由點及面，把握整體

楊曉潔

[摘? 要] 對于高中生而言，學習數(shù)學的目的不僅是為了解題，更重要的是領會數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法，并能夠將其運用于實踐之中. 因此數(shù)學教育者在實施教學時，應遵循“大處著眼、小處著手;由點及面、把握整體”的原則，將一個知識點與一種數(shù)學思想方法結合起來，提升高中生數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 高中數(shù)學;由點及面;把握整體;思想方法

在高中數(shù)學課堂教學實踐中，教育者習慣性地僅圍繞一個知識點展開教學，而在備課時也習慣性地備一節(jié)課，或者一章課，然后再通過例題進行演算，其結果就是導致了學生的學習被限制在這一個“點”上，無法將數(shù)學知識系統(tǒng)性、整體性地聯(lián)系起來. 一個知識點將它孤立出來，并不容易被理解，反而將它放在完整的知識體系中，會對它的作用有一個更清晰的認識，這就是一種整體性思想. 同樣，學生在進行數(shù)學學習時，如果將視野僅放在某一題或者某一類型題的解法上，思維就會受到局限，題型稍加變化就會束手無策. 而只有通過某個知識點的學習，讓學生領會并掌握其中的數(shù)學思想方法，再將其運用于數(shù)學實踐中去，如此進行融會貫通，才能夠真正地讓學生學有所得、學有所成. 因此，在高中數(shù)學課堂實踐中，教育者應把握整體，由點及面、點面結合地實施教學，本文以“一元二次不等式”教學設計為例，對此進行了詳細闡述.

[?]教材和學情分析

“一元二次不等式”是高中數(shù)學必修五的內容，教材主要圍繞著概念形成以及解法，對“一元二次不等式”與一元二次方程以及二次函數(shù)之間的關系進行了重點研究. 對于高中生而言，他們已經(jīng)具備了一定的基礎性知識，對一元二次不等式和其解法都有所了解. 因此在教學活動的組織中，教師應把握課程整體性內容和目標，注重引導學生通過知識表面挖掘數(shù)學本質，培養(yǎng)他們自主探究的學習能力，提高他們的數(shù)學思維以及數(shù)學思想方法在解決問題過程中的實踐應用，以“不等式” 為點，引出定義概念，讓學生探討多種解法，從中滲透“數(shù)形結合”等多種數(shù)學思想方法，讓學生能夠將“一元二次不等式”與其他知識點完整地、系統(tǒng)地聯(lián)系起來.

[?]教學過程設計

1. 創(chuàng)建問題情境，引出“不等式”

王華和張明兩個一起到網(wǎng)吧上網(wǎng)，看到兩個相鄰網(wǎng)吧推出了不同的收費標準：網(wǎng)吧A一小時收費1.5元，不足一小時的統(tǒng)一按一小時收費;網(wǎng)吧B是用戶上網(wǎng)的第一個小時按1.7元收費，第二個小時按1.6元收費，依次遞減直到滿17小時后，按17個小時標準收費. 看到這時張明毫不猶豫地說網(wǎng)吧B收費更劃算，你同意嗎？網(wǎng)吧A在哪種情況下收費要少于網(wǎng)吧B？

生1：我不同意張明的建議，費用不但和收費標準有關系，上網(wǎng)時間也應包括在內.

師：如果將時間設成x，花的網(wǎng)費是y，網(wǎng)吧A的費用是1.5x元，其中x≤17，x∈N*，那么網(wǎng)吧B的費用怎么表示？

生2：用圖表可以進行直觀表示.

（讓學生上臺進行現(xiàn)場畫圖演示，圖略）

師：所以，通過求和數(shù)列可以得出網(wǎng)吧B的費用是（x≤17，x∈N*），如果想讓網(wǎng)吧A的費用少于網(wǎng)吧B，必須滿足：>1.5x（x≤17，x∈N*）. 從這個過程中我們體驗到了數(shù)學表征的文字、圖像和符號三種語言，以及建模的數(shù)學思想方法.

