用數(shù)形結(jié)合求解一道函數(shù)零點(diǎn)問題的反思

(杭州第二中學(xué),浙江 杭州 310053)

研究函數(shù)零點(diǎn)的過程中，經(jīng)常會(huì)利用函數(shù)圖像，即數(shù)形結(jié)合求解問題.畫出的草圖不夠精確，一般不影響問題的解決，但與問題緊密相關(guān)的位置關(guān)系不能粗略判斷，需要從數(shù)的角度來細(xì)致地分析、計(jì)算，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.利用數(shù)形結(jié)合思想方法求解函數(shù)問題時(shí)，要注意數(shù)與形的互助，從而準(zhǔn)確求解問題.

筆者先從高三復(fù)習(xí)中的一道測試題說起，這個(gè)題目看似簡單，實(shí)則不易，易漏易錯(cuò).

1 試題呈現(xiàn)及解法分析

分析此題中函數(shù)f(x)比較復(fù)雜，直接探索比較麻煩，不難想到可把原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像公共點(diǎn)的問題.

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5 圖6

比較兩種解法，同樣是數(shù)形結(jié)合，但難易程度明顯不一樣:前者通過換元，轉(zhuǎn)化為研究含參數(shù)的“V”形圖像與確定的曲線的位置關(guān)系;后者研究含絕對(duì)值的曲線與一條直線的位置關(guān)系，并且含有參數(shù)，情況復(fù)雜很多，需要注意的地方較多，而且有些關(guān)鍵的位置關(guān)系需要從數(shù)的角度來確定，否則很容易出錯(cuò).

如圖7，手工畫草圖時(shí)，完全有可能把(0,1)區(qū)間上g(x)的圖像(此時(shí)a=-1)畫成曲線m，就多了一種情況，但它是不對(duì)的！表面上看，m與原圖的區(qū)別是曲線“凸出”的程度不一樣，本質(zhì)在于原點(diǎn)右側(cè)g(x)切線的斜率，若比h(x)的斜率“4”還大，則這又是一種符合題意的情況.但事實(shí)上，不難算得g′(0+)=1<4，此時(shí)g(x)的圖像與h(x)的圖像會(huì)有3個(gè)不同的公共點(diǎn).其中g(shù)′(0+)表示g(x)在0右側(cè)的導(dǎo)數(shù)值.

圖7 圖8

做完這道題，筆者恍然大悟，不是學(xué)生沒有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，也不是不會(huì)用數(shù)形結(jié)合，而是數(shù)形結(jié)合之后，問題可能還是比較復(fù)雜，很容易出錯(cuò)、漏解！筆者開始反思用數(shù)形結(jié)合解題的過程，想到了如下兩點(diǎn)啟示.

2 兩點(diǎn)啟示

2.1 要重視從數(shù)的角度研究關(guān)鍵的形

在例1的解法2中，從數(shù)的角度分析計(jì)算，解決了由于草圖不夠精確帶來的疑難[2]，此類型的問題還有很多.

例2已知函數(shù)f(x)=(x2+x-4)e-x-ax，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析原問題等價(jià)于f′(x)=e-x(-x2+x+5)-a有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)(零點(diǎn)附近左右兩邊的函數(shù)值異號(hào))，等價(jià)于方程e-x(-x2+x+5)=a的根的問題，進(jìn)一步等價(jià)于g(x)=e-x(-x2+x+5)與y=a有兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)間′(x)=e-x(x2-3x-4)=e-x(x+1)(x-4)，所以g(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,4)上單調(diào)遞減，在(4,+∞)上單調(diào)遞增，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0；當(dāng)x→-∞時(shí),g(x)→-∞,畫出圖像如圖9所示，易得a∈[0,3e).

圖9 圖10

評(píng)注閱卷過程中，有很多學(xué)生認(rèn)為實(shí)數(shù)a不存在，經(jīng)過了解，他們都是把圖像畫成了如圖10所示的情況.很明顯，這是忽視了求極限而畫錯(cuò)了函數(shù)圖像，從而導(dǎo)致求解錯(cuò)誤.

例3若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.

圖11

分析原問題等價(jià)于|2x-2|=b有兩個(gè)不等實(shí)根，即g(x)=|2x-2|與y=b有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，畫出圖像如圖11所示，即得0

2.2 善于利用代數(shù)變形，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，讓數(shù)形結(jié)合事半功倍

例1的解法1通過換元，使得所要研究的函數(shù)變得容易把握，從而能迅速、準(zhǔn)確地求解.常見的代數(shù)變形除了換元之外，還有方程和不等式變形.舉例如下：

例4求函數(shù)f(x)=2x|log2x|-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析此函數(shù)圖像的草圖不容易畫出來，需要轉(zhuǎn)化.

圖12

評(píng)注通過代數(shù)變形將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖像的公共點(diǎn)問題，使得數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用水到渠成.

1)略；

2)證明：對(duì)于任意的k>0，直線y=kx+a與y=f(x)有唯一的公共點(diǎn).

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

分析直接畫y=kx+a與y=f(x)的函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)操作起來不太容易，于是筆者嘗試等價(jià)變形，分離出k.

從而h(x)在(0,16)上單調(diào)遞增，在(16,+∞)上單調(diào)遞減.又a≤3-4ln 2，得

h(x)≤h(16)=4ln 2-3+a≤0，

于是g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0,故g(x)的值域?yàn)?0,+∞).

評(píng)注本題屬于難題，但作了合適的代數(shù)變形后，轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)“好”(容易研究的)函數(shù)的圖像公共點(diǎn)問題，降低了問題的難度，顯示出數(shù)形結(jié)合強(qiáng)大的威力.

總之，在函數(shù)零點(diǎn)問題中：一方面，以形助數(shù)，讓問題直觀地表達(dá)出來，降低求解的難度；另一方面，以數(shù)定形，通過分析函數(shù)性質(zhì)、定量計(jì)算，確定函數(shù)圖像關(guān)鍵的位置關(guān)系.在實(shí)際問題中，通過等價(jià)代數(shù)變形，把問題當(dāng)中的函數(shù)轉(zhuǎn)化為“好”函數(shù)，有助于簡化問題，提高使用數(shù)形結(jié)合解題的效率.