下學(xué)科課堂教學(xué)的實(shí)踐與研究》，基于數(shù)學(xué)知識(shí)修養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維涵育、數(shù)學(xué)價(jià)值追求等三大維度，構(gòu)筑“數(shù)與形”“點(diǎn)與網(wǎng)”“異與同”“言與意”“境與理”“情與智”等六條“通聯(lián)”路徑。文章圍繞“言”“意”通聯(lián)做三個(gè)觀點(diǎn)的闡述。

關(guān)鍵詞：言;意;數(shù)學(xué)理解

美國(guó)雪城大學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言研究專(zhuān)家路易斯·威爾金森教授認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)情境下給出正確的、合理的數(shù)學(xué)表達(dá)是一項(xiàng)非常重要的能力。與語(yǔ)文、英語(yǔ)學(xué)科相比，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言更為簡(jiǎn)潔但不失豐富。文字、符號(hào)、算式、圖表等都是數(shù)學(xué)特有的生動(dòng)語(yǔ)言。教材以此呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，師生以此展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，可以說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是伴隨著數(shù)學(xué)語(yǔ)言而展開(kāi)的動(dòng)靜相宜、內(nèi)外兼修的“言”與“意”的輸出和內(nèi)化的雙向過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中，教材語(yǔ)言、教師教學(xué)語(yǔ)言、學(xué)生學(xué)習(xí)交流語(yǔ)言交融互動(dòng)，力求形成言與意的通聯(lián)。一方面，教師要將教材凝練的語(yǔ)言——數(shù)與式、圖與文等用合適的方式來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)解讀，還原其關(guān)鍵的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，便于學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、理解知識(shí)的來(lái)龍去脈;另一方面，學(xué)生也會(huì)在這個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程中習(xí)得用數(shù)學(xué)學(xué)科特有的言語(yǔ)方式來(lái)表征信息、表述思考、表達(dá)觀點(diǎn)、表現(xiàn)作品，結(jié)合學(xué)習(xí)的進(jìn)程內(nèi)化為自己的知識(shí)，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)的意識(shí)、方法與思想。

一、以“教師之言”啟發(fā)“學(xué)生之言”

案例1：從“添一條”到“添一個(gè)”

教學(xué)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，一般安排兩個(gè)環(huán)節(jié)：第一個(gè)環(huán)節(jié)是幫助學(xué)生通過(guò)具體的情境認(rèn)識(shí)零點(diǎn)幾元、零點(diǎn)幾米，從而幫助學(xué)生體驗(yàn)小數(shù)是為了表示小于單位“1”的量引入的，可以由十分之幾的分?jǐn)?shù)直接改寫(xiě)得到;第二個(gè)環(huán)節(jié)是進(jìn)一步通過(guò)測(cè)量或者購(gòu)物情境，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)部分不為零的一位小數(shù)， 從而讓學(xué)生在比較中感悟到，小數(shù)是將一個(gè)單位細(xì)分得到的，它和自然數(shù)一樣，相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率也是10。為了加深學(xué)生的體驗(yàn)，老師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

【第一次試教】

（1）教師提問(wèn)：1元1角該怎么用圖來(lái)表示呢？

（2）生1：先畫(huà)一個(gè)正方形涂滿(mǎn)，然后再添一條。

（3）師根據(jù)學(xué)生的回答立刻在屏幕上呈現(xiàn)出如下圖樣，解釋道：我們?cè)僬乙粋€(gè)正方形，平均分成10份，涂出其中的一條，是這樣嗎？

