初中數(shù)學(xué)開放探究題的類型及解題策略

（山東省棗莊市第九中學(xué)）

數(shù)學(xué)中的開放探究題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過補(bǔ)充、猜想、推斷，并加以證明的問題.由于這類問題的知識(shí)覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，解題方法靈活，再加上題型新穎，要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力，從而使數(shù)學(xué)開放探究題成為考試中的一種常見題型.下面結(jié)合幾道例題介紹開放探究題的常見類型及其解題策略.

一、條件開放探究題

條件開放探究題是給出問題的結(jié)論，但沒有給出充分的條件，要求給出或補(bǔ)充使問題結(jié)論成立的條件.

解題策略是執(zhí)果索因，首先要從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件，再結(jié)合圖形及其性質(zhì)逆向推導(dǎo)，把可能成立的條件一一列出，從而尋找出所求條件.

例1已知：如圖1，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF.

圖1

（1）求證：△BCE≌△DCF.

（2）當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？試說明理由.

分析：（1）由兩個(gè)三角形的位置，借助四邊形ABCD是菱形，且點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點(diǎn)，尋找對(duì)應(yīng)相等的邊和角即可.

（2）要使四邊形AEOF是正方形，根據(jù)條件可知四邊形AEOF是菱形，因此AB與BC應(yīng)滿足的條件是AB⊥BC.

證明：（1）略.

（2）當(dāng)AB⊥BC時(shí)，四邊形AEOF是正方形.理由如下.

由已知得AE=OE=OF=AF.

所以四邊形AEOF是菱形.

因?yàn)锳B⊥BC，OE∥BC，所以O(shè)E⊥AB.

所以∠AEO=90°.所以四邊形AEOF是正方形.

【評(píng)析】解答條件開放探究題需要運(yùn)用逆向思維，因此學(xué)生要掌握一些基本公式、判定定理、性質(zhì)定理和重要結(jié)論成立的條件，借助數(shù)形結(jié)合思想將問題合理轉(zhuǎn)化，尋找需要的條件，從而解決問題.

二、結(jié)論開放探究題

結(jié)論開放探究題是給出已知條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者有相應(yīng)的結(jié)論需要進(jìn)行推斷，或者要求探索條件在變化時(shí)的結(jié)論.

解決這類問題的一般策略是由因?qū)Ч?，即從分析題意入手，順向推理，或者根據(jù)題目提供的信息，通過觀察、計(jì)算、聯(lián)想、歸納、合情推理，得出結(jié)論.

例2 已知△ABC與△DEC是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形.

（1）如圖2（1），連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖（2），連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由.

圖2

分析：（1）觀察圖形的特點(diǎn)，根據(jù)AE，DB的位置選擇適當(dāng)?shù)膱D形，列出條件，由Rt△ACE≌Rt△BCD，尋找結(jié)果；

（2）借助第（1）小題的方法和結(jié)果，探索線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系.

解：（1）AE=DB，且AE⊥DB.理由如下.

如圖3，延長(zhǎng)DB交AE于點(diǎn)M，

圖3

因?yàn)镃A=CB，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，

所以 Rt△ACE≌Rt△BCD.

所以AE=DB，∠AEC=∠BDC.

又因?yàn)椤螦EC+∠EAC=90°，

所以∠BDC+∠EAC=90°.

在△AMD中，得∠AMD=90°.

所以AE⊥DB.

（2）DE=AF，且DE⊥AF.理由如下.

如圖2（2），設(shè)ED與AF相交于點(diǎn)N，

由題意可得BE=AD.

因?yàn)椤螮BD=90°+∠BDC，∠ADF=90° +∠BDC，

所以∠EBD=∠ADF.

又因?yàn)镈B=DF，

所以△EBD≌△ADF.

所以DE=AF， ∠E=∠EDC=∠FAD=45°.

所以∠AND=90°，即DE⊥AF.

