自旋為1的玻色-愛因斯坦凝聚體中的鐵磁核渦旋

鄭公平,李婷,李頻,薛雅杰

(河南師范大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

0 引言

最近,英國的一個研究組實現(xiàn)了光學(xué)箱勢阱,用來研究均勻凝聚體的性質(zhì)[1-3]。與早期實驗中經(jīng)常采用的諧振子勢阱相比,光學(xué)箱勢阱更適合用來研究旋量凝聚體[4-7]的性質(zhì)。這是因為在已經(jīng)實現(xiàn)的旋量凝聚體中,排斥的密度相互作用遠(yuǎn)大于自旋相互作用,因此對于光學(xué)箱勢阱中的旋量凝聚體,排斥的密度相互作用將增強(qiáng)總的數(shù)密度的均勻性,而原子在各個自旋態(tài)上的分布將完全由自旋相互作用支配。

標(biāo)量凝聚體中原子間只存在一種相互作用,即密度相互作用,因此只存在一種類型的渦旋,即粒子數(shù)密度渦旋,在渦旋的核心處沒有原子。旋量凝聚體中原子間存在多種相互作用,因此存在多種奇異的自旋渦旋。在旋量凝聚體中,渦旋的核心處也一定存在原子[8-9],這是因為在旋量凝聚體中,排斥的密度相互作用遠(yuǎn)大于自旋相互作用,為了減小密度相互作用能量,一種組分的渦旋核心處必定有其他組分的原子填充。自旋為1的鐵磁性凝聚體中的鐵磁核渦旋[10]就是這樣,其核心僅由mF=-1的原子填充。文獻(xiàn)[10]根據(jù)序參量空間的拓?fù)湫再|(zhì)預(yù)言了鐵磁核渦旋的存在。

本文中,我們采用變分法研究了自旋為1的準(zhǔn)二維鐵磁性凝聚體在有限尺寸的光學(xué)箱勢阱中的鐵磁核自旋渦旋,得到了基態(tài)下粒子數(shù)密度和自旋密度的精確分布,解釋了其中出現(xiàn)的極化環(huán)。

1 模型

考慮自旋為1的凝聚體被囚禁在沿z方向上有諧振子勢,另外兩個方向均勻的混合勢阱中[11]。在沿z方向上的強(qiáng)囚禁極限下,系統(tǒng)可以約化為準(zhǔn)二維系統(tǒng):

(1)

其中r0是二維均勻勢阱的半徑。系統(tǒng)的平均場能量為[6-7,12]:

(2)

其中M是原子質(zhì)量,n是原子數(shù)密度,η是自旋序參量,F是自旋角動量算符對應(yīng)的3×3矩陣,是約化后的梯度算符。將z方向上的諧振子基態(tài)波函數(shù)積分掉后的密度和自旋相互作用常數(shù)分別為?2(a0+2a2/(3Mlz),c1=8π?2a2-a0/(3mlz),其中l(wèi)z表示在z方向上基態(tài)波函數(shù)的特征長度[13],a0和a2分別是在兩個碰撞原子總自旋為0和2的對稱通道中的散射長度。

本文考慮排斥的密度相互作用,即c0>0,這有利于凝聚體的穩(wěn)定和粒子數(shù)密度的均勻。q是二次塞曼能量參數(shù)。因為二次塞曼能量密度εZeeman=qn(1-|η0|2),所以對于負(fù)的q值,mF=0上的原子數(shù)將被壓制。當(dāng)|q|大于某臨界值qc時,mF=0上的原子數(shù)幾乎為零,所有的自旋被限制在z軸上,系統(tǒng)處于易軸相[12]。對于自旋為1的凝聚體,鐵磁核渦旋在原子自旋相互作用是鐵磁性(例如87Rb),即c1<0且系統(tǒng)處于易軸相的情況下存在。

2 變分波函數(shù)

一般的自旋為1的鐵磁性凝聚體的旋量波函數(shù)η為[6-7]:

(3)

(4)

因此,我們?yōu)殍F磁核渦旋引入如下變分波函數(shù):

(5)

其中變分參數(shù)f、g、h是無量綱的。η是歸一化的旋量波函數(shù),因此,變分參數(shù)有限制條件|f|2+|g|2+|h|2=1.

(6)

(7)

(8)

(9)

其中省略了無量綱變量的上標(biāo)′。

Fig.1 (color online) Spatial distributions of local spin density magnitude F for various parameterc1.The quadratic Zeeman energy parameter q is taken to be -200.圖1 各種參數(shù)值c1下局域自旋密度大小F的空間分布,二次塞曼能量參數(shù)q=-200.

