由作法探索到折法實(shí)踐
——用“正方形紙片折黃金矩形”的教學(xué)及思考

（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）提出了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，明確了動(dòng)手實(shí)踐也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，為此我們開(kāi)展了江蘇省泰州市立項(xiàng)課題——初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課程體驗(yàn)教學(xué)模式實(shí)踐研究.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的一類(lèi)是探索、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論；另一類(lèi)是已知數(shù)學(xué)結(jié)論，探索具體的操作方法，積累操作的經(jīng)驗(yàn).為了研究第二類(lèi)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，在學(xué)生學(xué)習(xí)了蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第六章“圖形的相似”后，筆者上了一節(jié)“用正方形紙片折黃金矩形”的研討課，在此與大家分享，望能拋磚引玉，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.

一、教學(xué)過(guò)程回顧

1.圖片欣賞，復(fù)習(xí)引入

教師展示雅典巴臺(tái)農(nóng)神殿和蒙娜麗莎圖片分別如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

師：同學(xué)們，從這兩幅圖片中，我們能看到什么？

生1：從圖1中，我看到了歷史的滄桑，巴臺(tái)農(nóng)神殿的古老；從圖2中，我看到了蒙娜麗莎的美麗.

……

師：同學(xué)們，從不同的視角觀察這兩幅圖，會(huì)得到不同的結(jié)論.也許我們只能直觀地觀察到一些顯性的東西，其實(shí)這兩幅圖中還包含了很多隱性的數(shù)學(xué)元素.事實(shí)上，在巴臺(tái)農(nóng)神殿的設(shè)計(jì)上、蒙娜麗莎畫(huà)作的人物結(jié)構(gòu)上都采用了黃金矩形的元素.那什么是黃金矩形呢？讓我們先回顧一下黃金分割的定義.

圖3

圖4

如圖4，在矩形ABCD中，如果BC與AB（BC＜AB）的比為黃金比，則稱(chēng)其為黃金矩形.

師：我們現(xiàn)在知道什么是黃金矩形了，這節(jié)課我們就來(lái)探討一下，如何用正方形紙片來(lái)折一個(gè)黃金矩形，為了能順利完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，大家先和老師一起來(lái)思考下面的問(wèn)題.

師：生2用黃金分割的定義說(shuō)明了點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn)，回答得很好.這個(gè)問(wèn)題的正確性，也就告訴我們?cè)谝粭l線段上添加一個(gè)點(diǎn)后，如果有兩條線段的比等于黃金分割比，那么這個(gè)點(diǎn)就是這條線段的黃金分割點(diǎn).這樣我們就有了一個(gè)根據(jù)比值來(lái)判斷黃金分割的方法.我們?cè)倮^續(xù)思考下面的問(wèn)題.

【教學(xué)反思】從實(shí)際教學(xué)活動(dòng)來(lái)看，在觀察圖片時(shí)，大多數(shù)學(xué)生能說(shuō)出圖中的黃金矩形，但是對(duì)于一些顯性的數(shù)學(xué)元素，反而說(shuō)不出，究其原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)相似時(shí)接觸過(guò)這些圖形，學(xué)生揣摩到了教師所要的答案，以致于沒(méi)有達(dá)到答案多樣性的目的，設(shè)計(jì)的懸念沒(méi)有得到體現(xiàn).這就告訴我們?cè)谶x用素材時(shí)，要考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，這樣才能達(dá)到設(shè)計(jì)意圖.在回答問(wèn)題1時(shí)，學(xué)生有些不知道從何處入手，對(duì)二次根式的運(yùn)算也不是很熟練，這恰恰說(shuō)明了設(shè)計(jì)問(wèn)題1、問(wèn)題2的必要性.《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)黃金分割的要求是“通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割”，所以教師在傳授知識(shí)時(shí)，一般只停留在“了解”的層面，因此需要進(jìn)行必要的復(fù)習(xí)及延伸，以適應(yīng)后面問(wèn)題的解決，我們要從學(xué)生已有的知識(shí)及其掌握的程度出發(fā)設(shè)計(jì)問(wèn)題，以起到承上啟下的作用.

2.由數(shù)到形，尺規(guī)找點(diǎn)

問(wèn)題3：已知線段AC，你能用尺規(guī)作出線段AC的黃金分割點(diǎn)嗎？

師：說(shuō)說(shuō)具體操作.

生5：以AC為一條直角邊，作另一條直角邊長(zhǎng)為

師：回答得很好，下面我們一起來(lái)看下面的作法，并動(dòng)手畫(huà)一畫(huà).

（2）連接AD，在AD上截取DE=DC；

（3）在AC上截取AB=AE.

則點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn).

圖5

（2）連接AD，以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；

（3）以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交AC于點(diǎn)B.

