知識(shí)建構(gòu)：從“兒童化”思維到“數(shù)學(xué)化”方法
——基于“兒童現(xiàn)實(shí)”計(jì)算教學(xué)的思維分析與算法建構(gòu)

于正軍

（揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225200）

計(jì)算教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中占據(jù)了重要的教學(xué)任務(wù)，承擔(dān)了學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的主要技能，為學(xué)生形成數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的思考奠定了堅(jiān)實(shí)的“算術(shù)”基礎(chǔ)。因此，計(jì)算教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握必備的計(jì)算方法和計(jì)算技能，更要讓學(xué)生在探索計(jì)算方法的過(guò)程中理解計(jì)算算理，形成一種個(gè)體的“計(jì)算自覺(jué)”，而這種“計(jì)算自覺(jué)”凸顯了計(jì)算意識(shí)產(chǎn)生的主動(dòng)性和計(jì)算技能形成的生長(zhǎng)性。故而，數(shù)學(xué)課堂上“數(shù)學(xué)化”方法的形成，必然要經(jīng)歷學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)、認(rèn)知現(xiàn)實(shí)、思維現(xiàn)實(shí)”等“兒童現(xiàn)實(shí)”的“兒童化”思維的過(guò)程，數(shù)學(xué)思考才能直接抵達(dá)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維起點(diǎn)以及動(dòng)手操作等兒童認(rèn)知，數(shù)學(xué)知識(shí)的自然建構(gòu)方能符合學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)和思維特點(diǎn)。筆者以蘇教版二年級(jí)下冊(cè)兩位數(shù)加兩位數(shù)口算“45+23=，45+28=”為例，從兒童的“認(rèn)知現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，洞悉其中的算理分析和算法建構(gòu)，旨在引領(lǐng)學(xué)生自然探索計(jì)算算理，經(jīng)歷計(jì)算方法及其技能的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)操作等核心素養(yǎng)得以同步發(fā)展。

一、算理分析：計(jì)算教學(xué)需尊重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)的探索與建構(gòu)本質(zhì)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的重組與改造的過(guò)程，是學(xué)習(xí)者對(duì)舊知的再現(xiàn)與新知的建構(gòu)對(duì)比分析的思維過(guò)程。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成結(jié)構(gòu)和兒童思維的認(rèn)知特征展開(kāi)理性分析，才能尋求教與學(xué)的“契合點(diǎn)”，形成兒童視角的學(xué)習(xí)方法與思維方式。

1.“兒童化”思維：口算即為直接寫(xiě)得數(shù)

不同的計(jì)算類(lèi)型在計(jì)算過(guò)程中所反映出的計(jì)算思維，主要涵蓋計(jì)算的思路、方法以及計(jì)算書(shū)寫(xiě)的形式。而在兒童的計(jì)算認(rèn)知世界里，其數(shù)學(xué)思維更多的是直接指向計(jì)算結(jié)果所形成的不同路徑而已，并不去關(guān)注不同類(lèi)型計(jì)算過(guò)程中所經(jīng)歷的計(jì)算算理、方法形成等對(duì)應(yīng)的計(jì)算思維。即在學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中以“筆算的方式算口算”“口算的思維算筆算”時(shí)常存在。因此，教學(xué)時(shí)教師要適時(shí)關(guān)注學(xué)生在課堂上形成的“兒童化”思維，以便從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)和認(rèn)知視角出發(fā)，開(kāi)展計(jì)算算理的思維分析，方能促進(jìn)兒童視角的計(jì)算認(rèn)知和技能的順勢(shì)形成。

