凸函數(shù)在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

張志明 湖北科技學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

自從21世紀(jì)伊始凸函數(shù)理論得以成立之后，它作為核心的理論，在各種數(shù)學(xué)研究中都被有效地運(yùn)用。在目前普遍適用的高等數(shù)學(xué)的教科書(shū)里，全部有著凸函數(shù)的相關(guān)概念解釋。然而因?yàn)椴煌瑫?shū)籍的不同作用，對(duì)它的解釋也有著各種差別。當(dāng)前，由于數(shù)學(xué)被普遍運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇內(nèi)，而使得數(shù)學(xué)從冷門(mén)學(xué)科一躍成為炙手可熱的學(xué)科。其中，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)主要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的運(yùn)用來(lái)尋求答案，但是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中相關(guān)的一些函數(shù)普遍具備凸性，這就決定了凸函數(shù)在其中的普遍運(yùn)用，它能夠?qū)ζ髽I(yè)探討財(cái)務(wù)資源的有效配備提供助益，從而幫助企業(yè)的利益達(dá)到最大。

一、凸函數(shù)的概念

則稱(chēng)f(x)為I上的凸函數(shù)[1]。

定義2 若在定義I上成立不等式

則稱(chēng)f(x)是I上嚴(yán)格的凸函數(shù)[2]。

二、關(guān)于凸函數(shù)的幾個(gè)重要不等式

（一）Jensen不等式

定理1 （凸函數(shù)的基本不等式）設(shè)?(x)是間I上的凸函數(shù)，則對(duì)I中n個(gè)數(shù)成立不等式，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號(hào)。

（二）Hadamard不等式

兩邊積分可得

三、函數(shù)凸性在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行之時(shí)，生產(chǎn)商的主要要求就是，如何利用盡可能少的物資和成本，取得盡可能大的市場(chǎng)效益和利潤(rùn)。他們會(huì)通過(guò)預(yù)估行為，構(gòu)造一個(gè)效益、成本、價(jià)格三者相關(guān)的函數(shù)公式，之后再通過(guò)求取凸函數(shù)的極限值，來(lái)達(dá)到效益最優(yōu)化、支出最小化的目的。通過(guò)對(duì)二次倒數(shù)求導(dǎo)，來(lái)判定函數(shù)的凹凸性，確定了函數(shù)的凹凸性之后，我們就可以根據(jù)凹凸函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而計(jì)算出最大值和最小值。這是我們利用函數(shù)凹凸性的進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策的基礎(chǔ)。在實(shí)際的生活中，我們對(duì)于利用函數(shù)的凹凸性，尤其是凸函數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評(píng)估時(shí)，不是簡(jiǎn)單的通過(guò)計(jì)算就可以得到最大值的。我們更需要的是首先對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析，從而在這個(gè)過(guò)程中提煉出來(lái)一種經(jīng)濟(jì)學(xué)模型來(lái)。然后才是對(duì)模型進(jìn)行函數(shù)上的數(shù)學(xué)計(jì)算和分析。

（一）利潤(rùn)最大問(wèn)題

在任何的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，利潤(rùn)是不可缺少的部分，如何尋找一種利潤(rùn)最大化的方案是我們所要解決的。其中成本函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)之間也有一種函數(shù)關(guān)系。當(dāng)這種函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，對(duì)其利潤(rùn)最大值的計(jì)算就可以利用凸函數(shù)的性質(zhì)去求解。

例1假設(shè)某一個(gè)產(chǎn)品，其需求量的函數(shù)可以用Q=12000-80P（P的單位為元，表示產(chǎn)品單價(jià)）來(lái)表示，而該產(chǎn)品總的生產(chǎn)成本為C=25000+50Q，而銷(xiāo)售后每一件產(chǎn)品的稅費(fèi)為2元，請(qǐng)求出產(chǎn)品獲取最大利潤(rùn)時(shí)的單價(jià)和最大利潤(rùn)額。

