關(guān)注中等生考試狀態(tài)下的“會而不對”現(xiàn)象——基于錯位相減法的解題調(diào)查與分析

(大廠高級中學(xué),江蘇 南京 210044)

1 背景

文獻[1]指出“會而不對”現(xiàn)象是指拿到題目后，感覺會做，也能下筆求解，卻做不出正確答案的現(xiàn)象.其實這是一個永恒的話題.“如何有效地減少這種現(xiàn)象的發(fā)生”成為教師與學(xué)生共同關(guān)注的問題.根據(jù)筆者的教學(xué)實踐和調(diào)查發(fā)現(xiàn)：中等生出現(xiàn)這種現(xiàn)象尤為明顯，特別是在考試狀態(tài)下.筆者收集中等生考試狀態(tài)下“會而不對”現(xiàn)象的典型案例，探究其原因，并給出減少這種現(xiàn)象的策略.

基于2018年6月底江蘇省南京市高一數(shù)學(xué)統(tǒng)測及網(wǎng)上閱卷情況，筆者對南京市的3所高中(兩所四星高中、一所三星高中)的1 208名學(xué)生的解答情況進行得分統(tǒng)計，通過錯解收集分析以及個別學(xué)生和教師的訪談，發(fā)現(xiàn)中等生考試狀態(tài)下產(chǎn)生“會而不對”現(xiàn)象的原因，尋求減少這種現(xiàn)象的有效方法和教學(xué)策略.

2 題目與得分情況

題目已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a2=b2=1,a3-1=b3,a4-1=b4.

1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；

2)記cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn；

(江蘇省南京市2017學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考第20題)

說明整卷滿分160分，平均分108.76，難度系數(shù)為0.68.

表1 第20題的得分情況

由表1可以看出，第2)小題難度系數(shù)為0.44，屬于中檔題，區(qū)分度為0.93，具有較高的區(qū)分度.第20題的3個小題中，第2)小題更能反映出中等生的解題狀況，下面僅對第2)小題進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析.

表2 第2)小題的得分情況

續(xù)表2

由表2可以看出，第1)小題正確、第2)小題有解答但未得分及得分不全的學(xué)生數(shù)為615人，占參加考試學(xué)生總數(shù)的50.91%，不妨稱這部分學(xué)生為中等生.

3 第2)小題的典型錯誤及錯因分析

由第1)小題知an=2n-3,bn=2n-2，本文的案例僅針對第1)小題正確但第2)小題錯誤的學(xué)生.

3.1 寫Sn的展開式出錯

圖1中的第4行出錯，生1把第3行的“2n-3”看成了“2(n-3)”，導(dǎo)致后續(xù)全部出錯.展現(xiàn)出生1的運算素養(yǎng)較弱，數(shù)學(xué)運算總是在明晰運算對象的基礎(chǔ)上進行的，但該生把運算對象看錯了，實際上是短時記憶的準確性不夠.

圖1

3.2 乘公比出錯

圖2中的第3行出錯，生2在等式兩邊乘以公比2時，最后一項“(2n-5)2n-2”與“ (2n-3) 2n-1”順序顛倒, 導(dǎo)致該生在相減時最后一項出錯.

圖2

3.3 相減出錯

圖3中兩邊乘以公比2是正確的，但在第3行相減時出錯，等式右邊括號內(nèi)的最后一項“2n-1”錯了，應(yīng)該是“-(2n-3)·2n-2”，錯誤出現(xiàn)在相減后的最后一項.相減出錯與乘公比出錯類似，主要發(fā)生在最后一項，其主要原因是作差時最后一項與前面不同，運算路徑發(fā)生了變化.而當運算路徑發(fā)生變化時，中等生的出錯率就會提高.