當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)例題主題圖列出“45+23”的算式后，提問(wèn)：“你能口算出得數(shù)嗎？和同學(xué)說(shuō)說(shuō)你是怎樣算的？”以口算的方式算出結(jié)果在學(xué)生的認(rèn)知印象里，表現(xiàn)為不需要列豎式計(jì)算，直接在算式等號(hào)后面寫(xiě)上得數(shù)，即為“口算”。至于在直接寫(xiě)得數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生是以口算的思維路徑得出結(jié)果還是以筆算的思維方法算出結(jié)果，兒童的認(rèn)知特點(diǎn)和思維特征不會(huì)促使其主動(dòng)選擇和辨別在直接寫(xiě)得數(shù)的過(guò)程中所經(jīng)歷算法的口算方式和筆算方式，因?yàn)樵趯W(xué)生腦海里，口算已定勢(shì)為在算式等號(hào)后直接寫(xiě)出得數(shù)。如此的學(xué)習(xí)行為和思維表現(xiàn)順應(yīng)了兒童的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)，符合了“兒童化”的思維方式。

2.“兒童化”思維：豎式計(jì)算的方法最簡(jiǎn)潔

兒童思維的直觀性、形象性特點(diǎn)，使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)時(shí)常呈現(xiàn)出單一而簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)思維操作方法，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思考中的應(yīng)付行為和惰性思維，對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和數(shù)特征的把握在數(shù)學(xué)思考上不夠積極和深入，形成思維“依賴(lài)”，繼而呈現(xiàn)出對(duì)認(rèn)知對(duì)象的一種“兒童化”思維。

在探索兩位數(shù)加兩位數(shù)口算算理過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)具備了“100以?xún)?nèi)兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)口算、兩位數(shù)加一位數(shù)口算以及兩位數(shù)加兩位數(shù)豎式計(jì)算”的已有知識(shí)和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。而這些已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)最容易、最直接被學(xué)生遷移的方法就是豎式計(jì)算的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)榍皟煞N認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的激活學(xué)生需要對(duì)算式特征進(jìn)行甄別，是兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)還是兩位數(shù)加一位數(shù)，而后再選擇對(duì)應(yīng)的口算方法進(jìn)行計(jì)算。而用豎式計(jì)算不需要經(jīng)歷如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維甄別，不管是兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)還是兩位數(shù)加一位數(shù)，豎式計(jì)算的方法通用。因此，學(xué)生會(huì)直接把豎式計(jì)算的方法遷移到兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算，只要把個(gè)位和十位上的數(shù)分別相加就能直接算出結(jié)果。如此的計(jì)算思維，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)以及兩位數(shù)加一位數(shù)口算思維過(guò)程的復(fù)雜程度。故而，豎式計(jì)算方法的“直觀與方便”應(yīng)運(yùn)了“兒童化”思維。所以，教師教學(xué)時(shí)要及時(shí)關(guān)注學(xué)生的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，不能忽視學(xué)生的“兒童化”思維而機(jī)械地以教材中編排的算法禁錮學(xué)生的思維，以成人的思維經(jīng)驗(yàn)限制或直接替代學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

二、學(xué)情診斷：計(jì)算教學(xué)需遵從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)

課程改革以來(lái)，倡導(dǎo)讓學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生，旨在教育要“以人為本”，教學(xué)要“以生為本”，要尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的客觀現(xiàn)實(shí)，課堂才能真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)生的發(fā)展為根本目標(biāo)。因此，課堂上教師的教學(xué)行為不能壓制學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，不能曲解學(xué)生的計(jì)算意圖，更不能誤解學(xué)生的計(jì)算方法。教師要“蹲下身”來(lái)教學(xué)，耐心傾聽(tīng)學(xué)生的回答，要適時(shí)調(diào)整自身的教學(xué)預(yù)案，做到“以學(xué)定教”，方能實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主人翁地位的人本課堂。

1.計(jì)算算理需順應(yīng)學(xué)生的主動(dòng)訴求

學(xué)生“兒童化”思維的表達(dá)，凸顯了學(xué)生計(jì)算過(guò)程中基于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的計(jì)算思路，教師不能擅自把學(xué)生的思路表達(dá)牽強(qiáng)到教材方法或固有計(jì)算思路，否則學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的掌握依然處于“知其然而不知其所以然”認(rèn)知狀態(tài)，無(wú)法真正理解與內(nèi)化，抑制學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的自然建構(gòu)。