（4）學(xué)生點(diǎn)頭后即坐下。

這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的本意是通過(guò)讓學(xué)生自己想一想、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)來(lái)逼著學(xué)生對(duì)“當(dāng)無(wú)法利用一個(gè)單位來(lái)表示這個(gè)數(shù)時(shí)，需要再找一個(gè)單位平均分成10份后合起來(lái)一起表示”進(jìn)行思考。但是，在面對(duì)學(xué)生的表達(dá)尚不清晰、未能與體驗(yàn)的目標(biāo)之間達(dá)成有效關(guān)聯(lián)的時(shí)候，教師匆忙以自己規(guī)范的“言”取代了學(xué)生意猶未盡的“言”，本應(yīng)被充分展開(kāi)討論的環(huán)節(jié)被壓縮，好的用意并沒(méi)有達(dá)成好的效果。對(duì)此，筆者建議做如下修改。

【第二次試教】

（1）教師提問(wèn)：1元1角該怎么用圖來(lái)表示呢？

（2）生1：先畫(huà)一個(gè)正方形涂滿(mǎn)，然后再添一條。

（3）師：加一條是什么意思？

（4）生1：就是在旁邊加一條。

（5）生2：要畫(huà)20份，然后涂出其中的11份。

師：是這樣的嗎？呈現(xiàn)兩幅圖。

（6）生異口同聲：不是，不是！

（7）生1：應(yīng)該畫(huà)兩個(gè)正方形，不是把一個(gè)正方形分成20條！

（8）生2：我覺(jué)得是在原來(lái)的正方形旁邊再畫(huà)一個(gè)正方形，把它再平均分成10份，涂出里面的一份，這個(gè)要比光禿禿的一條看得清楚……

事實(shí)證明，通過(guò)教師在關(guān)鍵環(huán)節(jié)的追問(wèn)、點(diǎn)撥和適當(dāng)留白，學(xué)生完全有能力把自己的觀點(diǎn)用清晰的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)并得到同伴的認(rèn)可，課堂的即時(shí)生成變成了學(xué)習(xí)的資源，教師的“少言”成就了學(xué)生的“多言”，更重要的是促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解。因此，在學(xué)生直面數(shù)學(xué)核心問(wèn)題以后，他們會(huì)有一些對(duì)問(wèn)題初步的想法和判斷，介于似懂非懂之間，也可能會(huì)產(chǎn)生一些疑惑，還會(huì)出現(xiàn)一些思維的盲點(diǎn)或者誤區(qū)，學(xué)生出現(xiàn)的“言而不明”“意猶未盡”“詞不達(dá)意”“言不盡意”的情況，教師不應(yīng)急于求成取而代之，而應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)囊I(lǐng)進(jìn)一步幫助學(xué)生厘清概念的本質(zhì)，充分做足加法，引發(fā)學(xué)生的討論和思辨，并在關(guān)鍵處加以點(diǎn)撥指導(dǎo)，并加以規(guī)范和完善，以幫助學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和判斷。

二、將學(xué)生的“內(nèi)隱之言”轉(zhuǎn)化為“外顯之言”

由于對(duì)問(wèn)題的表征受兒童知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及個(gè)體差異的影響，會(huì)產(chǎn)生很大程度的差別，所以教學(xué)的關(guān)鍵就在于不能只站在教師的立場(chǎng)上一味地講解，而要想辦法知道學(xué)生究竟是怎么想的，他們現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題會(huì)帶來(lái)怎樣的困難，只有對(duì)這個(gè)環(huán)節(jié)掌握充分，我們才能給兒童提供他們所需要的幫助。因此，教師要重視將學(xué)生這個(gè)內(nèi)隱的思考過(guò)程充分地外顯出來(lái)。

案例2：把條件“畫(huà)出來(lái)”——從條件想起的策略

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中第五冊(cè)首次出現(xiàn)了“解決問(wèn)題策略”單元的教學(xué)，主要通過(guò)解答一些非常規(guī)的、趣味性較強(qiáng)的實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生實(shí)踐并體驗(yàn)從條件想起的思考策略。其例題為：

小猴幫媽媽摘桃，第一天摘30個(gè)，以后每天都比前一天多摘5個(gè)。小猴第三天摘了多少個(gè)？

在教學(xué)時(shí)，教師安排了如下環(huán)節(jié)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考。

