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    幾何直觀的內(nèi)涵、分類與教學(xué)要領(lǐng)

    2019-06-18 08:15:08王強(qiáng)國(guó)
    中小學(xué)教師培訓(xùn) 2019年6期
    關(guān)鍵詞:教者直觀圖形

    王強(qiáng)國(guó)

    (寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225800)

    “幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》新增加的三個(gè)核心詞之一。事實(shí)上,“直觀”是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的教學(xué)手段,因而對(duì)于“幾何直觀”,一線的教者往往局限于從“理性到感性”的教學(xué)回歸的認(rèn)知層面,洞悉不到背后的“超越”。盡管提出多年,實(shí)踐中,“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象比比皆是,有必要對(duì)之進(jìn)行更為深入的剖析與解讀,以落實(shí)相關(guān)的課程目標(biāo)。

    一、“幾何直觀”的內(nèi)涵解讀

    (一)“幾何直觀”的課標(biāo)詮釋

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象,有助于探索解決問(wèn)題的思路,預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?!盵1]

    這段話可分為三層理解:第一句話指出了“幾何直觀”特殊性的一面——利用圖形,同時(shí)將“幾何直觀”的兩種主要表現(xiàn)進(jìn)行精煉的概括;后兩句話進(jìn)一步解釋幾何直觀的優(yōu)勢(shì),或者說(shuō)它的作用(功能)。這里仍然采用描述性的定義方式,將義務(wù)教育三個(gè)學(xué)段的共性特征加以闡述。其中的兩個(gè)地方值得注意:一是第一句話“幾何直觀主要指……”中的“主要”一詞,關(guān)于“幾何直觀”的含義,國(guó)內(nèi)的一些專家學(xué)者從不同視角發(fā)表自己的看法,但迄今為止尚未達(dá)成共識(shí),這樣的描述,為理論研究者以及實(shí)踐工作者提供了進(jìn)一步豐富完善“幾何直觀”的認(rèn)知空間;二是最后一句話“……在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用”,表明“幾何直觀”應(yīng)用范圍很廣,應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力,在所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域中,都要重視學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

    (二)“幾何直觀”的引申解讀

    數(shù)學(xué)家希爾伯特(David Hilbert)認(rèn)為:“在數(shù)學(xué)中,像在任何科學(xué)研究中那樣,有兩種傾向:一種是抽象的傾向,即從所研究的錯(cuò)綜復(fù)雜的材料中提煉出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系,并根據(jù)這些關(guān)系把這些材料做系統(tǒng)的有條理的處理;另一種是直觀的傾向,即更直接地掌握所研究的對(duì)象,側(cè)重于它們之間關(guān)系的意義,也可以說(shuō)領(lǐng)會(huì)它們的生動(dòng)的形象?!盵2]數(shù)學(xué)家克萊因(Morris Kline)指出:“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上,而是依靠在正確的直觀上,數(shù)學(xué)的直觀就是對(duì)概念、證明的直接把握?!盵3]徐利治教授認(rèn)為,在數(shù)學(xué)中,直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想,所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。例如,借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知,即可稱之為幾何直觀。[4]

    西方哲學(xué)家通常認(rèn)為:“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察,直接地把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。”心理學(xué)家則認(rèn)為:“直觀是從感覺到的具體對(duì)象背后,發(fā)現(xiàn)抽象的能力?!盵5]

    這些論述的共同點(diǎn)在于:直觀、數(shù)學(xué)直觀、幾何直觀,雖然是一種直觀的感知或者直接的把握,但都不再停留于感性認(rèn)識(shí)的階段,而是高階思維、創(chuàng)新思維的結(jié)果,都有思維的參與,可以說(shuō)是理性認(rèn)識(shí)的升華,是認(rèn)識(shí)的返璞歸真。

    二、“幾何直觀”的分類舉隅

    關(guān)于直觀的分類,康德指出:“一類是經(jīng)驗(yàn)直觀,一類是純粹直觀?!盵6]這是從哲學(xué)角度做出的權(quán)威解釋。結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科教學(xué),國(guó)內(nèi)一些學(xué)者從不同角度給出自己的分類方法。

