教之道在于度 學(xué)之道在于悟——從一堂高三數(shù)學(xué)探究活動課說起

(輔仁高級中學(xué),江蘇 無錫 214123)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課往往是學(xué)生在教師的引領(lǐng)下對已學(xué)知識進行系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)，對概念本質(zhì)進行深刻性和廣泛性理解，對數(shù)學(xué)方法進行合理性和靈活性應(yīng)用，對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)進行深度探究和再升華的過程，是實現(xiàn)學(xué)生的知識生長、思維發(fā)展和能力提升的主戰(zhàn)場．基于此，許多教師會產(chǎn)生這樣的疑問：什么樣的課堂是復(fù)習(xí)課的好課堂，什么樣的課堂有利于學(xué)生的思維發(fā)展，什么樣的課堂有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，什么樣的課堂有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，什么樣的課堂有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]？

筆者認為，能力扎根于學(xué)生的經(jīng)驗，來自于對問題的發(fā)現(xiàn)、分析和理解的過程，伴隨著對已有知識和經(jīng)驗的自我改造、重組與更新．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，組織學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)[2]，應(yīng)注重學(xué)生的主動參與、積極建構(gòu)、合作交流、多角度審視和深層次探究，以及教師的合理引導(dǎo)、適度啟發(fā)和恰到好處的“點睛”；不應(yīng)是走馬觀花式的表層學(xué)習(xí)、淺層學(xué)習(xí)、機械學(xué)習(xí)和“知其然而不知其所以然”的模仿式學(xué)習(xí)．下面，筆者以一堂高三數(shù)學(xué)深度理解的活動課為例，探索高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的“教”“學(xué)”之道，旨在拋磚引玉．

1 問題呈現(xiàn)

2 組織探究活動

對問題進行多角度、深層次探究能夠有效地幫助學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)列的認知網(wǎng)絡(luò)，獲得解決問題的方法，從而揭示問題的本質(zhì)，通過聯(lián)想、類比能將陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、簡單的問題來處理[3]，通過比較各種方法的優(yōu)劣，可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

2．1 他山之石可攻玉

證法1當(dāng)i=1,2,3時,

證法2當(dāng)i≥2時，

此時學(xué)生和教師一起進行總結(jié)和點評：前面的學(xué)生處理得很好，盡管失敗了，但失敗中蘊含著成功的經(jīng)驗和啟發(fā)作用．學(xué)生們一定想知道：上面的兩種方法是如何想到的，為什么這樣想，問題解決的本質(zhì)和關(guān)鍵是什么？實際上，解決問題的本質(zhì)是如何求出目標中各項的和或適當(dāng)放大后的和，對這個“適當(dāng)”我們還有別的辦法嗎？

2．2 似曾相識燕歸來

第三小組的學(xué)生非常激動，但激動之余他們也遇到了和生1同樣的困境：

有了證法1的經(jīng)驗，他們獲得了成功，得到證法3．

證法3當(dāng)i=1,2,3時,

盡管證法3比較巧妙，但很多學(xué)生仍然不滿意，認為還是比較復(fù)雜.于是第四小組的生4提出,若放大的幅度小一些，會和證法2一樣，沒有必要從第4項開始放大，經(jīng)本組學(xué)生的共同努力得到了更為巧妙的證法．

證法4當(dāng)i≥2時，

2．3 柳暗花明又一村

令全體師生拍案叫絕．

證法5當(dāng)i≥2時，

正當(dāng)大家沉浸在成功的喜悅中時，平時不善言談且成績一般的第六小組生7和同桌生8同時站了起來，害羞地說：“受二項式定理的啟發(fā)，我們得到了又一種證法，不過方法有些復(fù)雜”．此刻，大家用羨慕的目光欣賞著兩位學(xué)生與眾不同的“柳暗花明又一村”的喜人證法．

這時，伴隨著數(shù)列不等式的各種放縮方法的精彩展現(xiàn)，問題得到深層次、徹底的解決.學(xué)生意猶未盡，收獲滿滿,下課鈴響了，全班響起了熱烈的掌聲．