圖3

3.4 相減后求和出錯

圖4

3.5 相減后除以系數(shù)出錯

相減求和正確，等式兩邊除以系數(shù)時出現(xiàn)的錯誤也較為常見.圖5展現(xiàn)出來的過程都是對的，但是本題的解題目標是求“Sn”，這位學(xué)生只是求出了“Sn-2Sn”，即“-Sn”，忘記了除以系數(shù)“-1”導(dǎo)致出錯，未能得到這一小題的滿分“5分”，顯現(xiàn)出解題過程中自我監(jiān)控和目標意識的缺失.這種錯誤的原因是目標意識不足，“解題回顧”環(huán)節(jié)缺失.

圖5

3.6 最后結(jié)果的表達

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)指出：要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達世界[2].數(shù)學(xué)表達的目的之一是方便交流，這就需要有相對統(tǒng)一的格式要求，雖然教材上沒有對錯位相減法求和的結(jié)果給出統(tǒng)一規(guī)范要求，但如果借鑒等比數(shù)列的求和公式，筆者認為錯位相減法求得的結(jié)果最好保留一項或兩項，即A+(Bn+C)qn-1型，其中A,B,C為常數(shù)，q為等比數(shù)列的公比，這樣更方便交流.

4 學(xué)生訪談、教師訪談

在考試結(jié)束后的一周內(nèi)，筆者與部分學(xué)生和教師進行訪談.

4.1 學(xué)生訪談

考試答題紙返回到學(xué)生手中、公布各小題得分明細后的第二天，筆者對自己所在學(xué)校的一個普通班10名學(xué)生(這部分學(xué)生在第20題第2)小題中的得分為2～4分)進行了訪談，A代表筆者，S代表學(xué)生.

A：你認為你會做第20題的第2)小題嗎？如果會，用什么方法做？

S1:會的，這是等差乘以等比數(shù)列的求和問題，應(yīng)該用錯位相減法.

(10名學(xué)生全都認為自己會做這種類型的題目.)

A：現(xiàn)在，你知道錯在哪一步嗎？

S2:現(xiàn)在我還是不知道自己錯在哪里？

(10名學(xué)生中有7名這樣回答.)

A：考試時做完第2)小題后，你能判斷出自己的答案正確嗎？

S3：我沒有去判斷，就接著寫下一個小題了，但是下一道題目，也沒有寫出來.

(有8名學(xué)生這樣回答.)

4.2 教師訪談

考試后的一周，筆者利用學(xué)期結(jié)束前最后一次組內(nèi)教研活動的時間，對高一數(shù)學(xué)組的部分教師進行訪談，其中T代表接受訪談的教師.

A：關(guān)于數(shù)列求和中的錯位相減法教學(xué)，請各位老師談?wù)勛约旱捏w會和看法.

T1：見到等差乘以等比數(shù)列的求和問題，就應(yīng)該想到可采用錯位相減法求和，但有的學(xué)生還說是用裂項相消法，真是讓我犯暈，這種學(xué)生怎么教？

T2：錯位相減后，一定是對n-1項的等比數(shù)列求和，關(guān)于這一點，我強調(diào)了很多遍，學(xué)生還是出錯.

T3：采用錯位相減法求和，由于求得的結(jié)果各異，批卷費事，高考卷中一般不會出現(xiàn)這類題，因此不應(yīng)過多復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)了也沒有什么用.

5 中等生考試狀態(tài)下“會而不對”現(xiàn)象的影響因素與應(yīng)對策略

5.1 解題路徑變化“點”較多容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象

當解題路徑變化“點”較多時，中等生更容易出現(xiàn)“會而不對”現(xiàn)象，這是“會而不對”現(xiàn)象產(chǎn)生的外在原因.錯位相減法看似程序固定，容易操作，事實上，使用這種方法對數(shù)列求和時變化“點”較多：比如相減時的最后一項，與前面的項不同；相減后求和時，等比數(shù)列的項數(shù)問題；最后還需要除以系數(shù)，化簡等等.這就要控制好解題過程中快與慢的“時段”，中等生在變化“點”處需謹慎而又緩慢前行.交通安全中常有提示：“事故多發(fā)于彎道、路口”“十個事故，九個快”，這兩句警語對中等生解題也應(yīng)有所借鑒.