3 鐵磁核渦旋的基態(tài)

為了得到基態(tài)位形,可以采用Crank-Nicolson算法數(shù)值求解相應(yīng)的虛時(τ=it)演化方程[15],收斂的解將給出鐵磁核渦旋的基態(tài)。只有當(dāng)二次塞曼能量參數(shù)q是負(fù)的且|q|大于某臨界值qc,系統(tǒng)處于易軸相時,才存在鐵磁核渦旋。在數(shù)值模擬中,我們發(fā)現(xiàn)qc≈2|c1|.因為我們在數(shù)值模擬中取的|c1|≤100,即qc=200為保證系統(tǒng)處于易軸相,下面我們?nèi)=-200.

首先,我們在圖1中給出了各種參數(shù)值c1下局域自旋密度大小F≡|〈η?|F|η〉|的空間分布。由圖1可以看出,在這些自旋曲線上出現(xiàn)了極化環(huán),即F=0.隨著參數(shù)|c1|的增大,極化環(huán)的半徑將減小。由于參數(shù)|c1|不僅與裸的自旋相互作用有關(guān),還和勢阱的半徑r0有關(guān),因此,我們得到的鐵磁核自旋渦旋可以由光學(xué)箱勢阱的尺寸來調(diào)節(jié)。

鐵磁核自旋渦旋中出現(xiàn)極化環(huán)的原因在圖2中看得很清楚,其中我們給出了各種參數(shù)c1下縱向局域自旋密度Fz≡〈η?|F|η〉的空間分布。當(dāng)二次塞曼能量參數(shù)|q|大于臨界值qc時,系統(tǒng)處于易軸相,橫向局域自旋密度Fxy≡〈η?|Fxy|η〉幾乎為零,因此有F≈|Fz|.對于鐵磁核自旋渦旋有Fz(r→0)=-1且Fz(r→r0)=1,Fz的自旋曲線一定會和Fz=0相交,因此在圖1中一定會出現(xiàn)極化環(huán)。

Fig.2 (color online) Spatial distributions of longitudinal local spin densityFzfor various parameterc1.The other parameters are the same with those in Fig. 1.圖2 各種參數(shù)值c1下縱向局域自旋密度Fz的空間分布(其它參數(shù)值與圖1的相同)

Fig.3 (color online) Atom number density distributions for all the components.Panels (a-d) correspond to the parameterc1=-1,-10,-50,-100, respectively.(The other parameters are the same with those in Fig.1).圖3 各個組分上原子數(shù)密度的空間分布,a-d部分分別對應(yīng)參數(shù)c1=-1,-10,-50,-100(其他參數(shù)值與圖1的相同)

在圖3中,我們給出了各種參數(shù)c1下各個組分上原子數(shù)密度的空間分布。可以看出,mF=0的原子數(shù)確實為零,自旋為1的凝聚體變?yōu)殡p組分系統(tǒng),mF=1的原子圍繞著中心處mF=-1的原子流動。對于較大的|c1|,自旋愈合長度變小,相應(yīng)的渦旋核區(qū)域變小,mF=-1的原子在中心更加集中。因為極化環(huán)出現(xiàn)在mF=±1兩組分原子數(shù)密度曲線的交叉點處,因此極化環(huán)的半徑變小。

4 實驗建議

光學(xué)箱勢阱中自旋為1的鐵磁性凝聚體提供了實現(xiàn)鐵磁核渦旋的一個易于控制的系統(tǒng)。首先,在沿z方向上有強(qiáng)的諧振子勢囚禁,另外兩個方向均勻的混合勢阱中[11]準(zhǔn)備好自旋為1的87Rb凝聚體;然后沿z方向絕熱地施加一勻強(qiáng)磁場以減少mF=1的原子,直至二次塞曼能量參數(shù)大于臨界值qc;最后,采用以前實驗中的方法(例如動力學(xué)相刻印方法[16]),在mF=1的原子中產(chǎn)生渦旋,mF=-1的原子將不得不填充到中心以保持粒子數(shù)密度的均勻性。這樣,在中間區(qū)域具有極化環(huán)的鐵磁核渦旋就有可能實現(xiàn)。

5 結(jié)論

本文從理論上模擬了柱狀光學(xué)箱勢阱中準(zhǔn)二維的均勻鐵磁性凝聚體的鐵磁核自旋渦旋,得到了基態(tài)下局域自旋的精確空間分布,并給出了一個實驗建議。另外,我們得到的鐵磁核自旋渦旋可以容易地由勢阱的半徑r0控制。