3 幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)的評析

從生1的聯(lián)想可以看出，學(xué)生的思維很活躍，具有較強的開放性、發(fā)散性和創(chuàng)造性.盡管生1的念頭沒有達到預(yù)期的效果，但大家的收獲頗多，他的思路為證法1和證法2的獲得埋下了伏筆，提供了保證．

第三小組的集體智慧是證法3和證法4的關(guān)鍵，同時更是巧妙證法5的思想源泉；而生7和生8的奇思妙想是證法6的關(guān)鍵，他們是怎樣想到的？這是學(xué)習(xí)者對問題本質(zhì)的深刻理解、相關(guān)知識的廣泛聯(lián)想和問題內(nèi)涵與外延的深刻感悟的成果.盡管處理的技巧性較強，但他們敏銳的觀察力和團隊合作的精神，足以讓大家欽佩．

整個探究活動的過程，教師不僅僅是在傳道、授業(yè)、解惑，更是在作為配角和學(xué)生一起去觀察、聯(lián)想和探究，是在恰當(dāng)?shù)臅r候給予恰當(dāng)?shù)狞c撥和點睛．盡管本節(jié)課只解決了一個問題，但學(xué)生獲得了解決一類問題的解法，從某種意義上講，解題教學(xué)應(yīng)追求“質(zhì)”而不是“量”，課堂也不是僅僅將知識和方法強行灌輸給學(xué)生，而是以知識為載體教會學(xué)生思考，讓學(xué)生學(xué)會提出問題、分析問題和解決問題，實現(xiàn)學(xué)生知識的生長和能力的提升．

4 對教學(xué)的思考

教的悲哀是替代，學(xué)的悲哀是依賴．在教學(xué)活動中，教師不應(yīng)把現(xiàn)成的結(jié)論和方法直接告訴學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生自己去對學(xué)習(xí)的對象進行探索、研究，自己去獲得．教師應(yīng)多在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置有一定思維價值且能激發(fā)學(xué)生自主、合作、探究的問題或問題串；應(yīng)多創(chuàng)設(shè)問題質(zhì)疑的情境，并精心對待學(xué)生的每一個想法和念頭；應(yīng)在教師的引導(dǎo)下放手讓學(xué)生自主探究、合作交流和大膽猜想[4]．這樣，學(xué)生既能深化對概念與規(guī)律的認識與理解、完善認知結(jié)構(gòu)，又能獲得問題研究的方法和成果、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、實現(xiàn)長效發(fā)展．

數(shù)學(xué)探究活動是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑，它有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感和態(tài)度，增強學(xué)習(xí)的自信心和克服困難的意志力，有利于加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，掌握解決問題的方法和策略，提高解決問題的能力．因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)常參與探究活動，并在探究的過程中激發(fā)他們的主動性和自覺性，引導(dǎo)他們自己總結(jié)、概括探究的方法，交流、反思探究的成果，從中體會和感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略和途徑．

教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”．課堂教學(xué)是教與學(xué)的雙邊活動，教的秘訣在于適度，度就是恰到好處，就是能在恰當(dāng)?shù)臅r間和結(jié)點給予恰當(dāng)?shù)膯l(fā)和幫助；學(xué)的真諦在于悟，悟就是學(xué)生的獨立思考，是用心感悟，是自主構(gòu)建，是反思提升，是高效的學(xué)習(xí)方法．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)對“教”和“學(xué)”的度精準把握，努力做到合情合理、收放有度．

教育的視野決定了教育的品位．高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)立足于以學(xué)生的發(fā)展為本、以育人為目的，要基于學(xué)生的知識經(jīng)驗和實踐經(jīng)歷，設(shè)計具有思考價值和挑戰(zhàn)性的問題系列，組織興趣盎然的探究活動，促使學(xué)生領(lǐng)悟知識方法、內(nèi)化活動經(jīng)驗、發(fā)展學(xué)習(xí)能力.教師應(yīng)注重“啟、誘、導(dǎo)、探、悟”，在問題解決的突破口、轉(zhuǎn)換的方向、化歸的手段及運算的變形上，通過學(xué)生嘗試分析、感悟領(lǐng)會，進而轉(zhuǎn)化為自身的能力，使學(xué)生“悟得到、想得通、算得出、留得住、用得上”，實現(xiàn)真正意義上的深度學(xué)習(xí)．