2018年中考“綜合與實(shí)踐”專(zhuān)題解題分析

（江西省教育廳教學(xué)教材研究室；江西省贛州市贛州中學(xué)）

一、內(nèi)容要求分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）在課程內(nèi)容部分指出，綜合與實(shí)踐是一類(lèi)以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)、方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決綜合與實(shí)踐問(wèn)題.

二、主要特點(diǎn)分析

為有效落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念，更好地發(fā)揮中考試題對(duì)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域教學(xué)的導(dǎo)向作用，綜觀2018年中考“綜合與實(shí)踐”類(lèi)試題的呈現(xiàn)形式、考查內(nèi)容基本趨于穩(wěn)定，考查題型多樣化.命題者在深入理解《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容要求的基礎(chǔ)上，力求在試題的考查內(nèi)涵上不斷創(chuàng)新，以問(wèn)題為載體，注重對(duì)試題的綜合性、過(guò)程性和應(yīng)用性的考查.

1.綜合性

綜合性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的綜合，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的綜合，數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的綜合.一般考查“綜合與實(shí)踐”的試題貫穿了一個(gè)較完整的綜合活動(dòng)的背景，問(wèn)題的設(shè)置也產(chǎn)生于活動(dòng)過(guò)程中.

（1）數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的綜合.

例1（江蘇·泰州卷）對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖1（1）），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖1（2））.

（2）將該矩形紙片展開(kāi).

①如圖1（3），折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開(kāi).求證：∠CPH=90°.

②不借助工具，利用圖1（4）探索一種新的折疊方法，找出與圖1（3）中位置相同的點(diǎn)P，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，試簡(jiǎn)要說(shuō)明折疊方法（不用說(shuō)明理由）.

圖1

（2）①（方法1）如圖2，連接EH.由翻折可得PH=PC，即PH2=PC2.根據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2.進(jìn)而得出AP=BC.再根據(jù)PH=PC，∠A=∠B，得到Rt△PAH≌ Rt△CBP（HL）. 進(jìn)而得到∠HPC=90°.

圖2

圖3

（方法2）如圖3，連接EH，ED，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的折痕交CD于點(diǎn)Q，連接HQ.由折疊的性質(zhì)可得△AEH和△DHQ為等腰直角三角形，所以AH=AE，DH=DQ.又由折疊知DE⊥CH，PQ⊥CH，所以DE∥PQ.又因?yàn)锳B∥CD，所以四邊形PQDE是平行四邊形.所以PE=DQ=DH.所以AP=AD=BC.又因?yàn)镻H=PC，∠A=∠B=90°，所以Rt△PAH≌ Rt△CBP（HL），進(jìn)而可得∠HPC=90°.

②（方法1）如圖4，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在CE上，則折痕與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

圖4

圖5

（方法2）如圖5，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在DC上，則折痕與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【評(píng)析】此題創(chuàng)設(shè)了圖形折疊的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，并對(duì)實(shí)踐操作過(guò)程中自然生成的問(wèn)題進(jìn)行設(shè)問(wèn)，綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的綜合考查.

（2）數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)的綜合.

例2（四川·達(dá)州卷）如圖6，在物理課上，老師將掛在彈簧測(cè)力計(jì)下端的鐵塊浸沒(méi)于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ）.

圖6

答案：D.

【評(píng)析】此題以物理現(xiàn)象為背景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，由鐵塊從水中勻速上移逐漸移出水面直至停留在空中的過(guò)程，考慮到水的浮力影響，彈簧秤的讀數(shù)由“保持不變—逐漸增大—保持不變”，故選D.此題考查了學(xué)生綜合運(yùn)用物理學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系，以及函數(shù)圖象來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)的綜合.

（3）數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的綜合.

例3（浙江·嘉興卷）如圖7（1），滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱AC垂直于地面AB，點(diǎn)P為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為△PDE，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，AC=2.8 m，PD=2 m，CF=1 m，∠DPE=20°，當(dāng)點(diǎn)P位于初始位置P0時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合（如圖7（2））.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與PE垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳.

