應(yīng)用技術(shù)類本科《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)的幾點(diǎn)探討

崔漢哲 上海電機(jī)學(xué)院

一、引言

復(fù)變函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中分析學(xué)的重要組成部分，和幾何、拓?fù)洹?shù)學(xué)物理等其它數(shù)學(xué)分支有非常緊密的聯(lián)系。作為數(shù)學(xué)工具，它在物理、自動(dòng)化、系統(tǒng)分析、信號(hào)處理等學(xué)科與領(lǐng)域中也有廣泛而重要的應(yīng)用。因此，它是我國(guó)各類高校理工科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。而我國(guó)的高等教育經(jīng)過數(shù)十年的大發(fā)展后，已形成了梯度式不同層次的高校隊(duì)伍。其中，應(yīng)用技術(shù)類本科院校在校學(xué)生人數(shù)多、分布范圍廣。在這類院校中如何結(jié)合自身特點(diǎn)，教好復(fù)變函數(shù)這門課程，是一個(gè)很有實(shí)際意義的課題。

二、以應(yīng)用技術(shù)類為特點(diǎn)合理安排課堂教學(xué)的重點(diǎn)

應(yīng)用技術(shù)類本科院校有別于綜合性大學(xué)或師范類院校，所設(shè)置學(xué)科專業(yè)多偏重實(shí)踐和應(yīng)用。而《復(fù)變函數(shù)》作為各理工科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，其主要目的也在于為學(xué)生在《微積分》、《線性代數(shù)》等公共基礎(chǔ)課后，提供進(jìn)一步專業(yè)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)工具。這就決定了，在應(yīng)用技術(shù)類本科《復(fù)變函數(shù)》的教學(xué)中，在學(xué)生掌握基本的復(fù)變函數(shù)理論后，要將教學(xué)重點(diǎn)放在如何將理論應(yīng)用于專業(yè)學(xué)科的實(shí)踐中。具體而言，對(duì)那些在后續(xù)的專業(yè)課程中經(jīng)常用到的定理、公式、方法，教師應(yīng)作為教學(xué)重點(diǎn)，多舉實(shí)例、講細(xì)講透。而對(duì)于那些理論上比較重要，但在各自專業(yè)的具體實(shí)踐中未必發(fā)揮太大實(shí)際作用的內(nèi)容，為數(shù)學(xué)理論的完整性起見，確需完整講述，但其中的某些技術(shù)細(xì)節(jié)，則未必需要在課堂上詳細(xì)推導(dǎo)，而可作為學(xué)有余力學(xué)生的課外自學(xué)內(nèi)容。

例如，留數(shù)定理在電氣自動(dòng)化、電子信息等學(xué)科的專業(yè)課程如《積分變換》、《信號(hào)與系統(tǒng)分析》中起著重要作用，是計(jì)算各類積分逆變換的主要方法。而留數(shù)定理以復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論為基礎(chǔ)。為了應(yīng)用留數(shù)定理，學(xué)生必須會(huì)將復(fù)變函數(shù)在特定的圓環(huán)域中展開為洛朗級(jí)數(shù)。由此出發(fā)，教師課堂教學(xué)的重點(diǎn)就可放在如何將各種常見的復(fù)變函數(shù)在不同的圓環(huán)域中展開為洛朗級(jí)數(shù)，以及各種情況下求復(fù)變函數(shù)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)以計(jì)算積分。而對(duì)于級(jí)數(shù)理論的建構(gòu)過程，總體上做完整的描述即可，某些學(xué)生在專業(yè)課中并不經(jīng)常用到的技術(shù)細(xì)節(jié)未必需要過多深入——例如用復(fù)變函數(shù)積分表示洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式的證明等等——這樣可使課堂教學(xué)突出重點(diǎn)，避免過于枝蔓。

