數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“因材施教”之我見

朱希萍（特級教師）

復(fù)習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型。復(fù)習(xí)課不像新授課和練習(xí)課那樣有現(xiàn)成的教材作抓手，需要教師自己選擇復(fù)習(xí)素材與選用復(fù)習(xí)方法。

一、認(rèn)真研讀教材，理清知識類型

復(fù)習(xí)課要針對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中某一子系統(tǒng)，在一節(jié)課內(nèi)以回憶、整理、歸納、訓(xùn)練等方式再次組織學(xué)生學(xué)習(xí)。由于復(fù)習(xí)課所涉及的知識多、內(nèi)容雜，所以教師要對復(fù)習(xí)內(nèi)容有較系統(tǒng)整體的認(rèn)識，知道這些知識的來龍去脈，把握知識的邏輯結(jié)構(gòu)。對復(fù)雜的知識能有一個清晰、簡潔的歸納，理清每一類知識的結(jié)構(gòu)特征，理清每一塊知識類型，這樣才能有針對性地開展復(fù)習(xí)設(shè)計。根據(jù)人教版教材中復(fù)習(xí)課的知識類型進行簡單羅列，大概可以分成如下幾種類型。

1.并列散落型的知識。

這類復(fù)習(xí)課的內(nèi)容一般是知識點與知識點之間相對獨立，各部分內(nèi)容組成了知識整體。

例如四年級上冊《大數(shù)的認(rèn)識復(fù)習(xí)》這部分知識包括數(shù)位順序表、多位數(shù)的讀法、多位數(shù)的寫法、大小比較、十進制計數(shù)法、億以上數(shù)的認(rèn)識、改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)及省略“億”或“萬”后面的尾數(shù)。這些內(nèi)容以十進制思想為基礎(chǔ)。

又如《分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)》中求一個數(shù)的幾分之幾是多少？已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾？這些知識以基本的數(shù)量關(guān)系為根。

再如《圖形與變換復(fù)習(xí)》的知識有平移、旋轉(zhuǎn)、放大、縮小、軸對稱等，這些圖形的運動特點是每一種變換都有各自的運動特征，但變換后又能找到相同之處。

以上的這些知識，既有各自的特點，又有相同聯(lián)系之處。這樣的知識便于學(xué)生建立起面狀的知識結(jié)構(gòu)。

2.直線遞進型的知識。

這類知識的特點是后一塊知識以前一塊為基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上生長遞進成了新的知識。

例如《式與方程》這一復(fù)習(xí)課所涉及到的知識從“什么叫方程→怎樣解方程→怎樣用方程解決問題？”這一主線展開學(xué)習(xí)。

又如《平面圖形的面積計算》中的長方形面積計算、平行四邊形面積計算、三角形面積計算、梯形面積計算、多邊形面積計算等這些知識是不斷遞進展開學(xué)習(xí)的。

以上的這些知識，前后知識之間具有遞進性或傳遞性，后續(xù)的學(xué)習(xí)是舊知的發(fā)展，新知又是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。這樣的知識便于學(xué)生形成線條型的知識結(jié)構(gòu)。

3.交叉纏繞型的知識。

這類知識的概念之間有一些聯(lián)系，但又不能將這些概念以一個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，其間有相似處又有不同處。

如《數(shù)的整除》這一復(fù)習(xí)課的概念較多，整除、除盡、約數(shù)、倍數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、質(zhì)因數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。這些概念與概念之間有聯(lián)系，但又不能以一個標(biāo)準(zhǔn)分得很清楚。

又如《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》：

這些知識中間有著交叉聯(lián)系，但是不能以一個維度或幾個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，這樣的知識便于學(xué)生建立網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)。

二、根據(jù)知識類型，采用相應(yīng)的梳理形式

有效的復(fù)習(xí)應(yīng)該根據(jù)不同的知識類型選取不同的梳理形式，使復(fù)習(xí)更有針對性、實效性。

1.并列散落型的知識提供表格式的梳理形式。

在梳理并列散落型的知識時，既要理出各自特點，又要理出它們的共性。表格式和題組式是比較好的形式。

（1）表格式。

表格有利于梳理出個性與共性。在制定行標(biāo)題、列標(biāo)題時要以一定的維度分類清楚。例如梳理《圖形與變換》時，可以利用表格梳貍。

（2）題組式。

所謂題組訓(xùn)練，是指圍繞一組并列或遞進式的知識點，精選一組有代表性、系統(tǒng)性、涵蓋性的問題（習(xí)題），將知識、方法、技能融入其中，讓學(xué)生在解題的過程中去感知題組內(nèi)在的知識與方法的關(guān)系，提高技能，提升解決問題的能力和發(fā)展學(xué)生的思維。在復(fù)習(xí)《百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》時，可以呈現(xiàn)以下題組：