則點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn).

圖6

師：作法2實(shí)際上作的是線段AC的另一個(gè)黃金分割點(diǎn)，我們不妨稱(chēng)作法1為“截長(zhǎng)法”，作法2為“補(bǔ)短法”.通過(guò)尺規(guī)作圖我們已經(jīng)能作出一條線段的黃金分割點(diǎn)，下面我們來(lái)看看怎樣通過(guò)折紙的方法折出一個(gè)直角三角形紙片一條直角邊的黃金分割點(diǎn).

問(wèn)題4：給你一張直角三角形的紙片ACD（如圖7），且其兩條直角邊的比AC∶DC=2∶1，你能折出直角邊AC的黃金分割點(diǎn)嗎？

圖7

師：大家拿出準(zhǔn)備好的紙片，相互合作、討論，嘗試折疊.

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

【教學(xué)反思】學(xué)生在解決問(wèn)題3時(shí)感到難度很大，大多數(shù)學(xué)生是在教師的幫助下才得以解決問(wèn)題.問(wèn)題3難在由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換.如果再設(shè)計(jì)一些階梯性問(wèn)題，又擔(dān)心會(huì)降低思維含量，因此解決問(wèn)題的根本還在于平時(shí)要加強(qiáng)數(shù)形之間的聯(lián)系，切實(shí)將基本的數(shù)學(xué)思想教學(xué)落到實(shí)處.問(wèn)題4中，在由作法到折法過(guò)渡的過(guò)程中，可以感受到學(xué)生普遍動(dòng)手能力較弱，拿著紙片東張西望，不知道如何下手.在經(jīng)過(guò)第一次教學(xué)嘗試后，筆者認(rèn)為需要將折法的步驟列出，這樣對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)能起到降低難度的作用.學(xué)生動(dòng)手能力弱還說(shuō)明了以活動(dòng)為載體的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課的開(kāi)設(shè)不足，沒(méi)有引起足夠的重視.在數(shù)學(xué)活動(dòng)開(kāi)展的整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)調(diào)動(dòng)大量的知識(shí)儲(chǔ)備，從而起到鞏固、復(fù)習(xí)的作用.此外，數(shù)學(xué)活動(dòng)的課題往往具有很強(qiáng)的開(kāi)放性、探索性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新精神，以及創(chuàng)新意識(shí)都有很大的幫助.

3.畫(huà)法探索，折法實(shí)踐

師：我們由黃金分割點(diǎn)的畫(huà)法，解決了問(wèn)題4，現(xiàn)在我們來(lái)看問(wèn)題5.

問(wèn)題5：怎樣用正方形紙片折黃金矩形？

生7：我們可以先在正方形上畫(huà)出黃金矩形，然后再考慮怎么折.就是仿照問(wèn)題4的解決方法.

師：生7給我們提供了解決這個(gè)問(wèn)題的方向，我們不妨一試.

學(xué)生動(dòng)手在正方形紙上畫(huà)，教師巡視察看.幾分鐘后，教師提問(wèn).

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的畫(huà)法.

生8：如圖13，（1）取BC的中點(diǎn)E，連接DE；（2）在DE上截取EF=EC；（3）在DC上截取DG=DF；（4）過(guò)點(diǎn)G作DC的垂線交AB于點(diǎn)H，則四邊形ADGH為黃金矩形.

圖13

師：我們能將生8的畫(huà)法轉(zhuǎn)化為折紙的方法嗎？大家拿出手中的正方形紙片，試一試！

同學(xué)們一會(huì)兒埋頭折疊，一會(huì)兒相互交流，詢(xún)問(wèn)折法或相互探討.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一下折疊的方法？

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

師：雖然畫(huà)法是比較直接的，但是通過(guò)折紙折出來(lái)，還不是容易的，難點(diǎn)主要在于將DF折到DC上.

師：如圖23，如果我們將DF移到AD上，你能發(fā)現(xiàn)什么？

圖23

生10：我發(fā)現(xiàn)如果在AD上截取DG=DF，那么點(diǎn)G，F(xiàn)，C共線，這樣我們只要折出圖17中△EFN的邊EN上的高就可以了.

師：很好，點(diǎn)G，F(xiàn)，C共線的理由是什么？

生11：因?yàn)椤螪GF=∠DFG，∠EFC=∠ECF，又因?yàn)椤螱DF=∠CEF，所以∠DFG=∠EFC.因?yàn)椤螮FC+∠DFC=180°，所以∠DFG+∠DFC=180°.所以G，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

圖24

圖25

圖26

圖27

生12：可以.如圖28，以BC邊的中點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交CB的延長(zhǎng)線（或交BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)G，即可得所求（方式3）.