設計意圖：從學生熟悉的知識，同時也是本課內容最基本的一個知識點“不等式”為切入點，并在問題情境上使用了教材情境，這使該課立意更加突出. 系列化的問題情境，特別是在網(wǎng)吧選擇問題上，運用了“數(shù)學化方法”進行了處理，“文字表述”在老師的引導下轉化成了“圖表表述”，最后又轉化成了“符號表述”，“數(shù)形結合”思想得到了有效體現(xiàn)，數(shù)學本質也在問題情境引出的“數(shù)學化”方法過程中得到了充分體現(xiàn).

2. 通過“定義”進行多種解法的探討

從被簡化的式子“x2-5x<0”中，鼓勵學生對“一元二次不等式”進行定義并讓他們在紙上將自己熟悉的一些一元二次不等式寫出來，然后引導他們進行不等式“x2-5x<0”的求解. 學生可以獨立完成，也可以結組討論，給出不同解法，其中對有代表性的進行板書：

設計意圖：從“不等式”這個點延伸到“不等式定義”，再延伸到不等式的解以及不等式的解集與函數(shù)圖像的關系，由點到面逐漸遞進，注重讓學生體驗知識是如何從發(fā)生到發(fā)展的整個過程. 鼓勵學生自主探索不同解法，并通過問答形式，讓學生對解法進行回顧與敘述，并在老師的有效引導下，讓學生的關注點從“一元二次不等式”轉移到“函數(shù)值”和“坐標值”上，最后讓學生自己來總結和歸納“一元二次不等式及其解法”，是方法論的滲透與實踐.

3. 總結與練習

師：現(xiàn)在我們先進行一下小結，從以上學習中大家總結一下一元二次不等式的解題方法以及過程，我們都學習到了哪些不同的解法，以及體驗了哪些數(shù)學思想？

學生一一進行了分析，對解法和過程進行了敘述，對三種不同的方法進行了歸納、總結和分析，并從中感受到了“數(shù)形結合”“從特殊到一般”“轉化”等數(shù)學思想.

設計意圖：小結的目的是幫助學生回顧和鞏固. 學生從解法到多種解法的分析，最后是數(shù)學思想方法的體驗與感受，從點到面、點面結合地對自己所學的知識進行了一次系統(tǒng)性的梳理. 其目的是引導學生去發(fā)現(xiàn)蘊含于知識深層次的思想方法，特別是對學生滲透“算法思想”.

師：大家總結的非常好，那么現(xiàn)在我們用一道“變式訓練”，來進行一下數(shù)學知識的實踐與應用：“求不等式x2-5x<6的解集”“求不等式-x2+5x<7的解集”“求x2-5x+7<0的解集”.

設計意圖：通過“一題多變”對學生進行鞏固和強化訓練，也是對學生是否能夠將解題方法與數(shù)學思想應用于實踐的一個考量. 特別是因式分解的方法，雖然和函數(shù)解法存在差異，但它也是對“圖像解題”思想方法的體現(xiàn)，在以后“高次多項不等式”的學習、研究和探索中會發(fā)揮很大作用，能為學生的后續(xù)學習打下基礎.

最后，通過小組形式進行課堂練習. 組內成員可以互相出題考查對方，也可以以小組為單位向其他小組提問，通過“自問自答”的模式創(chuàng)造性地進行練習設計.

[?]結 論

新課改給教育者傳遞的一個重要信息，就是“創(chuàng)造性學習”，而只有創(chuàng)造性地教才能夠確保學生可以創(chuàng)造性地學，秉承這樣的理念進行教學設計，才能夠實現(xiàn)整體性目標. 通過“一元二次方程”的教學過程，可以看出從剛開始讓學生在紙上進行“編題”，到最后以“自問自答”模式進行練習，都體現(xiàn)了學生主體的教學思想，學生在這種創(chuàng)新活動中表現(xiàn)出了極大的興趣和積極性. 而整個教學過程，老師始終站在整體性教學內容與教學目標的立場上，從開始由問題情境引出的基礎知識為切入點，讓學生逐漸深入地進行數(shù)學本質的挖掘與認識，在多種解法以及變式訓練中去體驗和感受數(shù)學方法和數(shù)學思想，以點帶面、點面結合地將數(shù)學從知識向思想方法進行了過渡和延伸. 課堂效果和課堂實踐證明，只有把握整體，由點及面地組織教學，才能夠幫助高中生建立起系統(tǒng)性、完整性的數(shù)學知識體系.