【評(píng)析】解此類問題采用的方法是根據(jù)條件做出猜想并加以證明.一般情況下，這類問題對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，突出對(duì)探索、歸納、推理能力的考查.對(duì)于判斷一個(gè)結(jié)論是否成立的問題，有時(shí)需要分情形加以分類討論.若學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過的公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)能熟練運(yùn)用，則有助于解決此類問題.

三、規(guī)律開放探究題

規(guī)律開放探究題的基本特征是給出若干數(shù)、式、函數(shù)或圖形，以及它們的變化特點(diǎn)等，探究有關(guān)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的結(jié)論.

對(duì)于此類題，解決問題的策略是根據(jù)已知條件提供的信息，通過觀察、歸納、類比、分析，即運(yùn)用從特殊到一般的推理方法探究更一般的結(jié)論，然后再給出證明.

圖4

（1）將矩形OCDE沿AB折疊，點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)F處.

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②試直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將矩形OCDE沿著經(jīng)過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在邊CD上的點(diǎn)G處，連接OG，折痕與OG交于點(diǎn)H，點(diǎn)M是線段EH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)H重合），連接MG，MO，過點(diǎn)G作GP⊥OM于點(diǎn)P，交EH于點(diǎn)N，連接ON.點(diǎn)M從點(diǎn)E開始沿線段EH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，至與點(diǎn)N重合時(shí)停止，△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，S1·S2（即S1與S2的積）的值是否發(fā)生變化？若變化，直接寫出變化的范圍；若不變，直接寫出這個(gè)值.

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)F的位置是由A，B兩點(diǎn)確定的，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都隱含在拋物線的解析式中，由此先求出m的值，再求點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；

（2）如圖5，觀察圖形的特點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)E開始沿線段EH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)∠NGH與∠OMH都是∠MOG的余角，所以∠NGH與∠OMH保持相等.故點(diǎn)G是解題的關(guān)鍵點(diǎn).以點(diǎn)E為圓心，EO為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)G.由此探索S1·S2的值的變化情況.

圖5

在Rt△BFK中，因?yàn)锽K=8，BF=BO=10，

所以FK=6.

所以CF=CK-FK=4.

所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(4 ，8).

（2）如圖5，設(shè)折痕與OC交于點(diǎn)L，那么EL垂直平分OG.

在Rt△EDG中，因?yàn)镋D=8，EG=EO=17，

所以GD=15.

在Rt△CGL中，由CG=2，設(shè)LG=LO=n，

那么LC=8-n.

因?yàn)椤螻GH與∠OMH都是∠MOG的余角，

所以∠NGH=∠OMH.

所以MH·NH=OH2=17.

【評(píng)析】第（2）小題中，由動(dòng)點(diǎn)M在不同的位置，尋找不變的數(shù)量關(guān)系，通過特殊位置探索特殊關(guān)系，由探索的過程歸納出一般規(guī)律.根據(jù)題意結(jié)合特殊點(diǎn)確定S1·S2的值，采用大膽假設(shè)、小心求證是解決此題的關(guān)鍵，其中不受“點(diǎn)M從點(diǎn)E開始沿線段EH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，至與點(diǎn)N重合時(shí)停止”的約束，使解題擺脫了思維定式.

四、存在性開放探究題

存在性開放探究題一般是在確定的條件下判斷某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的問題.這類問題中常常出現(xiàn)“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問句，以示結(jié)論有待判斷.

解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的對(duì)象存在，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；如果不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.

例4 若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)橛押脪佄锞€，拋物線C1：y1=-2x2+4x+2與C2：y2=-x2+mx+n為友好拋物線.

（1）求拋物線C2的解析式.

（2）點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AQ⊥Ox，點(diǎn)Q為垂足，求AQ+OQ的最大值.