    有學(xué)者將“幾何直觀”分為四種表現(xiàn)形式:一是實(shí)物直觀,指借助與研究對(duì)象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際存在物,借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)行簡(jiǎn)捷、形象的思考,獲得針對(duì)研究對(duì)象的深刻判斷;二是簡(jiǎn)約符號(hào)直觀,是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上,進(jìn)行一定程度的抽象,所形成的、半符號(hào)化的直觀;三是圖形直觀,是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀;四是替代物直觀,一種復(fù)合的幾何直觀,既可以依托簡(jiǎn)捷的直觀圖形,又可以依托用語(yǔ)言或?qū)W科表征物所代表的直觀形式,還可以是實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀的復(fù)合物。[7]

    有學(xué)者依據(jù)直觀對(duì)于數(shù)學(xué)的雙重意義(數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)理解的深化),對(duì)“幾何直觀”加以區(qū)分。將處于感性認(rèn)識(shí)階段的、較低層次的幾何直觀,稱之為“直觀感知”,即觀察認(rèn)識(shí)了直觀載體的外在現(xiàn)象或表面意義;將高層次的幾何直觀,概括為“直觀洞察”,即發(fā)現(xiàn)了直觀載體的深層意義或內(nèi)在本質(zhì);將介于“直觀感知”與“直觀洞察”之間的水平,稱之為“直觀理解”。[8]

    有學(xué)者將“幾何直觀”分為三個(gè)層次并概括其相應(yīng)的表現(xiàn)。第一層次:建立和形成敏捷而準(zhǔn)確的幾何直覺——感覺與圖形相隨。表現(xiàn)為:能借助圖形思考問(wèn)題,形成感知;能根據(jù)需要畫出圖形,輔助思考;能結(jié)合實(shí)際完善圖形,發(fā)現(xiàn)思路。第二層次:實(shí)施深入而靈活的幾何探索——視覺與思維共行。表現(xiàn)為:能結(jié)合圖形特征思考,具備良好的觀察力;能靈活進(jìn)行合情推理,具備良好的探索力;能因題制宜構(gòu)造分析,具備一定的創(chuàng)造力。第三層次:成為分析和解決問(wèn)題的有效工具——抽象與形象互輔。表現(xiàn)為:有效分離基本圖形,突破問(wèn)題;善于構(gòu)造幾何模型,變更命題;全面認(rèn)知圖形,隨機(jī)應(yīng)變。[9]

    以上學(xué)者的分類,雖然方式與標(biāo)準(zhǔn)不一,但共性也很顯見。首先,都重視學(xué)生“幾何直觀”的先天經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上,即使剛進(jìn)入小學(xué)的學(xué)生,也有一定的幾何抽象能力,這種與生俱來(lái)的抽象能力,是培養(yǎng)“幾何直觀”的基礎(chǔ),分類中抽象的程度越來(lái)越高,但都以保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)為起點(diǎn)。其次,都重視“幾何直觀”的后天形成,關(guān)注這種能力提升的漸進(jìn)性,為一線教師的教學(xué)實(shí)踐提供參考。

    三、“幾何直觀”的教學(xué)要領(lǐng)

