高中導(dǎo)數(shù)問(wèn)題里主元法的應(yīng)用

王忠濤

【摘 要】主元法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在在函數(shù)單調(diào)、極值和最大值的研究以及不平等的證明等方面，是這類(lèi)問(wèn)題的核心解決辦法，也體現(xiàn)了數(shù)字和圖形相結(jié)合，以曲代直以及微積分思想的應(yīng)用。對(duì)多個(gè)參數(shù)問(wèn)題，可以選擇一個(gè)主要元素，相當(dāng)于選擇了解決問(wèn)題的方向。本文通過(guò)實(shí)例分析了主元法在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，希望提供一些幫助給有需要的人。

【關(guān)鍵詞】高中導(dǎo)數(shù)；主元法；應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0275-01

一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的問(wèn)題

在傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中，老師一般只是直觀的講解在學(xué)習(xí)中怎樣利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題，讓學(xué)生自己對(duì)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解。導(dǎo)數(shù)的定義相對(duì)抽象，學(xué)生一般很難完全理解其概念，導(dǎo)致在實(shí)際的學(xué)習(xí)過(guò)程中不會(huì)應(yīng)用，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，對(duì)參數(shù)的瞬時(shí)變化很難理解，這不利于學(xué)生后期的學(xué)習(xí)。老師也沒(méi)有總結(jié)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤，這具體的教學(xué)過(guò)程沒(méi)有針對(duì)性，對(duì)學(xué)生理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的影響很大。

二、利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題提高學(xué)習(xí)效果

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生建立堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，微積分的基本概念是導(dǎo)數(shù)和定積分，它們被廣泛使用。要解決學(xué)生對(duì)理論的理解和在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中的相關(guān)問(wèn)題，就要使學(xué)生對(duì)理論知識(shí)有本質(zhì)上的理解，減少在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)理論和形式的理解。在實(shí)際的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中，教師可以通過(guò)一些學(xué)生更容易熟悉的實(shí)例來(lái)改善學(xué)生的接受力。例如，氣球膨脹和跳水運(yùn)動(dòng)，我們可以從中感受到瞬間的變化，然后對(duì)瞬時(shí)變化率進(jìn)行理解。在這個(gè)階段，老師還可以使用曲線從幾何和物理的角度進(jìn)行講解，以提高學(xué)生的理解力。

2.使用豐富的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

學(xué)生只有對(duì)導(dǎo)數(shù)和幾何意義的概念充分的掌握，才能對(duì)導(dǎo)數(shù)的含義深刻理解，才能使數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題有效地解決。在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)，首先老師要使學(xué)生認(rèn)識(shí)割線的轉(zhuǎn)動(dòng)，然后詳細(xì)解釋，從極限的角度幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有效的幫助學(xué)生解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，需要強(qiáng)大的數(shù)學(xué)思維來(lái)計(jì)算導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用比較多。抽象的導(dǎo)數(shù)概念，使學(xué)生理解起來(lái)很費(fèi)力，因此很容易使學(xué)生感到厭倦。對(duì)此，老師必須營(yíng)造有利的學(xué)習(xí)環(huán)境，在適當(dāng)?shù)那榫敖虒W(xué)中引入導(dǎo)數(shù)概念，有助于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念，從而保證導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的有效性。

3.從學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的難點(diǎn)入手，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。

在學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，首先，解決問(wèn)題的技巧要讓學(xué)生掌握，了解“定義領(lǐng)域”原則，然后老師指導(dǎo)學(xué)生求導(dǎo)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，老師應(yīng)對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的難點(diǎn)知識(shí)應(yīng)及時(shí)總結(jié)，然后制定有針對(duì)性的教學(xué)方法，以便及時(shí)解決學(xué)生遇到的難點(diǎn)知識(shí)，切實(shí)的幫助學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的能力。例如，在（-1，1）上遞增已知f（x），并且如果f（m+1）0，對(duì)實(shí)數(shù)m值的范圍進(jìn)行求解。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能會(huì)混淆函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)性。為了解決這個(gè)問(wèn)題，老師可以引導(dǎo)學(xué)生檢查“=”權(quán)衡，學(xué)生也要及時(shí)向老師求助知識(shí)難點(diǎn)，這樣對(duì)導(dǎo)數(shù)就會(huì)很容易掌握，有利于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有助于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)性。

三、在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中利用主元法解決問(wèn)題，提高導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)效果

主元法是指在利用兩個(gè)或多個(gè)參數(shù)求解問(wèn)題的過(guò)程中選擇其中一個(gè)參數(shù)作為研究的主要對(duì)象，并將剩余的參數(shù)視為常量的思維方式。主元法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用是把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為關(guān)于主元素的公式，如方程或函數(shù)，這可以降低問(wèn)題的復(fù)雜性，并使其變得簡(jiǎn)單起來(lái)。