對(duì)于如何尋求效益的最大化，首先需要尋找與效益相聯(lián)系的生產(chǎn)要素的函數(shù)關(guān)系，先通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)尋找其穩(wěn)定點(diǎn)，然后繼續(xù)求其二階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)這個(gè)導(dǎo)數(shù)辨別利潤(rùn)函數(shù)是不是凹函數(shù)，通過(guò)辨別如果是凹函數(shù)的話，那么就可以從中選取出最大的數(shù)值，也就是最大化的效益。這樣一來(lái)，復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象就變成了數(shù)學(xué)理論中經(jīng)常被使用到的函數(shù)，把尋求經(jīng)濟(jì)效益的最大化轉(zhuǎn)換成一般的凸函數(shù)求極值的問(wèn)題，這是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更好的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的有效解決

（二）成本最小問(wèn)題

下面看一下成本最小問(wèn)題。

例2 現(xiàn)在需要制作一個(gè)固定容量為500cm3的罐子，其形狀規(guī)定為圓柱形，請(qǐng)問(wèn)最節(jié)省制作材料的底面半徑值。

解： 設(shè)飲料罐的高為h，底面半徑為r，則表面積

如果接下來(lái)要尋求支出成本最小化，同樣通過(guò)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用定理四來(lái)辨別這個(gè)公式是不是凸函數(shù)，如果確認(rèn)是凸函數(shù)，那么就可以從中尋找到最小的數(shù)值，也就找到了最小的成本。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，能夠有效地解決復(fù)雜問(wèn)題，并促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。

（三）最佳庫(kù)存問(wèn)題

在企業(yè)的整個(gè)運(yùn)營(yíng)當(dāng)中，必須要對(duì)庫(kù)存的數(shù)量進(jìn)行一個(gè)很好的衡量。如果庫(kù)存太少，那么很可能在市場(chǎng)需求量大的時(shí)候，失去搶占市場(chǎng)的能力。但是如果庫(kù)存太多，又有可能導(dǎo)致資金的壓力或者商品積壓太多的問(wèn)題。如果一個(gè)企業(yè)希望自己的運(yùn)營(yíng)效果較好，那么管理者首先需要決定產(chǎn)品的庫(kù)存數(shù)量，這其中包括了什么時(shí)候?qū)?kù)存進(jìn)行補(bǔ)充、補(bǔ)的數(shù)量又是多少等問(wèn)題。這個(gè)方面也能夠利用函數(shù)關(guān)系，求取凸函數(shù)的極限值，從而有效解決相關(guān)庫(kù)存難題。

例3 一個(gè)商品的年度總銷(xiāo)售額為10萬(wàn)件，如果設(shè)定這些商品是在不同時(shí)間進(jìn)行生產(chǎn)的，而每件商品的生產(chǎn)成本是100元，而生產(chǎn)企業(yè)中的平均庫(kù)存量是生產(chǎn)批量的一半，而每一個(gè)商品在倉(cāng)庫(kù)放一年，需要支出成本零點(diǎn)零五元。那么，現(xiàn)在來(lái)測(cè)算，如果令每一年的生產(chǎn)成本與支出庫(kù)存費(fèi)用總數(shù)最小化，每次應(yīng)該生產(chǎn)多少數(shù)目的產(chǎn)品。

解： 設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為W，批量為x，則

總結(jié)來(lái)說(shuō)，在求解關(guān)于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的最優(yōu)化時(shí)我們可以把它看成是數(shù)學(xué)中的求最值問(wèn)題。步驟為：

（1）對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)與相關(guān)聯(lián)因素的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確分析；

（2）對(duì)函數(shù)關(guān)系式求一階導(dǎo)數(shù)，求出穩(wěn)定點(diǎn)；

（3）對(duì)函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，根據(jù)凹凸性去確定函數(shù)特性。

（4）當(dāng)知道問(wèn)題有極值存在時(shí)，接下來(lái)判斷極值點(diǎn)是否是唯一的，當(dāng)唯一時(shí)則函數(shù)在該駐點(diǎn)有極值，這就解決了經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題了。