    (一)認(rèn)知理解的寬泛性

    1.對(duì)“圖形”的理解

    相對(duì)于一般意義上的直觀,“幾何直觀”的特殊之處在于:借助幾何圖形(空間形式)。幾何圖形分為立體圖形(柱體、椎體、旋轉(zhuǎn)體等)和平面圖形(圓形、多邊形、弓形等),這些幾何圖形為培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”能力提供了豐富的素材。但“幾何直觀”的本質(zhì)在于借助圖形展開數(shù)學(xué)思考。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,對(duì)于“圖形”的理解不妨更寬泛一些,外延更廣一些。一方面,只要有利于思考和理解,不必囿于規(guī)范的幾何圖形,比如用倒推的策略解決問(wèn)題中,在表征題意的過(guò)程中,學(xué)生自然想到了箭頭圖,借助箭頭圖,學(xué)生把數(shù)量的變化過(guò)程清晰呈現(xiàn),從而理解算法與算理,因此不妨將之納入“幾何圖形”的范疇之中;另一方面,圖形既可以是有形的可視的,也可以是無(wú)形的想象的。事實(shí)上,隨著學(xué)生“幾何直觀”能力的提升,完全能夠進(jìn)入直接利用表象在頭腦中進(jìn)行思考的境界,典型案例是“珠心算”中的“心算”。教學(xué)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”的意識(shí),在需要幫助時(shí),能夠想到這種方法,并且成功運(yùn)用。此外,一些教者過(guò)分強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范的做法,也值得思考,比如草稿上畫長(zhǎng)方形一律要求借助直尺,同時(shí)要求學(xué)生考量各段之間的長(zhǎng)度比例。試想教者自己在畫圖的過(guò)程中是否都做到了規(guī)范?“圖形”更重要的是表達(dá)關(guān)系,只要能幫助學(xué)生直觀分析和解決問(wèn)題,畫草圖不該一味指責(zé),否則,可能得到規(guī)范卻挫傷學(xué)生畫圖的積極性,也會(huì)影響學(xué)生思維的連貫性。

    2.對(duì)“幾何直觀”的認(rèn)知

    在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中,有不少與“幾何直觀”既有聯(lián)系,又有區(qū)別的相關(guān)術(shù)語(yǔ),如“空間觀念”“數(shù)形結(jié)合”“幾何推理”“幾何直覺”“直觀幾何”等。許多專家進(jìn)行了深入細(xì)致的分析與解讀。如“幾何直觀”與“數(shù)形結(jié)合”,有學(xué)者指出:“從內(nèi)涵看,數(shù)形結(jié)合看重?cái)?shù)學(xué)兩類研究對(duì)象(數(shù)量關(guān)系與空間形式)之間的聯(lián)系,幾何直觀側(cè)重?cái)?shù)學(xué)研究對(duì)象的幾何意義;從外延看,數(shù)形結(jié)合具有兩方面的作用:形使數(shù)更直觀,數(shù)使形更入微。兩者區(qū)別在于:數(shù)形結(jié)合還具有數(shù)形更入微的作用,而幾何直觀則還可以運(yùn)用于幾何本身?!盵10]這樣的區(qū)分理解起來(lái)并不難,從學(xué)術(shù)研究的角度也是有價(jià)值的,但在實(shí)踐中,很難把控。仍以“數(shù)形結(jié)合”與“幾何直觀”為例,截至目前,還沒(méi)有學(xué)者能找到不是“數(shù)形結(jié)合”的“幾何直觀”的例子。正如曹培英老師認(rèn)為:面對(duì)小學(xué)課堂的真實(shí)情境,真正進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐,又不得不承認(rèn),這些概念之間的差異,實(shí)在微不足道,可以忽略不計(jì)。只要切實(shí)加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng),重視數(shù)形結(jié)合就可以了,到了高中,相對(duì)于義務(wù)教育,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更依賴抽象邏輯思維,再來(lái)強(qiáng)調(diào)“幾何直觀”,可能更具指導(dǎo)意義。[11]

