租船問題研究

廣東省廣州市天府路小學(xué) 陳欣言

在義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第一單元《四則運(yùn)算》的例5（課本第10 頁），主題是租船問題：游客有32 人，大船30 元每艘，可載6 人，小船24 元每艘，可載4 人，問怎么租船租金最少？課本上的策略是通過計(jì)算和比較得出結(jié)論：先盡量租人均價(jià)格便宜的船，再考慮不留空位，就會(huì)最省錢，這樣得到的方案是大船4 艘，小船2 艘。

經(jīng)過思考，我想到不通過計(jì)算，畫圖也可以得出最便宜的方案。○表示一艘大船的價(jià)格，△表示一艘小船的價(jià)格，顯然有：○＞△。全部租大船：32÷6=5（艘）……2（人），至多需要大船5+1=6（艘），用6 個(gè)○表示；5 艘大船和1 艘小船用5 個(gè)○、1 △個(gè)表示，下面類同，所有的方案表示如圖1：

圖1

怎么比較它們的成本呢？我采用分組比較的方法，如圖2：

圖2

在每組中扣除相同的部分，又已知小船便宜，顯然，第一組中3便宜；第二組中5 便宜；第三組中7 便宜。因此只要比較3、5、7。

先比較5 和7：

我再想了一下，如果把題目的條件改一下變成“游客有33 人”會(huì)怎樣呢？顯然不可能沒有空位，因?yàn)橛慰褪瞧鏀?shù)，大小船載客都是偶數(shù)，那應(yīng)該怎么辦呢？這樣一來，最省錢的方案應(yīng)該是5 艘大船和1 艘小船（比4 艘大船和3 艘小船便宜）。為了研究一下這個(gè)結(jié)論是否正確，我繼續(xù)使用畫圖列表法，把所有可行方案都列出來，如圖3：

圖3

同樣進(jìn)行分組比較（如圖4 所示）：第一組中2 便宜；第二組中4 便宜；第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7，顯然2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

圖4

每一組去掉相同部分，可知第一組中2 便宜；第二組中4 便宜；第三組中6 便宜。再比較2、4、6、7，也可以得知：2 比4 便宜，4比6 便宜，6 比7 便宜，所以，最便宜的方案就是5 艘大船和1 艘小船。

接著，我又把課本題目的條件改了一下，游客還是32 人，但是小船的價(jià)格改為48 元，大船不變，這樣的話全部租大船反而是最便宜的了（雖然大船上留有空位），原來沒有空位的4 條大船和2 條小船反而不是最便宜的了。

看來，這種題目還是需要畫圖列表法才能篩選出最省錢的方案！但畫圖列表法本質(zhì)上是窮舉，如果題目的數(shù)字很大就要花很多時(shí)間了。我研究了幾天，找到了一種改進(jìn)的方法，我把它叫作“湊整替換法”。如課本上的題目條件不變，先考慮全部使用貴的小船，此時(shí)需要8 艘，然后把小船分組拼團(tuán)，一組內(nèi)小船的數(shù)量需要滿足能完整（不留空位）的用大船替換的條件（本質(zhì)上是求大船載客數(shù)和小船載客數(shù)的最小公倍數(shù)），如題大船載客6 人，小船載客4 人，一個(gè)分組內(nèi)的載客數(shù)就是12 人，此時(shí)需小船3 艘，能被2 艘大船完整替換。替換之后每組的成本肯定是降到最低的，只需要對(duì)最后余下來的人數(shù)進(jìn)行列表法窮舉就行了，如圖5 所示：

圖5

對(duì)余下的2 艘小船（8 人）進(jìn)行畫圖列表法窮舉，如圖6：

圖6

顯然，1是最便宜的方案。如果小船價(jià)格改為48元，就是3最便宜。如果人數(shù)改為33 人，價(jià)格不變，余下就是3 艘小船共9 人，這時(shí)2最省錢，也就是圖3 條件下得到5 艘大船和1 艘小船的方案。

一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)課本題目，改動(dòng)一個(gè)數(shù)據(jù)，參考量影響因子也會(huì)變化，所以對(duì)方法要理解到位，不能生搬硬套方法和結(jié)論。另外，一種分析策略也可以通過不斷優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)潔的解題方法和思考過程。