當(dāng)教師追問(wèn)學(xué)生：45+23你是怎么算的？學(xué)生時(shí)?；卮穑?+2=6，5+3=8。教師順勢(shì)在黑板上板書(shū)計(jì)算思路：先算40+20=60，再算5+3=8，最后算60+8=68。顯然教師曲解了學(xué)生的計(jì)算思路，學(xué)生只是用“口述”的方式進(jìn)行筆算，但表達(dá)的本質(zhì)依然是豎式計(jì)算的思維過(guò)程。教師如此教學(xué)，顯然無(wú)視學(xué)生的主動(dòng)訴求，機(jī)械“告知”的教學(xué)痕跡明顯，阻礙了學(xué)生兩位數(shù)加兩位數(shù)口算方法的主動(dòng)認(rèn)知過(guò)程。

2.口算方法需迎合學(xué)生的主觀愿望

“口算”其本質(zhì)意義是呈現(xiàn)在學(xué)生腦海中的思維活動(dòng)，是計(jì)算過(guò)程中逐步形成的一種計(jì)算技能，反映了學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中所形成的高級(jí)思維的形式。因此，學(xué)生形成如此高級(jí)思維的計(jì)算形式不是一蹴而就的，需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)動(dòng)手操作，激活已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)探究計(jì)算算理后，自發(fā)脫離筆算的支撐而形成的一種“心算自覺(jué)”，而一切外在強(qiáng)加的計(jì)算方法都不會(huì)立即改變的計(jì)算技能。否則學(xué)生在獨(dú)立計(jì)算時(shí)仍然與課堂上被動(dòng)接受的計(jì)算方法存在計(jì)算思路上的分離。即不管教師講授的計(jì)算方法如何科學(xué)有效，學(xué)生獨(dú)立計(jì)算時(shí)依然運(yùn)用自己的經(jīng)驗(yàn)與方法“我行我素”，課堂上自然出現(xiàn)了教與學(xué)的必然分離。

在教學(xué)“45+23”時(shí)，如果教師直接引導(dǎo)：把23可以分成20和3，先算45+20=65，再算65+3=68，你能不能把這個(gè)方法說(shuō)給同桌聽(tīng)？如此教學(xué)，走上了“唯教材、唯教師”教學(xué)誤區(qū)，忽視了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。其實(shí)在學(xué)生的心目中，“45+23”直接寫(xiě)得數(shù)并不難，因?yàn)閷W(xué)生依然從自身的口算現(xiàn)實(shí)出發(fā)，把豎式計(jì)算的方法直接轉(zhuǎn)化為口算方法，只要把個(gè)位和十位上的數(shù)分別相加，而且無(wú)論是個(gè)位還是十位上的數(shù)相加都不滿十，無(wú)須進(jìn)位。如此計(jì)算過(guò)程要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于“45+20=65，65+3=68”兩步口算的思維復(fù)雜程度。因此，學(xué)生絕不會(huì)主動(dòng)想到把23分成20和3，然后進(jìn)行計(jì)算，這也不符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣和思維現(xiàn)實(shí)。

3.計(jì)算技能需符合學(xué)生的主體思維

學(xué)生計(jì)算技能的形成往往會(huì)受兒童主體思維的直接影響，這里的主體思維主要是指學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中，會(huì)受兒童認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維特點(diǎn)的驅(qū)使，直接選擇簡(jiǎn)潔、直觀的計(jì)算路徑的思維方式。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不會(huì)輕易受教材方法、教師方法以及同伴方法的干擾而機(jī)械地被動(dòng)接受，依然會(huì)運(yùn)用凸顯個(gè)體思維的計(jì)算思路和計(jì)算方法。

