數(shù)列，就是一場(chǎng)數(shù)數(shù)的游戲盛宴
——基于課堂教學(xué)實(shí)踐的《數(shù)列的概念》第一課時(shí)的教學(xué)反思

浙江省義烏市第四中學(xué) 方 婷

《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示》是人教版高中數(shù)學(xué)必修5 的第二章第一節(jié)的內(nèi)容，是一節(jié)典型的概念課。這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的概念，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，會(huì)根據(jù)前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，而在這個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)了函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。因?yàn)閿?shù)列這個(gè)章節(jié)的知識(shí)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的匯合點(diǎn)，又有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，還可進(jìn)行不少綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維綜合訓(xùn)練，所以是一個(gè)很重要的內(nèi)容。又因?yàn)閿?shù)列本身的特性，如果能好好把握這節(jié)概念課的教學(xué)，可以讓學(xué)生非常具象地體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有趣性和實(shí)用性，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信信心。所以筆者上課以后又閱覽了一些論文，結(jié)合課堂教學(xué)過(guò)程中的學(xué)生反饋，利用信息技術(shù)對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了再設(shè)計(jì)。

一、課堂實(shí)錄

1．引入部分

原課情境1：作為一個(gè)天文學(xué)家需要有哪些必備的工具？望遠(yuǎn)鏡、天文地理知識(shí)，還有數(shù)學(xué)知識(shí)。（PPT 顯示表格，并作簡(jiǎn)單解釋?zhuān)?/p>

水星 金星 地球 火星 木星 土星觀測(cè)值 0.387 0.723 1 1.52 5.203 9.839

按照這個(gè)規(guī)律，火星和木星之間存在一個(gè)空缺，于是推測(cè)這個(gè)地方應(yīng)該還有一個(gè)行星。但是對(duì)于這個(gè)規(guī)律的懷疑還是存在的，直到1800 年1 月1 日，意大利天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了谷神星，距離為2.77。

原課情境2：形數(shù)理論。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形數(shù)和正方形數(shù)（PPT 顯示），讓學(xué)生數(shù)出相對(duì)應(yīng)的小石子的個(gè)數(shù)，并且預(yù)測(cè)接下去的兩個(gè)圖形和石子數(shù)，然后順勢(shì)歸納第n 堆的石子數(shù)的個(gè)數(shù)。

教師總結(jié)：對(duì)于數(shù)字分布規(guī)律的研究是有必要的，為了方便表述，我們給研究對(duì)象（一列一列的數(shù)字起個(gè)名字），這一列數(shù)……

2．新課概念

先讓學(xué)生根據(jù)老師的總結(jié)提示語(yǔ)歸納出數(shù)列的概念（按照一定順序排列的一列數(shù)），然后老師介紹“項(xiàng)”“首項(xiàng)”“第n 項(xiàng)”的概念及其符號(hào)表示和數(shù)列的一般形式。PPT 顯示思考題與例1，讓學(xué)生回答。

師：數(shù)列的分類(lèi)按項(xiàng)數(shù)分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)之間的大小關(guān)系分遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列等，把上述數(shù)列分類(lèi)并猜測(cè)這些數(shù)列的第n 項(xiàng)。

師：如果數(shù)列｛an｝的第n 項(xiàng)與序號(hào)n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式（表達(dá)式）來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。試寫(xiě)出例1 中的通項(xiàng)公式。（點(diǎn)出并不是所有的數(shù)列都是有規(guī)律的和通項(xiàng)公式的）

練習(xí)：觀察下列數(shù)列，寫(xiě)出它們的通項(xiàng)公式：（1）3，5，7，9，11……；（2）7，3，-1，-5，-9；（3）0，0，0，0，0，0……；（4）2，-2，2，-2，……

例1 （1）某數(shù)列的前幾項(xiàng)為2，5，8，11，……，則32 是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）根據(jù)下列通項(xiàng)公式，求各數(shù)列的前4 項(xiàng)：，an=cos（nπ）。

師：同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式未必唯一，也可能不存在。

練習(xí)：黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：

（1）第4 個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是 ______；

（2）第n 個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是 ______。

3．提升貫通

利用PPT 復(fù)習(xí)函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列的函數(shù)特性。同時(shí)對(duì)比函數(shù)的3 種表示法，體會(huì)數(shù)列的表示法，理解其在圖像上是離散的點(diǎn)。

例2 已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是，試判斷0.1，是不是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，分別是第幾項(xiàng)？