（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B( )-1，4，問在C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：（1）先求出y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)友好拋物線的意義，利用兩條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同求m，n的值；

（2）根據(jù)（1）中求出的拋物線解析式，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(a，-a2+2a+3)，則OQ=a，AQ=-a2+2a+3.可得OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系式，然后借助配方法求出OQ+AQ的最值；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)M在C2的對(duì)稱軸上，如圖7，通過畫圖、作輔助線證明△BCM≌△MDB′.由全等三角形的性質(zhì)可得BC=MD，CM=B′D.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M( )

1，a，然后用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出a的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）如圖6，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(a，-a2+2a+3)，

因?yàn)镺Q=a，AQ=-a2+2a+3，

圖6

圖7

（3）如圖7，假設(shè)存在點(diǎn)M在C2的對(duì)稱軸上，連接BM，作B′M⊥BM，且B′M=BM，連接BC，過點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為點(diǎn)D.

因?yàn)锽(-1，4)，C(1 ， 4)，且拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

所以BC⊥CM，且BC=2.

因?yàn)?∠BMB′=90°，所以 ∠BMC+ ∠B′MD=90°.

因?yàn)锽′D⊥MC，所以 ∠MB′D+ ∠B′MD=90°.

所以∠MB′D=∠BMC.

所以△BCM≌△MDB′.

所以BC=MD，CM=B′D.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(1 ，a)， 則B′D=CM=| 4-a|，MD=CB=2.

可得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為B′(a-3，a-2).

則-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.

整理，得a2-7a+10=0.

解得a=2或a=5.

當(dāng)a=2時(shí)，M的坐標(biāo)為M(1 ， 2 )；

當(dāng)a=5時(shí)，M的坐標(biāo)為M(1 ， 5).

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1 ， 2)或(1 ， 5)時(shí)，點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上.

【評(píng)析】解決此類問題的常用方法是觀察圖形的特征，假設(shè)存在結(jié)論，通過演繹推理得出結(jié)論.而在解題過程中要注意分解知識(shí)點(diǎn)，注重問題的本質(zhì)，如此題中已知函數(shù)解析式求坐標(biāo)，已知坐標(biāo)求函數(shù)解析式等，還要結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想探索解題思路.

五、策略開放探究題

策略開放探究題的一般形式是題目的條件和結(jié)論是已知的或已知一部分，需要探究解題方法或設(shè)計(jì)解題方案.這類問題，在考試中一般以閱讀理解題、作圖題或應(yīng)用題的形式存在.

解題策略是通過模仿、類比、試驗(yàn)、創(chuàng)新，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，合理轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型，使問題得到解決.

例5為解決中小學(xué)大額班問題，某市各縣區(qū)今年將改擴(kuò)建部分中小學(xué).某縣計(jì)劃對(duì)A，B兩類學(xué)校進(jìn)行改擴(kuò)建，根據(jù)預(yù)算，改擴(kuò)建2所A類學(xué)校和3所B類學(xué)校共需資金7 800萬元，改擴(kuò)建3所A類學(xué)校和1所B類學(xué)校共需資金5 400萬元.

（1）改擴(kuò)建1所A類學(xué)校和1所B類學(xué)校分別需要的資金是多少？

（2）該縣計(jì)劃改擴(kuò)建A，B兩類學(xué)校共10所，改擴(kuò)建資金由國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)，若國(guó)家財(cái)政撥付資金不超過11 800萬元，地方財(cái)政投入資金不少于4 000萬元，其中地方財(cái)政投入到A，B兩類學(xué)校的改擴(kuò)建資金分別為每所300萬元和500萬元，試問共有哪幾種改擴(kuò)建方案？

分析：（1）根據(jù)題意列方程組解決；

（2）根據(jù)題意，設(shè)A類學(xué)校有a所，則B類學(xué)校有( )

10-a所，列出不等式組，確定a的取值范圍，由此可得改擴(kuò)建方案的所有可能，然后給出結(jié)果.