題組A：

①李村種高粱160 公頃，種玉米的面積是高粱的62.5%，種玉米多少公頃？

②李村種高粱160 公頃，種棉花的面積比高粱多10%，種棉花多少公頃？

③李村種高粱160 公頃，種大麥的面積比高粱少20%，種大麥多少公頃？

學(xué)生列式：160×62.5%、160×（1+10%）、160×（1－20%），然后組織比較。

題組B：

①一個水泥廠第一季度生產(chǎn)水泥1800 噸，剛好是第二季度生產(chǎn)數(shù)量的80%，第二季度生產(chǎn)水泥多少噸？

②一個水泥廠第一季度生產(chǎn)水泥1800 噸，比第三季度少生產(chǎn)20%，第三季度生產(chǎn)水泥多少噸？

③一個水泥廠第一季度生產(chǎn)水泥1800 噸，比第四季度多生產(chǎn)20%，第四季度生產(chǎn)水泥多少噸？

學(xué)生列式：1800÷80%、1800÷（1－20%）、1800÷（1+20%），然后組織比較。

以上兩組題雖然很普通，但是通過這兩組練習(xí)，學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的乘除法應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和解題方法會有一個整體的認(rèn)識，起到了較好的梳理效果。

復(fù)習(xí)課教學(xué)中力求體現(xiàn)題組的功能，讓學(xué)生進行獨立練習(xí)、小組交流、集體評價，學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)和說理，達到自主復(fù)習(xí)的效果。

2.直線遞進型的知識采用遞進性材料加問題跟進的梳理形式。

直線遞進型的知識適合順應(yīng)知識的發(fā)展過程，可以設(shè)計連串的背景素材，在整體的框架下逐步加深推進復(fù)習(xí)。

例如《式與方程》，教材把用字母表示數(shù)、解方程和用方程解決問題這三部分知識是分塊編排的?，F(xiàn)在融合在一節(jié)課中，教師要力求通過讓學(xué)生真正理解含有字母的式子表示數(shù)，到實際應(yīng)用中含有字母的式子表示具體數(shù)量的含義，到復(fù)習(xí)方程與解方程，再到復(fù)習(xí)用方程解決問題，并以此構(gòu)成一個整體，設(shè)計連貫的背景素材，使學(xué)生在自主梳理、練習(xí)中達到更佳的復(fù)習(xí)效果。具體復(fù)習(xí)如下：

第一步先復(fù)習(xí)用字母表示數(shù)。

教師提出：如果用一個字母“x”表示一個數(shù)，你能想象一下這個字母“x”可以表示什么數(shù)呢？緊接著教師隨手寫下“4x”，并提出：4x 與x 有什么關(guān)系呢？“2x＋4”、“x÷2－4”又與x 有什么關(guān)系呢？

下面一個數(shù)用字母a 來表示，你能根據(jù)不同關(guān)系的表述分別寫出另一個數(shù)嗎？（教師再呈現(xiàn)下面的練習(xí)）

學(xué)生在橫線上表示后，教師特意提出：2a 與a2有什么區(qū)別？

這一組材料讓學(xué)生深刻體會到含有字母的式子表示數(shù)，直到實際應(yīng)用中含有字母的式子表示具體數(shù)量的含義。

第二步接著復(fù)習(xí)方程與解方程。

教師指著板書中的“4x”、“2x＋4”、“x÷2－4”提出：這三個式子分別表示著另一個數(shù)，如果另一個數(shù)都是“60”，那么這些式子就都等于多少呢？

就有“4x＝60”、“2x＋4＝60”、“x÷2－4＝60”。從而復(fù)習(xí)方程，教師隨機呈現(xiàn)方程的含義，并組織學(xué)生去質(zhì)疑什么叫方程。

接著教師針對以上自然形成的三個方程，讓學(xué)生做解方程的練習(xí)，復(fù)習(xí)解方程并總結(jié)注意點。

第三步復(fù)習(xí)用方程解決問題。

“2x＋4＝60”、“x÷2－4＝60”它們可能用于解決哪些問題呢？

請你給這兩個問題補上相應(yīng)的條件和問題。這樣以果索因來復(fù)習(xí)用方程解決問題。

在以上遞進性的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，我們準(zhǔn)確地分析知識的內(nèi)在聯(lián)系，抓住學(xué)生的薄弱點，把握知識的整體性，設(shè)計了連貫的訓(xùn)練素材，使學(xué)生在不斷推進的教學(xué)中自主梳理，在練習(xí)中達到有效的復(fù)習(xí)效果。

