一道解析幾何試題的背景揭示及變式研究

(黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū),湖北 武漢 430312)

●孔 峰

(武漢市教育科學(xué)研究院,湖北 武漢 430032)

每年全國各地的高三調(diào)考試卷中，總有一些亮眼的試題，它們獨(dú)具匠心，延伸性、代表性和示范性頗佳，對(duì)這些試題進(jìn)行深入的探索、延伸和拓展，挖掘其潛在的價(jià)值，既能呈現(xiàn)豐富多彩的教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又有利于拓展想象力，提高思維的靈活性與深刻性[1].2019年湖北省武漢市高三二月調(diào)考理科解析幾何試題就是其中一例．

1)求橢圓Γ的方程；

2)過點(diǎn)P(1,0)作直線交橢圓于點(diǎn)A,B，點(diǎn)Q為平面上一點(diǎn)，QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，且k1+k2=2k0，問:點(diǎn)Q是否在某條定直線上?

(2019年湖北省武漢市高三二月調(diào)考理科試題第20題)

做完此題，筆者意猶未盡，總覺得有某些一般性的結(jié)論蘊(yùn)含其中，經(jīng)過一番思考和研究，得到如下9個(gè)更具一般性的結(jié)論，現(xiàn)草擬成文，與同仁們分享．

圖1

1 從特殊到一般的拓展

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，Q(x0,y0).

1)若直線AB與x軸不重合，不妨設(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入橢圓方程,整理得

(a2+b2m2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0.

由|t|0,則

由k1+k2=2k0得

(1)

由-x0+t+my0不恒為0，知式(1)?

y1(x0-my2-t)+y2(x0-my1-t)=0?

(x0-t)(y1+y2)-2my1y2=0?

2b2mtx0=2ma2,

因此

1)若直線AB與x軸不重合，不妨設(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入橢圓方程,整理得

(a2+b2m2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0.

由|t|0，則

k1+k2-2k0=(k1-k0)+(k2-k0)=

(2)

故式(2)為0，即k1+k2=2k0．

2)若直線AB與x軸重合，此時(shí)k1=k2=k0=0，滿足k1+k2=2k0.

綜合1)，2)可知k1+k2=2k0．

1)若直線AB與x軸不重合，不妨設(shè)直線AB的方程為x=my+λ(其中|λ|

(a2+b2m2)y2+2b2mλy+b2(λ2-a2)=0.

由|λ|<0知Δ>0,則

k1+k2-2k0=(k1-k0)+(k2-k0)=

(3)

2)若直線AB與x軸重合，顯然直線AB過點(diǎn)P(t,0).

綜合1)，2)可知直線AB過定點(diǎn)P(t,0)．

2 從一般到特殊的發(fā)現(xiàn)

對(duì)于結(jié)論1，若k1+k2=0，則k0=0，此時(shí)點(diǎn)Q在x軸上，于是得到如下結(jié)論：

對(duì)于結(jié)論2，若點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，由k0=0知k1+k2=0，即直線AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)，則∠AQP=∠BQP，即：

對(duì)于結(jié)論3，若點(diǎn)Q在x軸上,由k0=0知k1+k2=0，即直線AQ與BQ的斜率互為相反數(shù)，則P為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為(t,0)，得：

3 結(jié)論的橫向類比

以上結(jié)論1～6均可以類比到雙曲線和拋物線中，限于篇幅，僅對(duì)拋物線作出說明，證明從略．

結(jié)論7已知拋物線y2=2px(其中p>0)，點(diǎn)P(t,0)(其中t>0)，過點(diǎn)P的動(dòng)弦交拋物線于點(diǎn)A,B，點(diǎn)Q為平面上一點(diǎn)，QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，且k1+k2=2k0，則點(diǎn)Q的軌跡為直線x=-t．

結(jié)論8已知拋物線y2=2px(其中p>0)，點(diǎn)P(t,0)(其中t>0)，過點(diǎn)P的動(dòng)弦交拋物線于點(diǎn)A,B，若Q為直線x=-t上任一點(diǎn)，QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，則k1+k2=2k0.

結(jié)論9已知拋物線y2=2px(其中p>0)的動(dòng)弦AB交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，點(diǎn)Q為直線x=-t上任一點(diǎn)，QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，若k1+k2=2k0，則P(t,0)．

4 高考真題再現(xiàn)

回顧近幾年全國各地的高考試題，從中發(fā)現(xiàn)了許多熟悉的“身影”，不少試題便是以上述結(jié)論為背景命制，細(xì)心品味，讓人有種“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的愉悅．

以結(jié)論5為命題背景的試題有：

1)略.

2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB．

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第20題)

以結(jié)論6為命題背景的試題有：

1)求橢圓E的方程.

(2015年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

例4已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN長為8．

1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，若x軸是∠PBQ的平分線，證明：直線l過定點(diǎn)．

(2013年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

1)略.

2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問:y軸上是否存在點(diǎn)Q使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點(diǎn)Q坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．

(2015年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

以結(jié)論8的特殊情形為命題背景的試題有：

例6設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A(2,0)，B(-2,0)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線C交于點(diǎn)M,N.

1)略.

2)證明：∠ABM=∠ABN.

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ文科試題第20題)

以結(jié)論9的特殊情形為命題背景的試題有：

1)略.

2)問：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？請(qǐng)說明理由．

(2015年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第20題)

高考試題講究“?？汲Ｐ?，推陳出新”，以上結(jié)論在高考中還有一些沒有出現(xiàn)，但為以后的試題命制提供了廣闊的空間．

通過對(duì)例1的拓展研究以及與高考試題的縱橫聯(lián)系，我們充分感受到了數(shù)學(xué)探究的樂趣．其實(shí)，許多高考和調(diào)考試題都凝結(jié)了命題專家巨大的智慧和心血，它們有的背景深刻，有的內(nèi)涵豐富，有的立意高遠(yuǎn)，有的創(chuàng)意新穎，在研究的過程中，可以進(jìn)一步領(lǐng)悟解題方法和思想，領(lǐng)悟問題的深層次聯(lián)系，解題能力和思維品質(zhì)能向更深、更高的層次發(fā)展和升華[3]！