（1）上午10：00時(shí)，太陽(yáng)光線(xiàn)與地面的夾角為65°（如圖7（3）），為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)P需從點(diǎn)P0上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1 m）

（2）中午12：00時(shí)，太陽(yáng)光線(xiàn)與地面垂直（如圖7（4）），為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到0.1m）

圖7

答案：（1）為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)P需從P0上調(diào)0.6 m；

（2）點(diǎn)P在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0.7 m.

【評(píng)析】此題創(chuàng)設(shè)了實(shí)際測(cè)量的問(wèn)題情境，考查了學(xué)生對(duì)實(shí)際情境的數(shù)學(xué)化抽象過(guò)程，以及構(gòu)建解直角三角形，用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的綜合.

2.過(guò)程性

“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容要求關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這部分試題力求創(chuàng)設(shè)實(shí)踐活動(dòng)的完整過(guò)程，在學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、歸納、類(lèi)比、猜想、證明等一系列思維活動(dòng)并解決問(wèn)題的過(guò)程中，達(dá)到考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，并形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的目的.

列表：

x -1--3 1 12 3 -2x 23 y=-x-2 x………32-2-4 12 1 2 2 3 53 1 2 4 5 1 2 -4 y=-1-1-3 2 1 0 23 4 -13 12………

（1）試把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用一條光滑曲線(xiàn)順次連接起來(lái)；

（2）觀察圖象并分析表格，回答下列問(wèn)題：

①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而______；（填“增大”或“減小”）

③圖象關(guān)于點(diǎn)_______中心對(duì)稱(chēng).（填點(diǎn)的坐標(biāo)）

圖8

圖9

答案：（1）所畫(huà)函數(shù)圖象如圖9所示.

（2）①當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；

③圖象關(guān)于點(diǎn)(0 ，1)中心對(duì)稱(chēng).

（3）因?yàn)閤1+x2=0，所以x1=-x2.

所以A(x1，y1) ，B(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)(0 ，1)對(duì)稱(chēng).

所以y1+y2=2.所以y1+y2+3=5.

【評(píng)析】此題是一道綜合考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的解答題，試題設(shè)計(jì)有新意.此題呈現(xiàn)了一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的完整過(guò)程，讓學(xué)生在答題過(guò)程中不自覺(jué)地經(jīng)歷由觀察自變量取值范圍，列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖，觀察圖象，發(fā)現(xiàn)圖象的性質(zhì)，并利用性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)了對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.

例5（河南卷）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

如圖10（1），在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M.

②∠AMB的度數(shù)為_(kāi)_______.

（2）類(lèi)比探究：

（3）拓展延伸：

在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線(xiàn)交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=7，試直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).

圖10

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°.

圖11

圖12

【評(píng)析】此題呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)中“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—類(lèi)比探究—拓展延伸”的完整過(guò)程，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究思路，綜合考查了幾何變換，以及相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的分析推理能力、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查.

3.應(yīng)用性

綜合與實(shí)踐作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要領(lǐng)域，并不是在其他領(lǐng)域之外增加新的知識(shí)，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)性和整體性.具體地說(shuō)，綜合與實(shí)踐是指數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)在分析和解決問(wèn)題過(guò)程中的綜合應(yīng)用.綜合與實(shí)踐的總體要求是幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探究和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定綜合性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，以發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

例6（浙江·紹興卷）實(shí)驗(yàn)室里有一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器，從內(nèi)部量得它的高是15 cm，底面的長(zhǎng)是30 cm，寬是20 cm，容器內(nèi)的水深為xcm.現(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖13所示的長(zhǎng)方體實(shí)心鐵塊（鐵塊一面平放在容器底面），過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的長(zhǎng)分別為10cm，10cm，ycm（y≤15），當(dāng)鐵塊的頂部高出水面2 cm時(shí)，x，y滿(mǎn)足的關(guān)系式是_______.

