構造函數(shù)，巧解含參不等式

江蘇省射陽縣陳洋中學 黃曉麗

構造函數(shù)法在含參不等式中應用得十分廣泛，就是利用轉化的思想，通過構造函數(shù)將含參不等式進行轉化，然后充分利用函數(shù)的性質去解決含參不等式問題。所以，學生要清楚地知道構造函數(shù)的方法也是解決含參不等式的一種方法，教師在實際教學過程中要不斷地灌輸，日積月累，學生的成績就會有質的飛躍。

一、構造函數(shù)——分離參數(shù)

學生在求解含參不等式問題時，有時候進行分類討論反而會顯得十分復雜，這時候，學生可以學會將含有參數(shù)的式子進行合理的變形，把含參不等式中的參數(shù)分離出來，將含參不等式表示成一端只包含參數(shù)的式子，另一端則是轉換成與參數(shù)不等式?jīng)]有關系的式子，然后利用構造函數(shù)的方法，用函數(shù)的單調性與性質去討論原不等式的解集的情況。

分析：不等式的兩邊只有一個a，所以就比較容易想到運用“分離參數(shù)”法，將參數(shù)a 分離出來，將含有x 的放在一邊，根據(jù)定義域，列出一邊只有a，一邊只有x 的不等式，構造函數(shù)，用函數(shù)的性質求函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)的最小值求出實數(shù)a 的取值范圍。

評注：本題中，學生仔細觀察題目中給的式子，就會發(fā)現(xiàn)本題的參數(shù)是a，因此思路由此打開，將參數(shù)a 與自變量x 分離出來，帶有自變量x 的放到一邊構造出函數(shù)，回歸到學生熟悉的求解函數(shù)最值的形式，提升了解題的效率。

二、構造函數(shù)——變更主元

所謂“變換主元”法，就是在求解含參不等式問題時，選取其中的一個字母作為主元，將其他的字母看作常數(shù)，然后構造出函數(shù)，通過利用函數(shù)的特點與性質，求出函數(shù)的最值，最后再返回到含參不等式中，正確地求解含參不等式的范圍。

例2 對于滿足0 ≤p ≤4 的一切實數(shù)，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，試求x 的取值范圍。

分析：欲求x 的取值范圍，在滿足定義域的情況下，學生就可以將字母p作為自變量，x作為參數(shù)，利用“變更主元”的方法構造出函數(shù)，將含參不等式問題轉化成函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質正確地求解。

解：根據(jù)題意，由x2+px＞4x+p-3 可得，p（x-1）+x2-4x＞0，令f（p）p（x-1）+x2-4x+3，p ∈[0,4]。此時f（p）為一次函數(shù)，若f（p）＞0 在p ∈[0,4]上恒成立，那么只要f（0）＞0，f（4）＞0，綜合以上所述，x 的取值范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）。

評注：此題學生要注意的就是在變更主元構造函數(shù)的過程中，主元不要過于復雜，要已知主元的定義域，不然學生構造的主元就沒有意義了。

三、構造函數(shù)——還原導數(shù)

導數(shù)、函數(shù)以及含參不等式這三者之間存在密切的聯(lián)系，學生在求解含參不等式的過程中，導數(shù)還原也不失為一種方法，其操作過程就是還原導數(shù)，然后構造出函數(shù)，再利用函數(shù)的性質求解。

例3 設函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x ∈R）的導函數(shù)，f（-1）=0。當x＞0 時，f'（x）-f（x）＜0，試求使得f（x）＞0 成立的x 的取值范圍。

分析：根據(jù)題意，學生可以知道f'（x）是f（x）的導函數(shù)，那么在已知條件的基礎上，當x＞0 時，f'（x）-f（x）＜0，學生可以聯(lián)想到的導函數(shù)為，然后構造出函數(shù)，正確求解。

評注：學生在求解的過程中，如果看到題中有導函數(shù)，就可以思考是否有和某個函數(shù)的導函數(shù)相似的地方，這或許就是解題的關鍵所在。因此，學生在解題的過程要足夠細心，不遺漏一個條件，方能找到切入點打開思維。

總之，構造函數(shù)的方法是解決含參不等式問題的一大法寶。不等式問題與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，就像方程與函數(shù)的聯(lián)系一樣，學生要想掌握構造函數(shù)的這幾種方法，就需要不斷地練習，找尋到問題的關鍵所在，才能解決根本的問題，才能突破自己，收獲事半功倍的效果。