1. 讀題并提問(wèn)：你能從題中找到哪些條件？要解決什么問(wèn)題？

2. 解意：這兩個(gè)條件中，哪個(gè)條件的意思不太好懂，需要解釋的？（以后每天都比前一天多摘5個(gè)）

3. 你能用自己的方式來(lái)表達(dá)這句話的理解嗎？請(qǐng)把你的想法寫(xiě)在練習(xí)紙上。

4. 學(xué)生在練習(xí)紙上表示自己對(duì)這句話的理解，師巡視，尋找不同的表達(dá)方法。

學(xué)生中出現(xiàn)文字表示、表格表示、算式表示……

5. 組織交流：

（1）先交流錯(cuò)誤的想法。“第一天摘了30個(gè)桃，以后每天都比第一天摘的桃多5個(gè)，就是每天都摘35個(gè)桃”。

（2）再交流不同表示方法的正確理解。如文字法、表格法、箭頭圖等。

上述的案例充分地表明，只有當(dāng)教師真正了解兒童是如何用自己的方式來(lái)表征問(wèn)題時(shí)，才能清楚地發(fā)現(xiàn)他們思考的軌跡，從而給予針對(duì)性的指導(dǎo)。正如特級(jí)教師趙云峰所積極倡導(dǎo)的“讀數(shù)學(xué)、說(shuō)數(shù)學(xué)、畫(huà)數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)中說(shuō)的那樣，在讀一讀中，我們可以找到重要的、關(guān)鍵的信息，理解條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系;在說(shuō)一說(shuō)中，信息之間變得比原來(lái)有條理了，并且通過(guò)有層次的交流，思考的脈絡(luò)就能從煩瑣到簡(jiǎn)潔，從無(wú)序到有序，使我們的思考有了步驟;在畫(huà)一畫(huà)中，學(xué)生借助于外顯的表達(dá)，列表、畫(huà)圖、符號(hào)、文字等等，都能使學(xué)生頭腦中需要處理的內(nèi)容得以個(gè)性化的呈現(xiàn)，減輕了大腦記憶的負(fù)擔(dān)，幫助學(xué)生直觀地去理解題意，找到信息間相互的聯(lián)系。因此，對(duì)問(wèn)題的表征，就在這讀一讀、說(shuō)一說(shuō)、畫(huà)一畫(huà)中促進(jìn)了學(xué)生的個(gè)性化思考。

三、將“隨意的日常語(yǔ)言”轉(zhuǎn)化為“有邏輯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多元表征符號(hào)系統(tǒng)的建構(gòu)，因此，數(shù)學(xué)課的一項(xiàng)重要任務(wù)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式來(lái)涵育學(xué)生“聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)”的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅希望促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解，更希望通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交往互動(dòng)，促進(jìn)彼此間知識(shí)的聯(lián)結(jié)、情感的互通，以融匯數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的方式使思維更縝密、思考更深入、邏輯更清晰、表達(dá)更條理。

案例3：為什么三角形中不可能有兩個(gè)直角或鈍角？——“三角形內(nèi)角和”的練習(xí)設(shè)計(jì)

（1）師提問(wèn)：三角形被遮住了兩個(gè)內(nèi)角，從露出的這個(gè)內(nèi)角，你可以知道什么數(shù)學(xué)信息？

（2）生：我知道第一個(gè)三角形一定是鈍角三角形，第二個(gè)三角形一定是直角三角形，因?yàn)橐粋€(gè)三角形里最多只能有一個(gè)鈍角或者直角，而第三個(gè)我不能確定，因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形都有銳角。

（3）師：你能用你今天學(xué)習(xí)的知識(shí)來(lái)解釋為什么一個(gè)三角形里最多只能有一個(gè)鈍角或直角嗎？

（4）生：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，露出的是鈍角，鈍角是大于90°小于180°的角，那么說(shuō)明剩下的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是小于90°的，因此，不可能再有鈍角或者直角了。（有邏輯的三段論）