    (二)目標(biāo)理念“超越”性

    1.課程目標(biāo)的豐盈

    在義務(wù)教育階段,“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)”關(guān)于“幾何直觀”教學(xué)的目標(biāo)設(shè)置層次并不豐富。第一學(xué)段的課程目標(biāo)沒(méi)有涉及幾何直觀,第二學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“感受幾何直觀的作用”,第三學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程,初步建立幾何直觀”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“感受幾何直觀的作用”的目標(biāo)呈現(xiàn),顯得有些空洞與虛幻,以至于實(shí)踐中,教者一臉茫然。作為課標(biāo)中的核心詞,體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)教學(xué)最應(yīng)該培養(yǎng)的意識(shí)與能力,往往超越知識(shí)與技能層面。另一方面,“幾何直觀”并不顯性地和具體的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起。因而對(duì)于剛剛加入數(shù)學(xué)課程的“幾何直觀”,這樣的目標(biāo)設(shè)置在情理之中。其實(shí),課標(biāo)只是規(guī)范與解放結(jié)合的指導(dǎo)性文件,并非剛性的約束。小學(xué)階段,我們不妨將“感受幾何直觀的作用”做一體兩面式解讀,即既是目標(biāo)又是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的途徑。守住這樣的底線,實(shí)踐中我們就可以創(chuàng)造更為豐富而有效的課程形態(tài)與課程經(jīng)驗(yàn)。低年級(jí),可以將“幾何直觀”的習(xí)慣養(yǎng)成作為目標(biāo),遇到一些復(fù)雜的問(wèn)題情境,知道借助圖形幫助思考,如“同學(xué)們站成一排,小紅左邊有3個(gè)同學(xué),右邊有4個(gè)同學(xué),這一排一共有多少個(gè)同學(xué)?”教者持之以恒的示范,有助于學(xué)生感受幾何直觀的價(jià)值,也能引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“幾何直觀”的解題習(xí)慣,實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo);中高年級(jí),可以將“幾何直觀”的策略與技能的學(xué)習(xí)作為目標(biāo),通過(guò)有計(jì)劃、有系列的問(wèn)題呈現(xiàn),鼓勵(lì)學(xué)生積極利用各種圖形去直觀分析,積累經(jīng)驗(yàn),在幾何直觀的積極嘗試中感受幾何直觀的價(jià)值。

    2.課程理念的超越

    小學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主,逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡。但在小學(xué)數(shù)學(xué)中,許多的概念與方法是抽象的,這就造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難??v觀“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)”,有兩點(diǎn)應(yīng)對(duì)之策:“情境”和“幾何直觀”。當(dāng)然具體生動(dòng)的情境中,包含“幾何直觀”中“實(shí)物直觀”的成分。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“直觀”是最常見的教學(xué)手法,一線教師有著豐富的“幾何直觀”教學(xué)經(jīng)驗(yàn),這樣的經(jīng)驗(yàn)為學(xué)生“幾何直觀”能力的培養(yǎng)提供基礎(chǔ),面對(duì)這樣的課程理念,教者看到回歸的同時(shí),更應(yīng)該有超越性的認(rèn)知。一是要看到圖形的直觀性,更要看到圖形的抽象性。從辯證的角度思考,事物之間的關(guān)系總是相對(duì)的,數(shù)學(xué)中的抽象與直觀也是如此,一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何直觀對(duì)這個(gè)對(duì)象本身來(lái)說(shuō),是種直觀,但對(duì)第一次接觸這個(gè)直觀方式的學(xué)生來(lái)說(shuō),可能還是一種抽象。借助圖形直觀地把握數(shù)學(xué)對(duì)象,進(jìn)行數(shù)學(xué)思考,首先需要把研究“對(duì)象”抽象成為“圖形”,再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”,這樣就把研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問(wèn)題,進(jìn)而進(jìn)行思考分析,這一系列的轉(zhuǎn)化顯然不是天然而成的。[12]二是要源于直觀,超越直觀。教學(xué)不能僅停留在直觀的層面,需要借助合適的方式,適時(shí)適度地抽象。比如“3”的認(rèn)識(shí),可以出示3個(gè)小朋友、3個(gè)蘋果、3個(gè)圓片等,我們不能讓學(xué)生局限于“3”就是表示3個(gè)小朋友或者就是3個(gè)蘋果。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生比較得出:物品不同,都是3個(gè)。進(jìn)一步追問(wèn):“3還可以表示什么?”從而抽象“3”。

    (三)載體路徑的“雙重”性

    實(shí)際教學(xué)中,要落實(shí)“感受幾何直觀價(jià)值”的課程目標(biāo),需要借助于一定的內(nèi)容載體。依據(jù)“幾何直觀”自身的特殊性(借助圖形),以及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基礎(chǔ)性的價(jià)值定位,載體立足兩條:一是顯性的學(xué)習(xí)——習(xí)得技能;二是隱性的感知——提升意識(shí)。

    1.顯性的學(xué)習(xí)

    蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.N.柯爾莫戈羅夫說(shuō)過(guò):“只要有可能,數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺化?!盵13]事實(shí)上,一線的教師在教學(xué)中,也會(huì)有意或無(wú)意地將所要講解的問(wèn)題借助圖形直觀化?,F(xiàn)行的各個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材,都具有較強(qiáng)的直觀性(內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、色彩的選擇等),在教者的引導(dǎo)與示范下,學(xué)生已經(jīng)具有初步的依托圖形進(jìn)行表征的心理傾向。因此,“幾何直觀”的課程實(shí)施不妨圍繞“畫圖策略與技能”設(shè)立明線脈絡(luò),其意義在于,通過(guò)有意識(shí)的不同階段的系統(tǒng)學(xué)習(xí),進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的圖示技巧。如在低年級(jí)可以實(shí)施“實(shí)物圖——示意圖(直條圖)——線段圖”的過(guò)渡遞進(jìn);在中年級(jí)設(shè)立畫圖策略的單元,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生掌握畫示意圖和線段圖的要點(diǎn)及技巧,經(jīng)歷借助圖進(jìn)行思考的過(guò)程,積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。[14]

    有學(xué)者提出,在小學(xué)階段要逐步形成構(gòu)造直觀的系列(如圖1)。[15]從一年級(jí)開始,就可以相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生畫圖表示數(shù),畫圖說(shuō)明計(jì)算結(jié)果,特別是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),放手學(xué)生“把應(yīng)用題畫出來(lái)”,起初數(shù)量小一些,難度低一些,要求少一些,從示意圖出發(fā),逐步引入線段圖等。實(shí)踐表明,這樣的安排對(duì)于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力都有明顯的功效。

    圖1

    2.隱性的感知

    學(xué)生具備了一定的畫圖技能,掌握了一些畫圖方法,是不是就一定能靈活運(yùn)用?情形并不樂(lè)觀!教學(xué)中,常常遇到這樣的尷尬:“平時(shí)用不著,用時(shí)想不到。”可見除了技能的學(xué)習(xí),還有意識(shí)的提升。如何培養(yǎng)學(xué)生自主篩選、自覺運(yùn)用“幾何直觀”解決問(wèn)題的意識(shí)?隱性的感知,雖然沒(méi)有規(guī)劃性,但卻是極其重要和有效的路徑之一。實(shí)踐中,首先,教者自身應(yīng)具備良好的“幾何直觀”的課程意識(shí),將平時(shí)教學(xué)中一些無(wú)意的舉措變?yōu)橛幸?、?chuàng)意的行為,從自發(fā)走向自覺;其次,小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含大量的“幾何直觀”的素材,應(yīng)該充分挖掘和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中固有的幾何直觀因素,創(chuàng)造貼切的幾何直觀來(lái)理解所學(xué)的方式,引導(dǎo)學(xué)生充分感知“幾何直觀”的價(jià)值。教學(xué)案例信手拈來(lái),如“平均數(shù)意義”體會(huì)教材安排直條的移多補(bǔ)少;“乘法分配律”教材借助求組合矩形(同寬的矩形組成一個(gè)大矩形)的面積來(lái)感悟;“倍數(shù)與因數(shù)”教材選取“擺小方塊”來(lái)體會(huì)倍數(shù)與因數(shù)之間的關(guān)系等。但對(duì)于小學(xué)生而言,我們還需要在更廣的范圍,精選更具代表性、更有震撼力的習(xí)題,讓學(xué)生在“復(fù)雜情境”中深刻感知“幾何直觀”的價(jià)值與魅力。比如“分?jǐn)?shù)乘法”的幾何模型,為什么分子和分子相乘,分母和分母相乘?借助“幾何直觀”一目了然(見圖2)。