圖13

圖14

（1）求k，并用t表示h；

（2）設(shè)v=5，用t表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫(xiě)x的取值范圍），及y=13時(shí)運(yùn)動(dòng)員與正下方滑道的豎直距離；

（3）若運(yùn)動(dòng)員甲、乙同時(shí)從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒.當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過(guò)4.5米的位置時(shí)，直接寫(xiě)出t的值及v乙的范圍.

答案：（1）h=5t2；

（2）10（米）；

（3）t=1.8，v乙＞ 7.5.

例8（陜西卷）問(wèn)題提出

（1）如圖15（1），在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為_(kāi)______.

問(wèn)題探究

（2）如圖15（2），⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值.

問(wèn)題解決

圖15

解析：（1）如圖16，設(shè)△ABC的外接圓圓心為點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得R=AB=AC=5.

圖16

圖17

圖18

【評(píng)析】以上三道題均要求學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題.例6考查了數(shù)學(xué)幾何體與物理學(xué)中容積的綜合應(yīng)用；例7考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)與物理學(xué)運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用；例8考查了幾何知識(shí)與實(shí)際生活中路線(xiàn)最短規(guī)劃的綜合應(yīng)用，凸顯了2018年中考試題中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的應(yīng)用性特點(diǎn)，有效地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

三、解題思路評(píng)析

1.以邏輯推理為主線(xiàn)，利用分類(lèi)討論思想解題

例9（浙江·嘉興卷）如圖19，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)E在CD上，DE=1，點(diǎn)F是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt△EFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，則AF的值是_______.

圖19

【評(píng)析】此題考查了學(xué)生對(duì)矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線(xiàn)定理、圓的性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力.試題綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有較高要求，具有一定難度.解題時(shí)需要合理運(yùn)用分類(lèi)討論進(jìn)行有條理的邏輯推理.

2.以直觀想象為導(dǎo)向，利用數(shù)形結(jié)合思想解題

例10（浙江·嘉興卷）已知，點(diǎn)M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，直線(xiàn)y=mx+5分別交x軸正半軸，y軸于點(diǎn)A，B.

（1）判斷頂點(diǎn)M是否在直線(xiàn)y=4x+1上，并說(shuō)明理由.

（2）如圖20（1），若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且mx+5＞-(x-b)2+4b+1，根據(jù)圖象，寫(xiě)出x的取值范圍.

圖20

解析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式進(jìn)行檢驗(yàn)，可得點(diǎn)M在直線(xiàn)y=4x+1上；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)的解析式.根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系，可知圖象在下方的函數(shù)值小，可得x＜0或x＞5；

【評(píng)析】此題是一道二次函數(shù)的綜合題.解第（1）小題的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，并進(jìn)行檢驗(yàn)；解第（2）小題的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系求解；解第（3）小題的關(guān)鍵是解方程組，得出頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍，又利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得到當(dāng)a＜0時(shí)，點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離越小函數(shù)值越大.其中借助圖象來(lái)解決問(wèn)題起著直觀的導(dǎo)向作用，可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解題中具有重要地位.

3.以數(shù)學(xué)運(yùn)算為支撐，利用特殊到一般思想解題

例11（山東·青島卷）問(wèn)題提出：用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，按照如圖21所示的方式搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律.

圖21

問(wèn)題探究：我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始探究，從中找出解決問(wèn)題的方法.

探究1

用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n的矩形框架（m，n是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)如下.

如圖22，當(dāng)m=1，n=1時(shí)，橫放木棒為1×(1 +1)條，縱放木棒為(1 +1)×1條，共需4條；

如圖23，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，橫放木棒為2×(1 +1)條，縱放木棒為(2 +1)×1條，共需7條；

如圖24，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，橫放木棒為2×(2 +1)條，縱放木棒為(2 +1)×2條，共需12條；

如圖25，當(dāng)m=3，n=1時(shí)，橫放木棒為3×(1 +1)條，縱放木棒為(3 +1)×1條，共需10條；

如圖26，當(dāng)m=3，n=2時(shí)，橫放木棒為3×(2 +1)條，縱放木棒為(3 +1)×2條，共需17條.

