劈裂步量子行走的平均手征位移和拓?fù)湎?/h1>
2019-05-31 01:54:02孫曉宇李志堅(jiān)
孫曉宇,李志堅(jiān)
(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)
0 引言
量子行走描述了一個粒子在分立的格點(diǎn)空間從初始態(tài)以一定的概率幅向相鄰格點(diǎn)運(yùn)動的動力學(xué)過程,它具有分離時間量子行走[1]和連續(xù)時間量子行走[2]兩種形式,前者的傳播方向由粒子的硬幣態(tài)決定,后者則由不含時的哈密頓量描述。作為經(jīng)典隨機(jī)行走在量子力學(xué)上的推廣,從一個格點(diǎn)開始演化的量子行走的概率分布不同于經(jīng)典隨機(jī)行走擴(kuò)散而成的高斯分布,量子行走的位置標(biāo)準(zhǔn)偏差正比于時間,表現(xiàn)出彈道傳輸行為。因此,與經(jīng)典隨機(jī)行走相比,量子行走表現(xiàn)出許多不同且具有優(yōu)勢的動力學(xué)性質(zhì),例如,人們已經(jīng)證明量子行走可以被用來實(shí)現(xiàn)量子搜索算法[3],可以作為量子信息理論中的通用計(jì)算原胞[4-5]等等。實(shí)驗(yàn)方面,在許多不同的物理系統(tǒng)中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了量子行走,例如光學(xué)晶格中的超冷原子[6]、囚禁離子[7-8]、核磁共振[9]以及光子系統(tǒng)[10-11]等都可以實(shí)現(xiàn)量子行走。這些實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為利用量子行走模擬強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體量子系統(tǒng)提供了很好的平臺[12]。
近年來,物理系統(tǒng)的拓?fù)湎嗉捌湎嚓P(guān)性質(zhì)引起了人們的廣泛研究[13],除了拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體少數(shù)天然材料外,在人工合成系統(tǒng)中也可實(shí)現(xiàn)類似的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[10,14-17],其中利用分離時間量子行走實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嘁鹆巳藗兊臉O大興趣。一般定義的分離時間量子行走只具有一種非平庸的拓?fù)湎?而劈裂步量子行走表現(xiàn)出更豐富的拓?fù)湎嘟Y(jié)構(gòu),通過調(diào)節(jié)外部參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)平庸與非平庸拓?fù)湎嘀g的轉(zhuǎn)變[17]。在劈裂步量子行走中,由于能量的周期性,通過選取不同的演化開始時間,系統(tǒng)的拓?fù)湎嗫梢杂贸蓪Φ耐負(fù)洳蛔兞縼肀碚?從而確定不同拓?fù)湎嗟南噙吔缣幠芰繛?和π的束縛態(tài)的數(shù)目。量子行走系統(tǒng)會受到外界的干擾[18-19],然而在具有手征對稱性的量子行走系統(tǒng)中,當(dāng)引入不破壞手征對稱性的微擾時,系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)具有魯棒性[20]。本文推廣劈裂步量子行走模型,通過Zak相公式證明了平均手征位移可以用來描述系統(tǒng)的拓?fù)湎?進(jìn)而得到劈裂步量子行走的拓?fù)湎鄨D,并討論了當(dāng)微擾存在時平均手征位移的魯棒性。
1 劈裂步量子行走
一般定義的分離時間量子行走的一步演化由硬幣算符Rθ和條件平移算符S相繼作用于其量子態(tài)得到,即
|ψ(t)〉=U(θ)|ψ(t-1)〉,
(1)
U(θ)=S(ΙP?Rθ),
(2)
其中ΙP表示位置空間HP的單位算符,Rθ是硬幣空間HC中的硬幣算符,這里我們以硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)為硬幣操作,選取
(3)
條件平移算符S的定義為
〈x|?|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|?|↓〉〈↓|).
