“三法”發(fā)現(xiàn)隱形圓，滲透數(shù)學(xué)簡約美

（廣東省陽江市實驗學(xué)校）

數(shù)學(xué)的概念、公式、定理講究簡明，問題解決的思路講究簡單，數(shù)學(xué)的語言講究簡潔，……可見，數(shù)學(xué)應(yīng)該是簡約的.近幾年在各類考試中，經(jīng)常出現(xiàn)一類幾何問題，這類題目綜合性較強(qiáng)、隱蔽性較高、難度較大，學(xué)生感覺無從下手，這時若能根據(jù)題目的本質(zhì)特征，聯(lián)想到圓的有關(guān)知識，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助圓，往往能起到化隱為顯、化繁為簡、化難為易、返璞歸真、追求簡約的解題效果.

一、借用概念，化繁為簡

概念是事物本質(zhì)屬性的反映.利用圓的概念發(fā)現(xiàn)隱形圓的關(guān)鍵是找到題目中由同一點出發(fā)的一組相等線段，繼而考慮以這個點為圓心構(gòu)造輔助圓.

例1如圖1，點O為線段BC的中點，點A，D，C到點O的距離相等，若∠ABC＝30°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）.

圖1

（A）150° （B）120°

（C）60° （D）30°

學(xué)生的常規(guī)解法：如圖2，連接OA，OD.

圖2

因為OB=OA，

所以∠OAB=∠OBA=30°.

所以∠AOC=60°.

因為OA=OD=OC，

所以∠OAD=∠ODA，∠ODC=∠OCD.

根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，有∠AOC+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD=360°.

所以∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD=300°.

所以2∠ODA+2∠ODC=300°.

所以∠ODA+∠ODC=150°，

即∠ADC=150°.

故選A.

很明顯，這種解法較為煩瑣.在學(xué)生得到這種解法的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生思考：此題的條件“點A，D，C到點O的距離相等”，你能聯(lián)想到我們學(xué)過的哪個概念？你能得到更為簡約的解法嗎？由此，學(xué)生聯(lián)想到圓的概念，發(fā)現(xiàn)可以通過構(gòu)造輔助圓來解決問題：因為OA=OB=OC=OD，所以四邊形ABCD在以點O為圓心，OC長為半徑的⊙O上（如圖3），所以∠ABC+∠ADC=180°.所以∠ADC=150°.故選A.在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進(jìn)行反思，感受概念有效運(yùn)用為解題帶來的簡便，進(jìn)一步深化了學(xué)生對概念的理解，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的簡約意識.

圖3

二、借助直角，化難為易

若題目中的條件是直角或與之相關(guān)，則可以考慮借助直角，構(gòu)造輔助圓，然后利用圓中相關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、事半功倍的解題效果.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根.例如，對于方程x2-5x+2=0，操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征，確定一對固定點A(0 ，1)，B(5 ，2)；

第二步：在坐標(biāo)平面中移動直角三角板，使其一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；

第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖4）；

圖4

第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個實數(shù)根.

（1）在圖5中，按照“第四步”的操作方法作出點D（保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；

圖5

（2）結(jié)合圖4，證明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一個實數(shù)根；

（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的實數(shù)根，試直接寫出一對固定點的坐標(biāo)；

（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對，一般地，當(dāng)m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時，點P(m1，n1) ，Q(m2，n2)就是符合要求的一對固定點？

此處只對第（4）小題進(jìn)行解析.

解析：如圖6，設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為P(m1，n1) ，Q(m2，n2)，以PQ為直徑的圓與x軸相交于點M，N，則點M，N的橫坐標(biāo)為方程ax2+bx+c=0的兩根.

整理得x2-( )m1+m2x+m1m2+n1n2=0.

又因為ax2+bx+c=0，

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

從上面兩道題的解題過程中可以明顯地看出，與常規(guī)解法相比，巧妙構(gòu)造橢圓后的解法在很大程度上簡化了計算過程，有效地提升了解題速度和準(zhǔn)確率.以二次方程和四邊形為背景的壓軸題，居然可以借助看似毫不相關(guān)的圓，使解題變得如此容易.

三、聯(lián)想瓜豆，返璞歸真

所謂“瓜豆法”是指在一般情況下，已知點A為定點，點B為動點，點M為線段AB的中點，中點M隨著動點B的運(yùn)動而運(yùn)動、確定而確定.當(dāng)主動點B的路徑為圓時，易知從動點M的路徑也為圓（如圖11）；若其中的主動點B的路徑為線段，則從動點M的路徑也會是線段，即“線段生線段”“圓生圓”，可謂“種瓜得瓜，種豆得豆”，因此得名.其本質(zhì)就是位似變換，兩段路徑關(guān)于定點A成位似圖形.

圖11

圖12

例4如圖13，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2 2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點．當(dāng)點P沿半圓從點A運(yùn)動至點B時，點M運(yùn)動的路徑長是（ ）.

圖13

（A） 2π （B）π

（C）2 2 （D）2

解析：由題意可得，從動點M的路徑長一定是主動點P的運(yùn)動路徑的一半，易知主動點P的路徑長為半圓弧AB的弧長2π，從而所求為π，故選B.

例5如圖14，點B是⊙O的半徑OA延長線上的一點，OA=AB=2，C是半圓O上的一動點，以BC為斜邊在BC的上方作等腰直角三角形BCD，連接OD，則線段OD的最大長度為_____.

圖14

圖15

圖16

例4、例5兩道例題的主要特征都是已有了一個“瓜”（即一個圓），依據(jù)“位似變換”或“旋轉(zhuǎn)+相似”變換，再找另一個“瓜”（即另一個圓），關(guān)鍵是要找到旋轉(zhuǎn)中心和位似中心.

隱形的圓，猶如隱形的翅膀.借用概念、借助直角、聯(lián)想“瓜豆”，就能高飛，極大地提高學(xué)生的審美情趣，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生盡情起舞，從容地面對更高、更遠(yuǎn)的天空，把夢想與希望放飛，成就人生的精彩，啟迪人們的思維，開闊人們的視野，并帶來美的享受.