觀察發(fā)現(xiàn)，在教師引領(lǐng)學(xué)生探索例題口算方法后設(shè)計(jì)練習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練，絕大部分學(xué)生在獨(dú)立作業(yè)時(shí)，依然在等號(hào)后面先寫(xiě)得數(shù)個(gè)位上的數(shù)，再寫(xiě)得數(shù)十位上的數(shù)。分析個(gè)中原因，說(shuō)明學(xué)生是把兩位數(shù)加兩位數(shù)豎式計(jì)算的方法遷移到口算上來(lái)，而不是把兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)，再加一位數(shù)的方法進(jìn)行口算。這是受學(xué)生“用豎式計(jì)算的方法用于口算”主體思維的直接影響而導(dǎo)致的學(xué)習(xí)現(xiàn)象。因此，課堂上需要教師從學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生探索口算的算式意義、思維路徑和計(jì)算方法等口算的主體思維，學(xué)生的口算技能才會(huì)自主形成。

三、方法建構(gòu)：計(jì)算教學(xué)需遵循學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，必然要經(jīng)歷從“兒童化”思維向“數(shù)學(xué)化”方法的實(shí)踐探索，學(xué)生才能積累知識(shí)形成過(guò)程中的直接經(jīng)驗(yàn)，觸摸數(shù)學(xué)操作中感知的數(shù)學(xué)概念意義，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的自然生長(zhǎng)和意義建構(gòu)。因此，計(jì)算教學(xué)中要讓學(xué)生掌握必備的數(shù)學(xué)方法，必須設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生自主參與計(jì)算方法的探索過(guò)程，讓經(jīng)驗(yàn)助推操作，讓操作啟迪思考，不斷表征計(jì)算思維，形成計(jì)算方法。

1.“數(shù)學(xué)化”方法：從算式意義經(jīng)歷算理探索

“數(shù)學(xué)化”計(jì)算方法的建構(gòu)，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)操作活動(dòng)中，經(jīng)歷“兒童化”思維的數(shù)學(xué)思考，充分感悟算式中數(shù)的本質(zhì)含義和算式的運(yùn)算意義。學(xué)生才會(huì)在數(shù)的分解與組合過(guò)程中理解算式的運(yùn)算意義，探索出符合兒童思維經(jīng)驗(yàn)的計(jì)算思路，并在多種思路中實(shí)現(xiàn)算法的自然優(yōu)化，從而為建構(gòu)“兩位數(shù)加兩位數(shù)的”口算算理與方法建立“兒童化”的思維基礎(chǔ)。

如上所述，在教學(xué)“45+23”口算時(shí)，如果教師直接讓學(xué)生機(jī)械、被動(dòng)接受口算思路：把23分成20和3，先算45+20=65，再算65+3=68。學(xué)生從情感上不愿意接受，覺(jué)得沒(méi)有必要如此計(jì)算，而且要求學(xué)生把這樣的兩步或三步計(jì)算過(guò)程瞬間在腦海里完成，不符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，沒(méi)有親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程學(xué)生容易遺忘，也不會(huì)主動(dòng)理解與內(nèi)化。因此，理解口算算理時(shí)，要讓學(xué)生在理解口算算式意義的過(guò)程中順勢(shì)完成，在理解算式意義的基礎(chǔ)上，正視學(xué)生的口算方法“筆算化”思路。

教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作：45+23表示什么意思呢？可以怎樣相加呢？你能用小棒擺一擺，然后根據(jù)擺出的小棒說(shuō)一說(shuō)算式的含義？當(dāng)學(xué)生用小棒擺出45+23時(shí)，呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的小棒分別是4捆、5根、2捆、3根。此時(shí)每個(gè)學(xué)生觀察的視角不同，學(xué)生產(chǎn)生的理解也不盡相同。課堂上學(xué)生呈現(xiàn)“兒童化”多元思維：學(xué)生1，4捆5根+2捆+3根；學(xué)生2，4捆5根+3根+2捆；學(xué)生3，5根+2捆3根+4捆；學(xué)生4，4捆+2捆3根+5根；學(xué)生5，4捆+2捆+5根+3根。在學(xué)生充分表達(dá)自己見(jiàn)解的基礎(chǔ)上，教師引出：45+23可以看成45+20+3、45+3+20、5+23+40、40+23+5、40+20+5+3。如此引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)操作，就使學(xué)生直觀“解剖”了45+23的算式意義和算式中數(shù)的特征，為學(xué)生探尋兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算算理提供了直接經(jīng)驗(yàn)和方法基礎(chǔ)。