又如作為解析函數(shù)理論基石的柯西黎曼方程，也即函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。課堂教學(xué)的重點(diǎn)就應(yīng)該放在如何用其判斷具體函數(shù)的可導(dǎo)情況與解析情況。教師應(yīng)多舉具體實(shí)例，使得學(xué)生熟練掌握不同情況下該條件的應(yīng)用方法。對(duì)于該充要條件的詳細(xì)證明過程，課堂上未必需要完整講述。而可以選擇其中重要的部分，例如條件必要性的證明即何以會(huì)出現(xiàn)柯西黎曼方程的兩個(gè)恒等式，使學(xué)生能知其然且知其所以然。

三、緊密聯(lián)系本課程與先修課程的內(nèi)容

復(fù)變函數(shù)的先修課程主要是《微積分》?！段⒎e分》的內(nèi)容是實(shí)變函數(shù)的初等微積分，而《復(fù)變函數(shù)》“主要討論復(fù)數(shù)域的微積分”[1]?！稄?fù)變函數(shù)》中不僅會(huì)直接用到《微積分》的大量結(jié)論和方法，而且它的很多內(nèi)容是《微積分》的進(jìn)一步推廣與深化。這就要求教師在課堂教學(xué)中多將本課程的教學(xué)內(nèi)容與《微積分》相聯(lián)系，以利于學(xué)生更好領(lǐng)會(huì)復(fù)變函數(shù)的思想、掌握復(fù)變函數(shù)課程的方法。

以復(fù)變函數(shù)的連續(xù)概念為例。它形式上和《微積分》中完全一樣，是用“函數(shù)的極限等于相應(yīng)的具體函數(shù)值”來定義的。但何以稱滿足此條件的函數(shù)為“連續(xù)”呢？《微積分》中對(duì)此有完滿的回答——滿足此條件的一元實(shí)變函數(shù)的圖像即其所表示的曲線是連續(xù)不間斷的，滿足此條件的二元實(shí)變函數(shù)的圖像即其表示的曲面是連續(xù)不間斷的，等等。但在《復(fù)變函數(shù)》中，所有這些明顯的幾何意義都消失了。原因是復(fù)變函數(shù)的圖像并不能用曲線或曲面來表示。所以教師在講述連續(xù)概念時(shí)，最好先從復(fù)習(xí)實(shí)變函數(shù)的相應(yīng)內(nèi)容入手，以使學(xué)生對(duì)其先有直觀的幾何印象，易于接受和理解。

再以復(fù)變函數(shù)積分的定義為例。它是實(shí)變函數(shù)積分的直接推廣，都是通過四步驟“分割積分區(qū)域、近似作積、求和、取極限”而得的。在《微積分》中，積分有明顯的實(shí)際含義——一元實(shí)變函數(shù)的定積分表示曲邊梯形的面積，二元實(shí)變函數(shù)的重積分表示曲頂柱體的體積或平面薄片的質(zhì)量，曲線曲面積分更是有著非常多的物理意義。而復(fù)變函數(shù)的積分以定積分為特殊情形，形式上與其近似，但幾何意義與物理意義卻并不明顯。所以教師在課堂上引入復(fù)變函數(shù)積分定義之前，最好先復(fù)習(xí)定積分的定義并說明其具體意義。否則直接講述復(fù)變函數(shù)的積分，學(xué)生一上來就面對(duì)冗長(zhǎng)的定義過程和抽象的算式，很可能會(huì)陷入不知所云的境地而失去進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)效果可能也會(huì)大打折扣。

《復(fù)變函數(shù)》的內(nèi)容是《微積分》的深化與推廣。某些具體問題在《微積分》課程中未必能夠講得完全清楚，而在《復(fù)變函數(shù)》中則能得到完全的解決或是更清晰透徹的解釋。在這些場(chǎng)合，教師可以向?qū)W生展示復(fù)變函數(shù)的威力，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

結(jié)語(yǔ)：通過以上幾點(diǎn)探討可知，在應(yīng)用技術(shù)類院校中，教師若能從實(shí)際出發(fā)，且緊密深刻聯(lián)系先修的數(shù)學(xué)課程講授《復(fù)變函數(shù)》，可收到良好的教學(xué)效果。從而為學(xué)生為進(jìn)一步的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。