解：（1）設(shè)改擴(kuò)建1所A類學(xué)校和1所B類學(xué)校所需資金分別為x萬元和y萬元，

答：改擴(kuò)建1所A類學(xué)校需資金1 200萬元，改擴(kuò)建1所B類學(xué)校需資金1 800萬元.

（2）設(shè)A類學(xué)校有a所，則B類學(xué)校有(10-a)所.

根據(jù)題意，得

解得3≤a≤5，即a的取值為3或4或5.

所以共有以下3種改擴(kuò)建方案.

方案1：A類學(xué)校有3所，B類學(xué)校有7所；

方案2：A類學(xué)校有4所，B類學(xué)校有6所；

方案3：A類學(xué)校有5所，B類學(xué)校有5所.

【評(píng)析】這類問題要根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，將復(fù)雜問題條理化，使解題思路清晰，過程簡(jiǎn)潔.對(duì)于代數(shù)問題，根據(jù)條件列出變量滿足的方程或不等式（組），解方程或不等式（組），再根據(jù)要求給出答案；幾何問題往往利用方程、不等式、三角函數(shù)和函數(shù)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合解決問題.

六、綜合開放探究題

綜合開放探究題的特征是條件、結(jié)論、解題方法都不全或未知，僅提供問題情境，需要補(bǔ)充條件，尋找結(jié)論，設(shè)計(jì)方法.

解決這類問題，一般是從基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能入手，多角度、多層次地分析問題的特點(diǎn)，著力探究一因多果和一果多因，探索問題成立所必須具備的條件，或特定的條件所得到的結(jié)論，再加以解答.

例6實(shí)驗(yàn)探究：（1）如圖8（1），對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，MN.觀察圖8（1），猜想∠MBN的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論.

（2）將圖8（1）中的三角形紙片BMN剪下，如圖8（2）所示，折疊該紙片，探究MN與BM的數(shù)量關(guān)系.寫出折疊方案，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論.

圖8

分析：（1）由圖形的特點(diǎn)，連接AN（如圖9）.根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知△ABN是等邊三角形，再由∠NBM，∠ABM，∠ABN之間的關(guān)系解決問題；

（2）由于△BMN是直角三角形，由此折疊三角形紙片BMN，使點(diǎn)N落在BM上（如圖10），探究△PBM的形狀，尋找MN與BM的關(guān)系.

圖9

圖10

解：（1） ∠MBN=30°.理由如下.

如圖9，連接AN.

因?yàn)橹本€EF是AB的垂直平分線，點(diǎn)N在EF上，所以AN=BN.

由折疊可知BN=AB.

所以△ABN是等邊三角形.所以∠ABN=60°.

折疊方案：如圖10，折疊三角形紙片BMN，使點(diǎn)N落在BM上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)M，得到折痕MP，同時(shí)得到線段PO.

理由：由折疊可知MN=OM，∠MOP=∠MNP=90°.

所以△MBP是等腰三角形.

【評(píng)析】綜合開放探究題難度較大，對(duì)學(xué)生的思維能力要求高，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.對(duì)于有多重的結(jié)論開放的問題，應(yīng)抓住條件中那些影響結(jié)論的因素，或分類討論，或構(gòu)造不同圖形，全面考慮問題的各個(gè)方面，找到正確結(jié)果；對(duì)于只給出一個(gè)特定情境，而問題的條件、結(jié)論及推理判斷過程均不確定的開放性問題，就要考慮相近或相似的題型、結(jié)論、方法，進(jìn)行類比，梳理解題思路，尋找解題方法，從而使問題得到解決.

解開放探究題要認(rèn)真審題，確定目標(biāo)；更要深刻理解題意，開闊思路，發(fā)散思維，通過采用數(shù)形結(jié)合的方式，合理轉(zhuǎn)化問題.解題過程就是合理地轉(zhuǎn)化問題的過程，而直觀歸納與嚴(yán)格推理論證相結(jié)合是處理這類問題的基本思路和解題策略.