4．小結(jié)鞏固

師：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、表示、通項(xiàng)公式和函數(shù)性。

二、教學(xué)反思之再修改

這節(jié)課上，學(xué)生的參與度和積極性對(duì)比其他知識(shí)點(diǎn)高了很多，作業(yè)完成的正確率和效率都很高。基于這樣的反應(yīng)，讓我覺(jué)得這節(jié)課還可以在“玩”上面再增加比重，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)是好玩的、實(shí)用的。要對(duì)效率提出更高要求——幸運(yùn)的是，我們學(xué)校普及了平板教學(xué)。

修改1：對(duì)于“原課情境1”的最后，其實(shí)還有兩個(gè)故事點(diǎn)。（可以百度）一個(gè)是發(fā)現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)（高斯為此推出了數(shù)學(xué)公式），另一個(gè)就是數(shù)學(xué)應(yīng)用與發(fā)現(xiàn)（奧伯斯再次找到了谷神星）。這樣的故事有跌宕轉(zhuǎn)折，也有深意，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的神奇。

但是這個(gè)故事講長(zhǎng)了，在課堂上容易控制不住時(shí)間，所以不如做成4 分鐘的微課，在上課之前（也可以周末）直接發(fā)送給學(xué)生觀看。保留關(guān)鍵PPT 內(nèi)容，方便抄出相關(guān)數(shù)據(jù)為后續(xù)數(shù)列的定義引入做好鋪墊。

修改2：在“原課情境2”之前，再做一個(gè)游戲：11 個(gè)同學(xué)圍成一個(gè)圈，定好每個(gè)人的順序，從2 號(hào)同學(xué)開(kāi)始重復(fù)報(bào)數(shù)，報(bào)到3 的同學(xué)退出圈子回座位，最后剩下的兩位同學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)接下來(lái)1 個(gè)月衛(wèi)生值日全部跳過(guò)。

與切身利益相關(guān)，學(xué)生一定會(huì)很興奮，這時(shí)可以提一句海格西普斯的著作里猶太人約瑟夫憑借這樣的巧思而挽救了自己的性命，同時(shí)把這個(gè)數(shù)列抄出在黑板上。

這個(gè)游戲預(yù)計(jì)需要7 分鐘（組織，解釋規(guī)則，玩起來(lái)），但是這個(gè)游戲可能有持續(xù)的影響，學(xué)生可能沉浸其中不能自拔，建議這時(shí)在下課結(jié)束前再作為一個(gè)思考題，比如有沒(méi)有某個(gè)數(shù)一定可以逃避值日，或者滿(mǎn)足什么樣的條件一定可以逃避值日，讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)字游戲的有趣，同時(shí)繼續(xù)“原課情境2”的內(nèi)容。

修改3：在新課概念部分的中間，關(guān)于通項(xiàng)公式的練習(xí)有點(diǎn)拖沓，例3 之前的練習(xí)可以省略幾個(gè)。

修改4：在提升貫通部分，復(fù)習(xí)函數(shù)定義后，讓學(xué)生平面直角坐標(biāo)系中找出例1 后的練習(xí)（2）中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中橫坐標(biāo)表示項(xiàng)數(shù)，縱坐標(biāo)表示第幾項(xiàng)的值（如圖），引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列是特殊的函數(shù)。利用函數(shù)的三要素來(lái)分析數(shù)列，同時(shí)還可以利用函數(shù)圖像的性質(zhì)推斷數(shù)列的走勢(shì)，這樣更具直觀性。

修改5：在最后還可以給出數(shù)學(xué)史中一些古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如萊因紙草書(shū)上7 人7 屋7 鼠7 貓的問(wèn)題；斐波那契數(shù)列；古印度發(fā)明國(guó)際象棋的故事；九連環(huán)的拆解步驟：《周髀算經(jīng)》中的“七衡圖”：《九章算術(shù)》中衰分章、均輸章之類(lèi)的題目，例如盈不足術(shù)；又或《張丘建算經(jīng)》卷上第 22 題等。這些分別制作成幾個(gè)小視頻和文檔，發(fā)送給學(xué)生拓展，并為了后面要學(xué)到的等差、等比數(shù)列做鋪墊。

本節(jié)課是一個(gè)概念課，應(yīng)該讓它慢下來(lái)、“肥”起來(lái)、讓數(shù)學(xué)文化深入其中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)到數(shù)學(xué)是有用的有趣的，從而更加努力地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。