(4)
分離時間量子行走的態(tài)矢量|ψ(t)〉所處的希爾伯特空間是由位置希爾伯特空間HP和硬幣希爾伯特空間HC構(gòu)成的直積空間,條件平移算符S表明,系統(tǒng)的硬幣態(tài)決定量子行走移動的方向,如果硬幣態(tài)為|↑〉,位于格點(diǎn)x處的粒子向右平移一步到格點(diǎn)x+1,如果硬幣態(tài)為|↓〉,則位于格點(diǎn)x處的粒子向左平移一步到格點(diǎn)x-1。
一般定義的劈裂步量子行走就是將(4)式定義的一步條件平移算符分為只有硬幣態(tài)為|↑〉的粒子向右平移的算符T+和只有硬幣態(tài)為|↓〉的粒子向左平移的算符T-兩次操作,并在二者之間再應(yīng)用一次硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)操作方程(3),也就是一般定義的劈裂步量子行走的時間演化算符形式為
U(θ1,θ2)=T-(ΙP?Rθ1)T+(ΙP?Rθ2),
(5)
(6)
方程(5)和方程(6)比較,唯一的差別是在前者定義的量子行走中,每演化一步粒子移動到相鄰格點(diǎn),而在后者定義的量子行走中,每演化一步粒子移動到次近鄰格點(diǎn),但容易證明方程(6)實(shí)際上可以改寫為
(7)
也就是(6)式定義的劈裂步量子行走可等價(jià)于由(2)式定義的分離時間量子行走時間演化算符U(θ2)和U(θ1)的連續(xù)兩次操作。
2 劈裂步量子行走的平均手征位移
分離時間量子行走可以看作有效哈密頓量的閃頻模擬器,其演化算符可以用有效哈密頓量Heff作為生成元構(gòu)造,也就是有
(8)
(9)
相應(yīng)地,有效哈密頓量在動量k空間表示為
(10)
其中
(11)
是布洛赫球上的單位矢量,表示系統(tǒng)在硬幣空間的本征態(tài)的極化方向;σ0是二維單位矩陣,σ=(σx,σy,σz)是泡利矩陣;能量E滿足色散關(guān)系
cosE=cos(2k)cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2.
(12)
從方程(11)中容易看出,矢量AΓ={cosθ2,0,sinθ2}垂直于n(k),也就是當(dāng)動量k在布里淵區(qū)[-π,π]內(nèi)變化時,n(k)繞AΓ且在垂直于AΓ過球心的平面內(nèi)繞布洛赫球旋轉(zhuǎn)。定義手征算符
Γ=A?！う?cosθ2σx+sinθ2σz,
(13)
容易證明Γ滿足Γ=Γ+=Γ-1且Γ-1H(k)Γ=-H(k),這說明劈裂步量子行走具有手征對稱性。在具有手征對稱性的系統(tǒng)中,系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被手征對稱性所保護(hù),對于一維系統(tǒng),我們可以利用Zak相計(jì)算繞數(shù)來表征系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Zak相γ由布洛赫球上的單位矢量n(k)定義為
(14)
相應(yīng)的繞數(shù)ν為
(15)
表示當(dāng)k在布里淵區(qū)變化時,單位矢量n(k)繞AΓ旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。這樣,可以通過Zak相求解繞數(shù)得到系統(tǒng)的拓?fù)湎鄨D。
除了繞數(shù)之外,我們解析地證明也可以用平均手征位移動力學(xué)描述劈裂步量子行走的拓?fù)湎?。考慮粒子初始局域在x=0格點(diǎn),初態(tài)為|ψ0〉=|0〉?|φ0〉,其中|φ0〉為硬幣態(tài),則t時刻量子行走的平均位移為
(16)
作傅里葉變換,在動量空間中進(jìn)一步表示為
(17)
相應(yīng)地,平均手征位移C≡〈Γx(t)〉在動量空間中可表示為
(18)
上式的前一項(xiàng)與Zak相γ成正比,后一項(xiàng)是振蕩項(xiàng),在t→∞的極限下,振蕩項(xiàng)為零。由此可見平均手征位移包含Zak相,且在長時間極限下正比于Zak相。平均手征位移可以作為動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞縼砻枋鱿到y(tǒng)的拓?fù)湎?。另外值得注意的?在動量空間求平均手征位移時并不需要給出硬幣初始態(tài)的具體形式,平均手征位移與初態(tài)無關(guān)。
(19)
(20)
其中r,r′取值與方程(19)相同。由上式,類似方程(18)可以計(jì)算平均手征位移C1和C2,并重新定義
C(0)=C1+C2
C(π)=C1-C2.