圖22

圖23

圖24

圖25

圖26

問(wèn)題1：當(dāng)m=4，n=2時(shí)，共需木棒的條數(shù)為_(kāi)__.

問(wèn)題2：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒的條數(shù)為_(kāi)_____，縱放的木棒的條數(shù)為_(kāi)_____.

探究2

用若干木棒來(lái)搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s的長(zhǎng)方體框架（m，n，s是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù)如下.

如圖27，當(dāng)m=3，n=2，s=1時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(1 +1)=34條，豎放木棒為(3 +1)×(2 +1)×1=12條，共需46條；

如圖28，當(dāng)m=3，n=2，s=2時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(2 +1)=51條，豎放木棒為(3 +1)×(2 +1)×2=24條，共需75條；

如圖29，當(dāng)m=3，n=2，s=3時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3 ×(2 +1)+(3 +1)×2]×(3 +1)=68條，豎放木棒為(3 +1)×(2 +1)×3=36條，共需104條.

圖27

圖28

圖29

問(wèn)題3：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為_(kāi)______，豎放木棒條數(shù)為_(kāi)_____.

實(shí)際應(yīng)用：現(xiàn)在按探究2的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是2、高是4的長(zhǎng)方體框架，總共使用了170條木棒，則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是_______.

拓展應(yīng)用：若按照如圖30所示的方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒的條數(shù)為_(kāi)_____.

圖30

解析：?jiǎn)栴}1：當(dāng)m=4，n=2時(shí)，橫放木棒為4×(2 +1)條，縱放木棒為(4 +1)×2條，共需22條；

問(wèn)題2：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒為m(n+1)條，縱放的木棒為n(m+1)條；

問(wèn)題3：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為[m(n+1)+n(m+1)]·(s+1)條，豎放木棒(m+1)(n+1)s條.

實(shí)際應(yīng)用：按探究2的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是2、高是4的長(zhǎng)方體框架，總共使用了170條木棒，則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是4.

拓展應(yīng)用：若按照如圖30所示的方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5的正三棱柱框架，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為1 320條.

【評(píng)析】此題是一道考查圖形的變化規(guī)律問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用從特殊的例子中總結(jié)歸納出一般的內(nèi)在規(guī)律，然后利用這個(gè)規(guī)律去驗(yàn)證與解決同類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.在這個(gè)探究與解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力一直起到了重要的支撐作用.

4.以數(shù)學(xué)建模為過(guò)程，利用類(lèi)比、轉(zhuǎn)化或化歸思想解題

例12（山東·淄博卷）（1）操作發(fā)現(xiàn)：

如圖31（1），小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN.小明發(fā)現(xiàn)了：線(xiàn)段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是_______.

（2）類(lèi)比思考：

如圖31（2），小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其他條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？試說(shuō)明理由.

（3）深入研究：

如圖31（3），小明在（2）的基礎(chǔ)上，又進(jìn)行了進(jìn)一步的探究.向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其他條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給予證明.

圖31

解析：（1）線(xiàn)段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是GM=GN，位置關(guān)系是GM⊥GN.理由：如圖32，連接DC，EB，利用SAS判斷出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，進(jìn)而判斷出∠BDC+∠DBH=90°，即∠BHD=90°，最后用三角形中位線(xiàn)定理即可得出結(jié)論.

（2）上述結(jié)論仍成立.如圖33，連接DC，EB，同（1）的方法即可得出結(jié)論.

（3）如圖34，連接DC，EB，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位線(xiàn)定理和等量代換即可得出結(jié)論.

圖32

圖33

圖34

【評(píng)析】此題是一道有關(guān)三角形的綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理.解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，運(yùn)用類(lèi)比思想解決問(wèn)題.在整個(gè)解題過(guò)程中，要求學(xué)生從特殊的例子入手，建立幾何圖形模型，然后利用這個(gè)模型解決變式問(wèn)題.

例13（江蘇·揚(yáng)州卷）問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖35，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值.

方法歸納

求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線(xiàn)等方法解決此類(lèi)問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中.