（5）師：這位同學(xué)很清楚地解釋了為什么一個(gè)三角形里最多只能有一個(gè)鈍角或直角的道理，從他的發(fā)言中我們可以知道不同的三角形的兩個(gè)銳角的度數(shù)之和還有某種特點(diǎn)，就像剛才這位同學(xué)說(shuō)的：

鈍角三角形的兩個(gè)銳角的度數(shù)之和一定小于90度。（屏幕演示）

（6）師：那么，你們能不能也像剛才這位同學(xué)一樣討論討論，在直角三角形和銳角三角形中兩個(gè)銳角度數(shù)之和有什么特點(diǎn)呢？

同桌交流，然后全班交流得出：

直角三角形的兩個(gè)銳角的度數(shù)之和一定等于90度。

銳角三角形的任意兩個(gè)銳角的度數(shù)之和一定大于90度。

以上環(huán)節(jié)的交流，透出濃濃的數(shù)學(xué)味，學(xué)生此時(shí)的發(fā)言，不再是憑感覺(jué)或經(jīng)驗(yàn)的隨意判斷，而是推理有據(jù)的證明。當(dāng)然，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解的方式有很多種，“通過(guò)解釋促進(jìn)學(xué)習(xí)”是上述練習(xí)設(shè)計(jì)的另一個(gè)著力點(diǎn)。運(yùn)用已知的結(jié)論從不同角度解釋或者說(shuō)明一些問(wèn)題的前提是，無(wú)論你想解釋的是什么，你都必須自己先弄清楚。學(xué)生們首先得概括出自己對(duì)問(wèn)題的理解是什么，同時(shí)，他們還必須找到如何讓其他孩子明白的合適的表達(dá)方式，這個(gè)“解釋”過(guò)程，可以看作是學(xué)生對(duì)新知的“主動(dòng)迎合”與“自動(dòng)補(bǔ)充”的過(guò)程。通過(guò)只露出一個(gè)內(nèi)角的三角形，學(xué)生們不僅解釋了“有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形”命題的成立，同時(shí)也解釋了為什么“有一個(gè)角是銳角的三角形不能判斷為銳角三角形”的道理，當(dāng)然，這都是由“三角形內(nèi)角和是180°”這一基本知識(shí)派生出去新生成的知識(shí);同時(shí)，對(duì)于鈍角三角形、直角三角形中兩個(gè)銳角度數(shù)和以及銳角三角形的任意兩個(gè)銳角度數(shù)和的判斷，更是拓展了學(xué)生思考的空間，其本質(zhì)都是對(duì)“三角形內(nèi)角和是180°”不同角度的理解和靈活運(yùn)用。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、概括的過(guò)程中相互補(bǔ)充，彼此啟發(fā)，思辨的過(guò)程清晰地展現(xiàn)在大家面前，數(shù)學(xué)語(yǔ)言得到推敲與錘煉，思維得到強(qiáng)有力的提升。

由此可見(jiàn)，如果在教學(xué)中能超越教學(xué)任務(wù)的表面特征，挖掘出其內(nèi)隱的思維含量，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中在交流與傾聽(tīng)、辯論與解釋、協(xié)調(diào)與明理等環(huán)節(jié)上多下功夫，那么對(duì)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)起到至關(guān)重要的作用。教師要提供多種機(jī)會(huì)讓學(xué)生有基于問(wèn)題信息的表征、結(jié)合實(shí)例的意義解釋、解題思路的呈現(xiàn)與說(shuō)明、聯(lián)想推理的表達(dá)與對(duì)話等，來(lái)引導(dǎo)和促成兒童朝著數(shù)學(xué)意義的理解這一方向努力，力求讓學(xué)生言之有物，言之有序，言之有理，言之有意。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展的一個(gè)顯性標(biāo)志是，學(xué)生能積極地用原生態(tài)的個(gè)性化語(yǔ)言有條理地表達(dá)自己對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟了。