常見(jiàn)概率分布間的極限關(guān)系

摘? 要：以定理形式給出了常見(jiàn)概率分布間的6種極限關(guān)系，包括超幾何分布的二項(xiàng)近似、二項(xiàng)分布的泊松近似、二項(xiàng)分布的正態(tài)近似、泊松分布的正態(tài)近似、t分布的正態(tài)近似和分布的正態(tài)近似。除了比較熟悉的泊松定理和棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理外，其他定理一般文獻(xiàn)較少提及，或只給出結(jié)論而未加以證明，該文對(duì)這些定理均給出了證明，同時(shí)對(duì)定理的適用條件及應(yīng)用進(jìn)行了說(shuō)明。了解以上常見(jiàn)概率分布間的極限關(guān)系，有助于系統(tǒng)理解常見(jiàn)分布間的聯(lián)系，同時(shí)為概率的近似計(jì)算及統(tǒng)計(jì)推斷提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：概率分布? 極限關(guān)系? 二項(xiàng)分布? 泊松分布? 正態(tài)分布

中圖分類號(hào)：O211.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2019）03（b）-0221-02

Abstract： In the form of theorems， six kinds of limit relations among common probability distributions are given， including binomial approximation of hypergeometric distribution， Poisson approximation of binomial distribution， normal approximation of binomial distribution， normal approximation of Poisson distribution， normal approximation of t distribution and normal approximation of? distribution. Except for the familiar Poisson theorem and Dimov-Laplace central limit theorem， other theorems are seldom mentioned in general literature， or only conclusions are given without proof. These theorems are proved in this paper. These theorems are proved in this paper， and the applicable conditions and applications of these theorems are explained. Understanding the limit relationship between the above common probability distributions is helpful for the system to understand the relationship between the common distributions， and provides a basis for approximate calculation of probability and statistical inference.

Key Words： Probability Distribution; Limit Relation; Binomial Distribution; Poisson Distribution; Normal Distribution

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科中，一些常用概率分布間存在著極限關(guān)系[1]，從而將兩個(gè)隨機(jī)變量通過(guò)漸近分布聯(lián)系起來(lái)。目前多數(shù)文獻(xiàn)在介紹常見(jiàn)的概率分布時(shí)對(duì)分布間的極限關(guān)系介紹得不夠系統(tǒng)，而了解它們之間的這種極限關(guān)系，一方面有助于理解常見(jiàn)概率分布間的聯(lián)系，另一方面在概率的近似計(jì)算及參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。以下主要討論常見(jiàn)概率分布間的6種極限關(guān)系。

1? 超幾何分布的二項(xiàng)近似

定理1? 設(shè)隨機(jī)變量，（P為常數(shù)），則n，k固定的條件下，有

證明

在實(shí)際應(yīng)用中，一般地，若N較大，n相對(duì)較?。╪<

以上結(jié)論也可從超幾何分布的背景來(lái)理解。設(shè)總體容量為N，其中具有某屬性的個(gè)體數(shù)為M，從總體中無(wú)放回地隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，則樣本中具有該屬性的樣品數(shù)服從h（n，N，M）。若總體容量N較大，而樣本容量n相對(duì)較小時(shí)，無(wú)放回抽樣可近似看作有放回抽樣，即構(gòu)成一個(gè)n重的伯努利試驗(yàn)，從而樣本中具有該屬性的樣品數(shù)近似服從B（n，p）。

2? 二項(xiàng)分布的泊松近似

定理2（泊松定理）? 設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為Pn（與n有關(guān)），且，則有：

大多文獻(xiàn)都給出了該定理的證明[4]，此處不再贅述。

二項(xiàng)分布的計(jì)算有時(shí)候是非常繁瑣的，該定理表明，若二項(xiàng)分布B（n，p）中的參數(shù)n較大，p較小，而np適中（一般地0.1≤np≤10）時(shí)，則可用泊松分布來(lái)近似，其中參數(shù)。

3? 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似

定理3（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）? 設(shè)μn為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0

大多文獻(xiàn)也都給出了證明[5]，該定理的證明只需利用林德伯格—勒維中心極限定理即可容易得出。

棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理是歷史上第一個(gè)中心極限定理，定理中的μn-B（n，p），而當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布B（n，p）可用正態(tài)分布N（np，np（1-p））來(lái)近似。

由于二項(xiàng)分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，故在應(yīng)用該定理進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，往往需要做一些修正，從而提高計(jì)算的精度。

例如計(jì)算P（m≤μn≤n）時(shí)，先做修正P（m≤μn≤n）=P（m-0.5<μn

泊松定理表明了在一定的條件下，二項(xiàng)分布也可利用泊松分布來(lái)近似，那么需要考慮二項(xiàng)分布的泊松近似和正態(tài)近似的不同適用場(chǎng)合。一般而言，在P較小時(shí)用泊松分布近似的精度較高，而在np>5和n（1-p）>5時(shí)用正態(tài)分布近似效果較好。

4? 泊松分布的正態(tài)近似

定理4表明，若泊松分布的P（λ）參數(shù)λ較大時(shí)，可用正態(tài)分布N（λ，λ）來(lái)近似泊松分布。但由于是用連續(xù)分布來(lái)近似離散分布，故在計(jì)算時(shí)可能需要做適當(dāng)?shù)男拚?/p>

t分布的概率密度圖像關(guān)于縱軸對(duì)稱，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖像形狀上相似，但t分布的圖像峰要低一些，兩側(cè)的尾部要大一些。而當(dāng)自由度n較大（一般地n≥30）時(shí)，t分布可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)近似。

6? 分布的正態(tài)近似

7? 結(jié)語(yǔ)

以上討論了常見(jiàn)概率分布間的6種極限關(guān)系，其中第1、2種情況都是用離散分布來(lái)近似離散分布，第5、6種情況都是用連續(xù)分布來(lái)近似連續(xù)分布，而第3、4兩種情況是用連續(xù)分布來(lái)近似離散分布，在應(yīng)用過(guò)程中可能需要做一些修正，從而提高近似計(jì)算的精度。同時(shí)注意到后4種情況的極限分布均為正態(tài)分布，這也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了在自然界及社會(huì)現(xiàn)象中為什么大量的隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。

參考文獻(xiàn)

[1] 侯文.常見(jiàn)概率分布間的關(guān)系[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，28（4）：503-505.

[2] 付安民.超幾何分布與二項(xiàng)分布的有機(jī)聯(lián)系[J].岳陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，16（1）：46-48.

[3] 聶凡皓.與二項(xiàng)分布相關(guān)的極限定理[J].課程教育研究，2018（30）：119-120.

[4] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011：98-99.

[5] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：123-124.①作者簡(jiǎn)介：李玲（1980—），女，漢族，安徽廬江人，碩士，講師，研究方向：可靠性統(tǒng)計(jì)。