5.2 短時記憶能力弱容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象

短時記憶能力較弱是中等生的典型特征之一.記憶力弱更容易產(chǎn)生“會而不對”現(xiàn)象，這是“會而不對”現(xiàn)象形成的心理原因.從學(xué)生的視角上看，導(dǎo)致“會而不對”的主要影響因素是審題、計算和轉(zhuǎn)化.如看錯題目、誤解題目、看錯數(shù)字或符號等等，這些都與短時記憶的廣度和準確性有密切的關(guān)系，也表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有缺失.錯位相減法求和時，數(shù)字與字母混合，加、減、乘、除、乘方這5種運算混合，對短時記憶的準確性和廣度要求較高，稍不留意就會導(dǎo)致錯誤.化“隱”為“顯”，心算內(nèi)容可視化，加密運算步驟可以有效減少“會而不對”現(xiàn)象.比如在寫出Sn的展開式時，要求前3項和后2項具體，不可省略，教學(xué)實踐表明這樣做可以有效減少“錯位相減”后最后一項出錯的幾率，也有利于“對相減后產(chǎn)生的等比數(shù)列”正確求和.同時對于常規(guī)問題，保證一定的訓(xùn)練次數(shù)，形成熟練度也是有必要的.

5.3 良好解題習(xí)慣的缺失容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象

良好的解題習(xí)慣是提高解題效率和準確性的重要保障.波利亞提出解題的4個步驟：理解題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃、解決回顧[3].中等生面對一道感覺會做的題目，他們當然會完成前3個步驟，但是最后一個步驟“解題回顧”，被不少學(xué)生遺忘(訪談中10名學(xué)生有8名不知道自己錯在哪里)，在考試狀態(tài)下，更是如此.事實上，只要對最后的結(jié)果，取n=1，2，算出Sn，就可以立刻檢查出錯誤.解一道題目切莫忘了“驀然回首”這一步，即使在考試狀態(tài)下也應(yīng)如此.這比整張試卷做完后再回頭檢查效果要好得多.

6 減少中等生考試狀態(tài)下“會而不對”現(xiàn)象的教學(xué)策略

減少中等生考試狀態(tài)下“會而不對”現(xiàn)象，教師可以有所作為.結(jié)合教學(xué)實踐、數(shù)據(jù)分析及教師訪談的結(jié)果，筆者提出以下4個教學(xué)策略，以減少中等生考試狀態(tài)下的“會而不對”現(xiàn)象：

6.1 教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容理解的深入，更容易幫助學(xué)生減少“會而不對”現(xiàn)象

章建躍博士反復(fù)強調(diào)數(shù)學(xué)理解的重要性[4].準確而又深刻地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容是教好數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)，與義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)相比，這一點顯得更為重要.如果教師對數(shù)學(xué)本身理解不深入，就無法準確地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，與學(xué)生交流時也會捉襟見肘，不利于學(xué)生減少“會而不對”現(xiàn)象.對于等差乘以等比型的數(shù)列問題，從教師的訪談來看，還需要理解得更深刻一些，錯位相減法并不是求解此類問題的唯一方法，裂項相消法也可以求解此類問題.訪談中T1提到“有的學(xué)生還說是用裂項相消法，真是讓我犯暈，這種學(xué)生怎么教”，說明他可能不太了解“用裂項相消法也可以求解差比型數(shù)列的前n項和”.在數(shù)學(xué)解題研究中，加強對一類問題的多解研究是一線教師的必修課，也是深刻理解數(shù)學(xué)的一種手段.T2提到“錯位相減后，一定是對n-1項的等比數(shù)列求和”，事實上錯位相減后，可能是對n-1項的等比數(shù)列求和，也可能是對n項的等比數(shù)列求和，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差相等時就會產(chǎn)生后一種情況.若教師對“差比型”數(shù)列進行一般性研究，即求出數(shù)列{(kn+b)qn}的前n項和，就會發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論，同時也會發(fā)現(xiàn)結(jié)果相對統(tǒng)一的形式(一項或兩項).對數(shù)學(xué)問題的一般化研究有利于更加全面地理解數(shù)學(xué)，進而更有效地與學(xué)生交流，幫助中等生減少“會而不對”現(xiàn)象.