1.變更主元法———巧解含參問(wèn)題含參問(wèn)題是高考的必考題型。主元法是處理多元問(wèn)題的一種重要方法。當(dāng)參數(shù)與主元存在確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，變更主元不失為降低問(wèn)題處理難度的有效途徑。

例1：

（1）討論函數(shù)f（x）=x-2x+2ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時(shí)，（x-2）ex+x+2>0；

（2）證明：當(dāng)a∈[0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=ex-ax-ax2（x>0）有最小值，設(shè)g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域。

解：

（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（-2，+∞）。

f′（x）=（x-1）（x+2）ex-（x-2）ex（x+2）2

=x2ex（x+2）2≥0

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，f′（x）=0，所以f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）單調(diào)遞增。

因此，當(dāng)x∈（0，∞）時(shí)，

f（x）>f（0）=-1

所以

（x-2）ex>-（x+2）

即

（x-2）ex+x+2>0

（2）g′（x）=（x-2）ex+a（x+2）x3

=x+2x3[f（x）+a]

由（1）知，f（x）+a單調(diào)遞增，對(duì)任意a∈[0，1），有f（0）+a=a-1<0，f（2）+a=a≥0，因此，存在唯一y∈（0，2]，使得

f（t）+a=0，即a=-t-2t+2et①

當(dāng)時(shí)0

當(dāng)x>t時(shí)，f（x）+a>0，有g(shù)′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增。

于是，h（a）=g（x）max=g（t）=et-at-at2，將①代入，得h（a）=et-at-at2=ett+2=F（t），其中t∈（0，2]。

由F′（t）=（t+1）et（t+2）2>0，得F（t）在（0，2]上是增函數(shù)，所以F（t）取值范圍為（F（0），F(xiàn)（2）]，即（12，e24]。

綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋?2，e24。

評(píng)注：本題中的表達(dá)式本來(lái)就是以a為主元的含參表達(dá)形式，但在a=-t-2t+2et中，用a的解析式表示t是幾乎不可能實(shí)現(xiàn)的，而用t表示a比較容易，因此，變更主元為t，將二元化為一元，將h（a）轉(zhuǎn)化為F（t）。用新主元t轉(zhuǎn)換觀察問(wèn)題的角度，簡(jiǎn)化了問(wèn)題處理難度，方便了問(wèn)題的解決。

2.甄選主元法———巧解多元問(wèn)題。

例2：（2016全國(guó)高考題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)。

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：。

解：

（1）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）

=（x-1）（ex+2a）

（i）若a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

（ii）若a>0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0，所以f（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增。又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，故f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)。

（iii）若a<0，由f′（x）=0，得x=1或x=In（-2a）。

若a≥-e2，則In（-2a）≤1，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）>0，因此f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增。又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)。

若a<-e2，則In（-2a）>1，故當(dāng)x∈（1，In（-2a））時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈（In（-2），+∞）時(shí)，f′（x）>0，因此f（x）在（1，In（-2a））內(nèi)單調(diào)遞減，在（In（-2a），+∞）單調(diào)遞增。又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）<0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）。

（2）不妨設(shè)x1f（2-x2），即證f（2-x2）<0。

因?yàn)閒（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，又f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，故f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2，x2∈（1，+∞）。

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，x∈（1，+∞），則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）。

當(dāng)時(shí)x>1，g′（x）<0，而g（1）=0，故當(dāng)x>1時(shí)，g（x）<0，從而g（x2）=f（2-x2）<0，故x1+x2<2。

評(píng)注問(wèn)題（2）中x1，x2，沒(méi)有相互約束關(guān)系，要注意問(wèn)題的串聯(lián)，借助第（1）問(wèn)的結(jié)論來(lái)證明。由單調(diào)性可知x1+x2<2等價(jià)于f（x1）>f（2-x2），由此甄選主元x2，即證f（2-x2）<0，實(shí)現(xiàn)二元問(wèn)題化歸為一元問(wèn)題，利用函數(shù)思想加以解決，降低試題難度。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)，老師教學(xué)的指導(dǎo)作用要充分的發(fā)揮出來(lái)，讓學(xué)生能夠正確的理解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題并有效地解決，使學(xué)生能夠有效的掌握利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的方法。老師必須認(rèn)真的解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的疑點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的理解和掌握，以提高導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的有效性。

參考文獻(xiàn)

[1]岳峻.主元法破解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（23）：54-56.