    圖2

    (四)實(shí)踐操作的過(guò)程性

    1.“幾何直觀”本體的過(guò)程性

    從“幾何直觀”的內(nèi)涵看,它既是學(xué)生個(gè)體與生俱來(lái)或者后天學(xué)習(xí)所形成的相關(guān)技能,表現(xiàn)出結(jié)果屬性,也是利用圖形描述問(wèn)題、思考問(wèn)題的過(guò)程,表現(xiàn)出過(guò)程屬性;從目標(biāo)看,“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)”定位為“感受幾何直觀的作用”,而“感受”是描述過(guò)程性目標(biāo)的行為動(dòng)詞;再?gòu)膶W(xué)生視角看,如前文中所述,一種“幾何直觀”的新形式對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),往往是抽象的,如果學(xué)生不領(lǐng)會(huì)幾何圖形本身的特征,不明晰圖形本身具有的數(shù)學(xué)模型意義,那么圖形就不具有讓數(shù)學(xué)思考變得有形可視的直觀作用。而學(xué)生的“領(lǐng)會(huì)”“明晰”能力的提升需要初次接觸時(shí)完整經(jīng)歷逐步感知過(guò)渡到理解的過(guò)程,并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中不斷強(qiáng)化,圖形才能體現(xiàn)“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”的深遠(yuǎn)價(jià)值。事實(shí)上,“幾何直觀”是一種意識(shí),也是一種能力,更是一種思維方式,無(wú)論從哪個(gè)維度思考,都不難發(fā)現(xiàn),其培養(yǎng)與提升有一個(gè)過(guò)程,不可能一蹴而就。教者應(yīng)該有一定的規(guī)劃,將長(zhǎng)期目標(biāo)與短期目標(biāo)有機(jī)整合,培養(yǎng)策略在立足課堂的同時(shí)注重課外延展,將數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與生活巧妙鏈接。這種本體的過(guò)程性認(rèn)知,有助于教者提升“幾何直觀”的課程意識(shí),更系統(tǒng)地踐行,也有助于實(shí)踐中,以更加平和的心態(tài)面對(duì)課堂中的得與失,學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)與對(duì)。

    2.“幾何直觀”教學(xué)的過(guò)程性

    從教學(xué)的層面看,“幾何直觀”的能力提升中,立足畫圖、析圖等技能技巧的訓(xùn)練,是行之有效的切入點(diǎn),但不能用機(jī)械講解的方式灌輸給學(xué)生,應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷自主嘗試、小組合作、分享交流、思維碰撞的過(guò)程。首先,要關(guān)注“幾何直觀”的形成過(guò)程?!皫缀沃庇^”需要依托圖形,圖形的介入應(yīng)該避免直接的呈現(xiàn),比如將圖文同時(shí)呈現(xiàn),然后要求學(xué)生借助圖形思考問(wèn)題。這種情形下,可能學(xué)生思維的難度降低,正確解答的成功率提升了,但“幾何直觀”的意識(shí)淡化了,即在沒(méi)有外界提醒的情況下,學(xué)生想不到借助“幾何直觀”思考問(wèn)題。因此,面對(duì)具體問(wèn)題時(shí),要讓學(xué)生有思考醞釀、篩選策略的過(guò)程,在此基礎(chǔ)上,適當(dāng)點(diǎn)撥,逐步養(yǎng)成“幾何直觀”的思維方式。其次,要關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程。面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,不同學(xué)生“幾何直觀”的外化形式可能有許多種,比如有學(xué)生畫的是面積圖,有學(xué)生畫的是線段圖等。同時(shí),具體到某一個(gè)學(xué)生,圖示的方法又有優(yōu)劣甚至對(duì)錯(cuò)之分,教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生表述自己的思維過(guò)程,如“你是怎么想到的?”“你的圖想表達(dá)什么意思?”等。在這個(gè)過(guò)程中,要特別注意保護(hù)、激發(fā)學(xué)生的直觀稟賦,教者要用直觀而不是“幾何直觀”的視野去品讀和領(lǐng)悟?qū)W生的表達(dá),當(dāng)學(xué)生用直觀方式表達(dá)交流的愿望不斷得到強(qiáng)化,隨著幾何知識(shí)的積累,幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富,“幾何直觀”也會(huì)越來(lái)越得到自覺運(yùn)用。

    綜上所述,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,“幾何直觀”的培養(yǎng)是一個(gè)潛移默化、逐漸滲透的過(guò)程,對(duì)內(nèi)涵的深刻認(rèn)知,對(duì)細(xì)節(jié)的深入關(guān)注,有助于我們洞悉“回歸”背后的“超越”,探索更加豐富而有效的教學(xué)對(duì)策,更加全面地落實(shí)課程目標(biāo),為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升做出應(yīng)有的努力!▲

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