6.2 改造出使學(xué)生更容易操作的數(shù)學(xué)，減少“會而不對”現(xiàn)象

張景中院士特別強調(diào)：既要“數(shù)學(xué)教育”,又要“教育數(shù)學(xué)”[5].改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)的任務(wù).張奠宙教授指出：教師的任務(wù)是把知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)[6].不管是“改造數(shù)學(xué)”還是“把知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”，都需要教師創(chuàng)造性的勞動.怎樣教，學(xué)生才更容易學(xué)會、做對、錯誤率小一些，中等生的“會而不對”現(xiàn)象少一些.這需要教師改造出更容易操作的數(shù)學(xué).對于使用錯位相減法求數(shù)列的和，一些教師作了有效的嘗試,比如筆者所在學(xué)校的C教師要求學(xué)生：寫出“Sn”的展開式時，要“前三后二(前面保留三項，后面保留二項)”；乘公比錯位時，要“向后錯位，補0對齊再相減”等，這樣可以有效提高相減時的準確性，減少“會而不對”現(xiàn)象的發(fā)生.通過數(shù)據(jù)比較,我們發(fā)現(xiàn)：C教師所教班級在此題的得分上顯著高于同層次其他班級.改造數(shù)學(xué)，使之容易操作，提前預(yù)防錯誤發(fā)生，讓學(xué)生有序地展開運算，就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的過程.

6.3 加強試題研究，做好考試指導(dǎo),可以有效減少“會而不對”現(xiàn)象

教師要加強高考試題研究，通過研究高考試題明確考試方向，指導(dǎo)教學(xué).訪談中T3提到“采用錯位相減法求和，由于求得的結(jié)果各異，批卷費事，因此高考卷中一般不會出現(xiàn)這類題”，表明T3缺少對高考題的了解和研究.事實上，近5年的高考試題中每年均有“差比”型數(shù)列求和(一般使用錯位相減法)的考題.比如2014年全國新課標卷Ⅰ文科第17題、2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科第18題、2016年山東省數(shù)學(xué)高考理科第18題、2017年天津市數(shù)學(xué)高考文科第18題、2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第20題等.此外，關(guān)于錯位相減法求得的結(jié)果，只要教師對學(xué)生稍加指導(dǎo),保留A+(Bn+C)qn-1型，求得的結(jié)果也不會形態(tài)各異.這樣的指導(dǎo)讓學(xué)生的書寫更易得分，同時也方便了交流.

6.4 給學(xué)生足夠的“悟”的時間，可以有效減少“會而不對”現(xiàn)象

《新課標》強調(diào)：提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式[2]，需要注意“獨立思考”是擺在第一位的，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特征之一.沒有經(jīng)過“獨立思考”的合作交流(小組討論),雖然有時候看起來學(xué)生的參與度很高，但是通常是膚淺的，也是低效的.在錯位相減法教學(xué)時，除了教師的啟發(fā)、講解外，還需要給予學(xué)生自主練習(xí)、獨立體悟的時間，讓學(xué)生悟出“錯位相減法”的解題流程和注意點.“悟”首先是學(xué)生個人獨立的思考.有問題就立刻組織學(xué)生展開討論，事實上剝奪了學(xué)生自主思考的時間和空間.學(xué)生擁有足夠的“悟”的時間，就更容易發(fā)現(xiàn)適合自己的解決問題的方法，形成自己的解題模塊，可以有效地減少“會而不對”現(xiàn)象.