2.“數(shù)學(xué)化”方法：從思路多樣經(jīng)歷方法優(yōu)化

在計(jì)算課堂中，學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算思路多樣化的探索后，其計(jì)算思維必然聚焦到計(jì)算方法的優(yōu)化。因此，“數(shù)學(xué)化”方法的形成需要引領(lǐng)學(xué)生從算式的特點(diǎn)以及計(jì)算過(guò)程步驟的簡(jiǎn)潔性出發(fā)，進(jìn)行計(jì)算方法的自然優(yōu)化，從而形成符合算式特點(diǎn)和兒童認(rèn)知特征的計(jì)算方法，促進(jìn)兒童視角的計(jì)算技能的真正形成，實(shí)現(xiàn)“兒童化”思維到“數(shù)學(xué)化”方法的應(yīng)然轉(zhuǎn)變。

因而在探索例題教學(xué)時(shí)，教師理應(yīng)在學(xué)生充分理解算式意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察小棒圖進(jìn)行想象：把4捆、5根、2捆、3根合起來(lái)，請(qǐng)?jiān)陬^腦里想象一下合的過(guò)程，你準(zhǔn)備怎樣合？比一比誰(shuí)合的方法更直接更方便呢？學(xué)生集體交流時(shí)，先是出現(xiàn)兩種聲音：大部分學(xué)生認(rèn)為先把單根合起來(lái)，再和整捆的合起來(lái)；也有少部分學(xué)生說(shuō)先把整捆先合起來(lái)，再把單根的合起來(lái)。此時(shí)的學(xué)生依然只是關(guān)注如何得到結(jié)果，而忽略了45+23的算式意義。此時(shí)教師順勢(shì)引導(dǎo)：怎樣合才能直接表示計(jì)算45+23呢？此時(shí)第三種聲音出現(xiàn)了（這部分學(xué)生是通過(guò)擺小棒探索算式的意義后自然感悟的口算理解）：45+23表示就是在45的基礎(chǔ)要加上23，可以把4捆和5根看成一個(gè)整體，先加上2捆，再加上3根，學(xué)生邊說(shuō)教師在課件上順勢(shì)配上小棒表示的思維導(dǎo)圖（參見(jiàn)圖1），在此基礎(chǔ)上教師順勢(shì)引出算式45+28及相應(yīng)的小棒圖，學(xué)生思維順利遷移：先算45+20=65，再算65+8=73。學(xué)生一邊說(shuō)想法教師一邊在小棒圖的基礎(chǔ)上順勢(shì)圈出此題口算方法的思維導(dǎo)圖（參見(jiàn)圖2），此時(shí)學(xué)生關(guān)于“兩位數(shù)加整數(shù)、兩位數(shù)加一位數(shù)”的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)被瞬間激活，學(xué)生由此體悟了兩位數(shù)加兩位數(shù)口算思路與方法。如此巧妙地把新知的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為舊知的再現(xiàn)，順應(yīng)了知識(shí)的形成結(jié)構(gòu)，符合了學(xué)生的“兒童化”思維，促進(jìn)了“數(shù)學(xué)化”方法的建構(gòu)與算法的優(yōu)化。

圖1

圖2

綜上所述，計(jì)算教學(xué)只有從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)、認(rèn)知現(xiàn)實(shí)以及思維現(xiàn)實(shí)等“兒童現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，學(xué)生的思維活動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的自然“蛻變”，數(shù)學(xué)知識(shí)才能真正實(shí)現(xiàn)從“兒童化”思維到“數(shù)學(xué)化”方法的自然建構(gòu)。由此，學(xué)生的計(jì)算技能和“算術(shù)”思維等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)逐步形成，學(xué)生的數(shù)學(xué)情感得以培養(yǎng)，數(shù)學(xué)熱情進(jìn)一步得到激發(fā)?！?/p>