圖28

有學(xué)生認(rèn)為不可以，因?yàn)锽G不在正方形的邊上，所以沒(méi)法折.

師：大家再仔細(xì)想一想.

圖29

師：生13給出的折疊方法，要比方式1和方式2的折法都容易、簡(jiǎn)單，真可謂思之越深、解之越巧.具體的折疊過(guò)程大家在課后完成.

【教學(xué)反思】在這個(gè)階段由于有前面的一些問(wèn)題鋪路，在畫(huà)法的探索上還是比較順利的，學(xué)生參與活動(dòng)的積極性都比較高.主要問(wèn)題是學(xué)生難于將已經(jīng)獲得的畫(huà)法轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作的折法，其原因如前所述，在此不再重復(fù).需要說(shuō)明的是在學(xué)校課程計(jì)劃中，安排一些數(shù)學(xué)活動(dòng)課是非常有必要的，在由畫(huà)法探索到折法實(shí)踐的過(guò)程中，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題方法的思考，突出了解決問(wèn)題的過(guò)程.我們?cè)谟龅揭粋€(gè)具體操作的問(wèn)題時(shí)，除非是一個(gè)熟悉的問(wèn)題，否則，我們都必須思考怎樣去操作，以及操作的步驟從何而來(lái).我們必須進(jìn)行理性的探索，尋找解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及能力.將操作的程序畫(huà)成流程圖，在折痕上標(biāo)上序號(hào)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形和符號(hào)表達(dá)自己的想法，便于與大家共享，這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)課對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用.

4.讀圖理解，提煉經(jīng)驗(yàn)

師：前面我們經(jīng)歷由作法到折黃金矩形的過(guò)程，下面老師給出一個(gè)折法，大家看看能不能得到黃金矩形.

問(wèn)題6：將正方形紙片按如圖30～37所示的方式折疊得到的四邊形BCGK是否為黃金矩形（方式4）？

圖30

圖31

圖32

圖33

圖34

圖35

圖36

圖37

師：為什么點(diǎn)B，Q，G在同一條直線呢？

生14：由折法可知，EN垂直平分BF，F(xiàn)Q⊥EN，而過(guò)點(diǎn)F垂直于EN的直線只有一條，所以點(diǎn)B，Q，G在同一條直線上.

【教學(xué)反思】在第一次進(jìn)行課堂教學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，若幾種折疊的方法都讓學(xué)生完成，一方面，學(xué)生感到厭倦，提不起興趣；另一方面，課堂時(shí)間不夠.于是再一次進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，筆者呈現(xiàn)了問(wèn)題6，由折法想圖形特性，根據(jù)圖形的特性解答問(wèn)題.從課堂效果來(lái)看，比第一次要好，學(xué)生的觀察能力、空間想象能力得到了培養(yǎng).

5.小結(jié)提升，應(yīng)用拓展

師：本節(jié)課我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程？在這個(gè)過(guò)程中我們學(xué)到什么？積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？你還有哪些疑問(wèn)？大家相互交流一下.最后老師留給大家一個(gè)問(wèn)題在課后思考，相信大家通過(guò)今天的學(xué)習(xí)一定能夠解決.

問(wèn)題7：（1）你能用一張黃金矩形的紙片折出一個(gè)黃金矩形嗎？如果能，試給出折法.

（2）試用一張長(zhǎng)與寬的比不小于2的矩形紙片折出一個(gè)黃金矩形.

【教學(xué)反思】如果采用常見(jiàn)的“本節(jié)課你有哪些收獲？”來(lái)發(fā)問(wèn)，問(wèn)題的指向過(guò)于寬廣，不能突出重點(diǎn).本節(jié)課主要是研究怎樣用正方形紙片來(lái)折黃金矩形，所以筆者采用了關(guān)注研究過(guò)程的小結(jié)方式，總體感覺(jué)是學(xué)生說(shuō)得比較零碎，這與日常教學(xué)的程序不完整，常常缺少小結(jié)的環(huán)節(jié)，或此環(huán)節(jié)由教師代勞有關(guān).問(wèn)學(xué)生積累了哪些經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生也不知道教師所問(wèn)的“經(jīng)驗(yàn)”指的是什么.我們可以將問(wèn)題再問(wèn)得具體一點(diǎn).例如，怎樣探索用紙片折幾何圖形的操作方法？等等.

二、教學(xué)思考

《標(biāo)準(zhǔn)》提出了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)，指出學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，明確動(dòng)手實(shí)踐也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為對(duì)數(shù)學(xué)日常教學(xué)的補(bǔ)充，能帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)有趣的、好玩的數(shù)學(xué)世界，通過(guò)“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，感悟數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和智慧，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)逐漸被廣大一線教師認(rèn)可并付諸行動(dòng)，積極探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的素材.