3.交叉纏繞型的知識采用知識樹或思維網(wǎng)的梳理形式。

（1）在知識的鏈接處理成知識樹。

在知識的鏈接處展開聯(lián)想舉例的方式進行復(fù)習(xí)。聯(lián)想舉例能更好地幫助學(xué)生縱橫聯(lián)系知識，有利于暴露學(xué)生存在的問題，有利于學(xué)生掌握復(fù)習(xí)方法。例如《數(shù)的整除》這一復(fù)習(xí)課的概念較多，對于每一個概念，學(xué)生雖然能夠舉出一些具體的例子，但要具體表述各知識點的意義，則往往感到比較困難。采用聯(lián)想舉例的復(fù)習(xí)形式先指導(dǎo)學(xué)生怎樣去舉例聯(lián)想，再放手讓學(xué)生自己去找聯(lián)系點。

梳理如下：

第一步，揭示復(fù)習(xí)課題，回憶羅列知識。

師：今天我們要復(fù)習(xí)“數(shù)的整除”，請大家翻開課本的目錄，看一看這部分內(nèi)容都有哪些知識？

（根據(jù)學(xué)生的回答，教師適當(dāng)做一些引發(fā)和補充后，板書如下：整除、約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、質(zhì)因數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)、除盡）

第二步，選擇某一知識，展開舉例聯(lián)想。

師：這些知識點是有聯(lián)系的，我們可以從一個知識點舉一個或一些例子來回憶它的意義，并去聯(lián)想它與其他的知識點有什么聯(lián)系。例如我們隨意選一個“倍數(shù)”來聯(lián)想，如12 是誰的倍數(shù)？

生1：12 是1、2、3、4、6、12 的倍數(shù)。

師：為什么？

生2：因為12 分別能被1、2、3、4、6、12 整除。

師：你們已從倍數(shù)想到了整除。

師：從整除和倍數(shù)還可以想到什么呢？

生3：我想到了約數(shù)，如上面的1、2、3、4、6、12又是12 的約數(shù)。我是從整除想到的。

師：從整除、倍數(shù)、約數(shù)還可以想到什么呢？

生4：我從約數(shù)想到了公約數(shù)、最大公約數(shù)。

師：你能舉例說明嗎？

第三步，組織反饋交流，形成整體聯(lián)系。

師：我們繼續(xù)舉例聯(lián)想，就可以把這里的所有知識點都聯(lián)系起來。

接著教師讓學(xué)生分組合作，選擇一個知識點舉例聯(lián)想，并模仿老師的板書連一連它們的關(guān)系。

學(xué)生合作探究整理后，教師抓住學(xué)生幾種比較典型的整理方法做如下反饋：

組1：

組2：

然后教師有意識地突出其中一組整理的材料，繼續(xù)引發(fā)學(xué)生舉例聯(lián)想，盡可能把這些知識點聯(lián)系起來，并圍繞知識點引發(fā)學(xué)生舉出更多的例子。

以上案例中，學(xué)生邊聯(lián)想邊舉例，并借助于具體例子對知識點進行了整理。在整理過程中學(xué)生學(xué)會了“聯(lián)想舉例”的復(fù)習(xí)方法。他們針對自己所提供的復(fù)習(xí)材料進行觀察比較、質(zhì)疑或拓展，從中感受到自己是復(fù)習(xí)的主人，調(diào)動了復(fù)習(xí)的積極性。

（2）在思維的生長處結(jié)成思維網(wǎng)。

在復(fù)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)同一變化方式在不同對象上具有相同的思考形式與解決問題的路徑，從而在變中發(fā)現(xiàn)不變的思想，讓方法融會貫通。

例如，一個圓柱體，高是6 厘米，沿著這個圓柱體的高平均切成兩半，這時表面積就增加48 平方厘米。原來圓柱的體積是多少立方厘米？

如果是圓錐體呢？

如果是長方體呢？（假如底面是正方形）

有一個高是6 厘米的圓柱形零件，如果這個圓柱的高增加2 厘米，那么圓柱的表面積就增加了12.56 平方厘米。這個零件的體積是多少？

這四道題都是通過先求截面再求底面積然后求體積。盡管條件變了，但解決問題的思路沒變，這樣在變中抓住不變，觸類旁通，有利于拓展學(xué)生的空間想象力，提高解決問題的能力。

總之，如果我們能根據(jù)不同的知識設(shè)計不同的梳理形式，就會讓復(fù)習(xí)課的設(shè)計更具有針對性和有效性，從而提升復(fù)習(xí)效率。