橫看成嶺側(cè)成峰巧妙建模立新功

【中圖分類號】G635.1 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）13-0269-01

多年來，陜西省數(shù)學(xué)中考試題第20題均利用解直角三角形為數(shù)學(xué)模型，以考察學(xué)生解決測高或測距等實際問題的能力。絕大多數(shù)學(xué)生在考試中是按照平時訓(xùn)練的方式循規(guī)蹈矩地解決問題。但是在2017年的評卷過程中，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生沒有按照常理出牌，思維如天馬行空，從一次函數(shù)的角度切入進行建模，巧妙地解決了試題中呈現(xiàn)的測距問題。

下面是2017年陜西省中考數(shù)學(xué)試題第20題：

某市一湖的湖心島有一棵百年古樹，當?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達，每年初春時節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳。小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離。測量方案如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為23°，此時測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米；然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為24°，這時測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米。請你利用以上所測得的數(shù)據(jù)，計算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長（結(jié)果精確到1米）。（參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9265，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452）

學(xué)生妙解如下：

以點A為坐標原點，直線AN為x軸，直線AB為y軸，建立平面直角坐標系。如圖2所示：

由題意可知，B、C兩點的坐標分別是（0，1.7）、（0，1）

∠MBD=23°，∠MCE=24°

可直接寫出直線BM、CM的解析式為：

直線BM y=tan23°x+1.7≈0.4245x+1.7

直線CM y=tan24°x+1≈0.4452x+1

解方程組y≈0.4245x+1.7y≈0.4452x+1 得：x≈33.8164y≈15.0551

即點M的坐標約為（34，15）

∴AN≈34m

即“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為34米。

從以上解法可以看出，該生具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠?qū)⒈绢}呈現(xiàn)的實際問題放到平面直角坐標系中進行研究，巧妙地利用一次函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型，將測距和測高問題轉(zhuǎn)化為求直線的交點問題，最終不僅求出了“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離，還多出了一個“副產(chǎn)品”——“鄉(xiāng)思柳”的高度約為15米。另外還能夠感知到，這位同學(xué)具有對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的超前性，能學(xué)以致用地利用直線的“斜截式”直接寫出一次函數(shù)的解析式，使本題的一次函數(shù)解法簡潔的呈現(xiàn)出來。

那么，本題的這種解法是否屬于“通性通法”呢？我們對比以下示例：

（陜西省2015年中考試題第20題）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞，小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高，于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖3，當小聰正好站在廣場的A點（距N點5塊地磚長）時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小軍正好站在廣場的B點（距N點9塊地磚長）時，其影長BF恰好為2塊地磚長，已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高BE的長（結(jié)果精確到0.01米）

如圖4所示建立平面直角坐標系坐標系，由題意可直接寫出點A、C、D、B、F等點的坐標，從而利用待定系數(shù)法求得直線DM的解析式、點M的坐標、直線FM的解析式、點E的坐標，從而得解。與文章開始那道題不同的是，本題對于沒有掌握直線“斜截式”有關(guān)知識的學(xué)生來說，也可以用這種方法順利解決。

再對比其它類似試題，發(fā)現(xiàn)這種“一次函數(shù)解法”并非“無往不利”，存在著一定的局限性。但是作為老師，不應(yīng)拘囿于某類問題應(yīng)該用什么方法去解，而是將重點放在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練上，通過引導(dǎo)學(xué)習(xí)拓寬學(xué)生視野，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，體驗解決問題后的成功感和愉悅感，從而愛上數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，有效提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這才是我們數(shù)學(xué)老師肩負的重任。

參考文獻

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[2]張麗華.“教什么”比“怎么教”更重要——以“解直角三角形”教案打磨為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（04）：46-47+49.

[3]顧廣林.用“結(jié)構(gòu)化”引領(lǐng)復(fù)習(xí)課教學(xué)——直角三角形復(fù)習(xí)課的教學(xué)實錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（12）：1-3+9.

作者簡介：雷曉林（1973.9-），男，陜西合陽縣教學(xué)研究室，高級教師，初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。