問(wèn)題解決

（1）直接寫(xiě)出圖35（1）中tan∠CPN的值為_(kāi)______；

（2）如圖35（2），在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；

思維拓展

（3）如圖35（3），AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù).

圖35

解析：（1）2；

（2）如圖36，取格點(diǎn)D，連接CD，DM.

因?yàn)镃D∥AN，

所以∠CPN=∠DCM.

因?yàn)椤鱀CM是等腰直角三角形，

所以∠DCM=∠D=45°.

圖36

圖37

（3）如圖37，取格點(diǎn)M，連接AN，MN.

因?yàn)镻C∥MN，

所以∠CPN=∠ANM.

因?yàn)锳M=MN，∠AMN=90°，

所以∠ANM=∠MAN=45°.

所以∠CPN=45°.

【評(píng)析】此題考查了三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想思考問(wèn)題，屬于較難題.因此，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果，最終解決實(shí)際問(wèn)題的建模解題過(guò)程值得關(guān)注.

四、特色解法賞析

在2018年全國(guó)各地中考試題中對(duì)于“綜合與實(shí)踐”類(lèi)問(wèn)題都很重視，試題的設(shè)計(jì)符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，同時(shí)又兼顧地域特色，倡導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立解決問(wèn)題.試題解法豐富，且各具特色，由此彰顯數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一.下面舉例說(shuō)明.

例14（湖南·常德卷）5個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲，游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)實(shí)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴與他相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將與他相鄰的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)，若報(bào)出來(lái)的數(shù)如圖38所示，則報(bào)4的人心里想的數(shù)是________.

圖38

解析：設(shè)報(bào)4的人心里想的數(shù)是x，則報(bào)1的人心里想的數(shù)是10-x，報(bào)3的人心里想的數(shù)是x-6，報(bào)5的人心里想的數(shù)是14-x，報(bào)2的人心里想的數(shù)是x-12，所以有x-12+x=2×3.解得x=9.故此題答案為9.

【賞析】此題屬于閱讀理解和探索規(guī)律題，考查的知識(shí)點(diǎn)有平均數(shù)的相關(guān)計(jì)算，以及對(duì)方程思想的運(yùn)用.解決此題的方法有些特殊，題意理解起來(lái)比較容易，如果僅從數(shù)字去逐個(gè)推理，比較繁雜，不容易理清思路，但是借助方程思想便能理清思路，從而解決問(wèn)題.只需多設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，把題中的等量關(guān)系全部表示出來(lái)，再結(jié)合題意進(jìn)行整合，問(wèn)題即可解決.此題還可以根據(jù)報(bào)2的人心里想的數(shù)是6-x，從而列出方程x-12=6-x來(lái)求解.

例16（江西卷）如圖39，在△ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng).

圖39

圖40

解析：（方法1）如圖39，首先證明△ABE∽△CDE，然后求出AE與CE的比，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)；

（方法2）如圖40，將AB沿BD向下翻折得FB，可知點(diǎn)F落在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接AF，可證得點(diǎn)E是△ABF的重心，從而得AE與CE的比為2∶1.所以AE=4.

【賞析】方法1是利用平行的條件聯(lián)想到三角形相似，從而求出線(xiàn)段的長(zhǎng)；方法2是由中點(diǎn)與角平分線(xiàn)聯(lián)想到補(bǔ)全圖形，從而得出新的圖形，再把握其特征，得出點(diǎn)E是△ABF的重心，進(jìn)而求解.由此可以看出，解題時(shí)充分運(yùn)用圖形變換，“靜”中生“動(dòng)”，往往能事半功倍.

例17（廣東·廣州卷）如圖41，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度數(shù)；

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足AE2=BE2+CE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖41

解析：（1）利用四邊形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

（2）如圖42，連接BD，以BD為邊向下作等邊三角形BDQ，證明△DCQ是直角三角形，即可解決問(wèn)題.

圖42

圖43

【賞析】此題考查了四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形.此題屬于中考?jí)狠S題，其中由條件AE2=BE2+CE2逆向聯(lián)想構(gòu)造輔助線(xiàn)是此題較鮮明的特色.