1.定起點(diǎn)、瞄終點(diǎn)，問(wèn)題鋪路

若實(shí)驗(yàn)教學(xué)的起點(diǎn)太低，學(xué)生會(huì)覺(jué)得沒(méi)有探究的必要，不能激起學(xué)生學(xué)習(xí)、參與的欲望；若起點(diǎn)太高，學(xué)生則無(wú)法將要解決的問(wèn)題與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，找不到解決問(wèn)題的方向，于是喪失了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力.本節(jié)課的教學(xué)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“圖形的相似”這一章的內(nèi)容后進(jìn)行的，學(xué)生已經(jīng)了解了黃金分割、黃金比、相似的判斷及性質(zhì)等知識(shí)，所以起點(diǎn)定在從復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)開(kāi)始，由舊知識(shí)引入新問(wèn)題.如果一開(kāi)始就讓學(xué)生用正方形紙折黃金矩形，因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有這方面的經(jīng)驗(yàn)，不知道怎么折，所以就會(huì)無(wú)從下手，不知所措.第一次進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，筆者沒(méi)有設(shè)計(jì)問(wèn)題4，由于操作經(jīng)驗(yàn)缺乏，沒(méi)能順利完成預(yù)設(shè)目標(biāo)，所以后來(lái)設(shè)計(jì)了問(wèn)題4，讓學(xué)生先獲得一些必要的操作經(jīng)驗(yàn)，然后類(lèi)比到折黃金矩形的方式1中，降低操作的難度.設(shè)計(jì)線段黃金分割點(diǎn)的兩種畫(huà)法，也是為方式1、方式2、方式3的作法的分析鋪墊，是將已經(jīng)獲得的知識(shí)向后延伸、遷移，形成問(wèn)題串，每個(gè)問(wèn)題都指向最終要解決的問(wèn)題，形成連接最終問(wèn)題的通道.

2.先作法、后折法，問(wèn)題解決

用正方形紙片折黃金矩形這個(gè)課題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新的挑戰(zhàn)、新的體驗(yàn).學(xué)生看到這個(gè)課題感覺(jué)很困難，不知道要如何入手，其原因是折黃金矩形不僅需要學(xué)生的操作能力作為支撐，更重要的是學(xué)生要手腦并用.在思考怎么折的時(shí)候，本節(jié)課給出了思考此類(lèi)問(wèn)題的一種方法，就是從問(wèn)題的作法入手，然后通過(guò)作法再考慮如何折.從作法到折法，不是簡(jiǎn)單的復(fù)制.由于一些現(xiàn)實(shí)原因，會(huì)導(dǎo)致作法可行，但對(duì)應(yīng)的折法不能夠?qū)嵤?在探索問(wèn)題的作法時(shí)，學(xué)生首先要運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)分析、計(jì)算、推理等以腦部思維為主的活動(dòng)探索出作法，再過(guò)渡到有實(shí)物參與的實(shí)踐活動(dòng).這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生在教師的主導(dǎo)下，從問(wèn)題（或問(wèn)題情境）出發(fā)進(jìn)行探索所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)具備了數(shù)學(xué)活動(dòng)的兩種形式，所以選擇這種從作法到折法的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)，要比單純的按圖示程序操作，再驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)更具挑戰(zhàn)性，更能培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).本節(jié)課中，從黃金矩形應(yīng)滿(mǎn)足的相鄰兩邊的比入手，先通過(guò)探索作法構(gòu)圖，在作法的探索過(guò)程中，運(yùn)用了勾股定理，相似三角形的判斷、性質(zhì)，等腰三角形的相關(guān)知識(shí)等，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比等思想方法.由構(gòu)成的圖形思考怎樣去折疊以達(dá)到所構(gòu)成的圖形，再折疊出正方形一邊上的黃金分割點(diǎn).方式1和方式2均是直接構(gòu)造出的實(shí)線段，而方式3構(gòu)造了一條虛線段（不在正方形中）.在折疊的過(guò)程中，將由尺規(guī)作線段的方法轉(zhuǎn)化為折疊的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、空間想象能力，幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與技能.例如，在折痕上標(biāo)上序號(hào)，使得我們?cè)趪L試折法時(shí)，不必單純憑記憶去記折疊的順序.通過(guò)多種方式用正方形折疊黃金矩形，使學(xué)生體會(huì)到解決問(wèn)題的多樣性，并通過(guò)比較，得到了更多的經(jīng)驗(yàn)和感悟.方式4改變了呈現(xiàn)的方式，即給出折疊的程序，驗(yàn)證折法的正確性.在驗(yàn)證折疊方法的正確性時(shí)，學(xué)生需要將操作方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件，學(xué)生的觀察能力得到了培養(yǎng)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性上升到了理性.

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