(21)
這樣就可以用成對的拓?fù)洳蛔兞?C(0),C(π))來描述系統(tǒng)的拓?fù)湎嘟Y(jié)構(gòu),不同拓?fù)鋮^(qū)域C(0)的差值和C(π)的差值分別對應(yīng)不同拓?fù)湎嗟南噙吔缣幠芰繛?和π束縛態(tài)各自的數(shù)目[17]。
Fig.1 Takingand different time stepst,(a),(b) and (c)show the mean chiral displacementC1,C2and topological invariantsC2(C(0),C(π)),respectively,as functions of the coin parameterθ1.In (c), orange and green solid lines are corresponding to topological invariantsC(0) andC(π) whent=7,while the dashed lines are analogue whenttends to ∞.(d) presents the variations of energy dispersion relation for different values ofθ1andθ2圖(c)中橙色和綠色實(shí)線(虛線)分別表示演化步數(shù)t=7(t=∞)對應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞緾(0)和C(π)；圖(d)給出選取不同的θ1和θ2時，能量隨動量變化的色散關(guān)系曲線。圖1 選取和不同的時間演化步數(shù)t=7、∞，圖(a)、(b)和(c)分別給出平均手征位移C1、C2和拓?fù)洳蛔兞?C(0),C(π))隨硬幣參數(shù)θ1的變化曲線
3 平均手征位移的魯棒性
(22)
(a) is the dynamical perturbation case; (b) is the static perturbation case.Fig.2 Takingandthe dashed lines are the mean chiral displacement as functions of the time stepst.The blue and red line are corresponding toandAs a comparison, the solid lines give the ideal cases ofΔ=0. As a reference,dotted lines represent the expected result fort→∞.(a)動態(tài)微擾；(b)靜態(tài)微擾。圖2 選取和藍(lán)虛線和紅虛線分別給出當(dāng)和時，平均手征位移在微擾下隨時間 的變化曲線。藍(lán)實(shí)線和紅實(shí)線對應(yīng)Δ=0的理想情況。作為參考，圖中點(diǎn)線給出t→∞時的預(yù)期理論值。
4 結(jié)論
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1 劈裂步量子行走
一般定義的分離時間量子行走的一步演化由硬幣算符Rθ和條件平移算符S相繼作用于其量子態(tài)得到,即
|ψ(t)〉=U(θ)|ψ(t-1)〉,
(1)
U(θ)=S(ΙP?Rθ),
(2)
其中ΙP表示位置空間HP的單位算符,Rθ是硬幣空間HC中的硬幣算符,這里我們以硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)為硬幣操作,選取
(3)
條件平移算符S的定義為
〈x|?|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|?|↓〉〈↓|).
(4)
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(5)
(6)
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(7)
也就是(6)式定義的劈裂步量子行走可等價(jià)于由(2)式定義的分離時間量子行走時間演化算符U(θ2)和U(θ1)的連續(xù)兩次操作。
2 劈裂步量子行走的平均手征位移
分離時間量子行走可以看作有效哈密頓量的閃頻模擬器,其演化算符可以用有效哈密頓量Heff作為生成元構(gòu)造,也就是有
(8)
(9)
相應(yīng)地,有效哈密頓量在動量k空間表示為
(10)
其中
(11)
是布洛赫球上的單位矢量,表示系統(tǒng)在硬幣空間的本征態(tài)的極化方向;σ0是二維單位矩陣,σ=(σx,σy,σz)是泡利矩陣;能量E滿足色散關(guān)系
cosE=cos(2k)cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2.
(12)
從方程(11)中容易看出,矢量AΓ={cosθ2,0,sinθ2}垂直于n(k),也就是當(dāng)動量k在布里淵區(qū)[-π,π]內(nèi)變化時,n(k)繞AΓ且在垂直于AΓ過球心的平面內(nèi)繞布洛赫球旋轉(zhuǎn)。定義手征算符
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(13)
容易證明Γ滿足Γ=Γ+=Γ-1且Γ-1H(k)Γ=-H(k),這說明劈裂步量子行走具有手征對稱性。在具有手征對稱性的系統(tǒng)中,系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被手征對稱性所保護(hù),對于一維系統(tǒng),我們可以利用Zak相計(jì)算繞數(shù)來表征系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Zak相γ由布洛赫球上的單位矢量n(k)定義為
(14)
相應(yīng)的繞數(shù)ν為
(15)
表示當(dāng)k在布里淵區(qū)變化時,單位矢量n(k)繞AΓ旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。這樣,可以通過Zak相求解繞數(shù)得到系統(tǒng)的拓?fù)湎鄨D。
除了繞數(shù)之外,我們解析地證明也可以用平均手征位移動力學(xué)描述劈裂步量子行走的拓?fù)湎?。考慮粒子初始局域在x=0格點(diǎn),初態(tài)為|ψ0〉=|0〉?|φ0〉,其中|φ0〉為硬幣態(tài),則t時刻量子行走的平均位移為
(16)
作傅里葉變換,在動量空間中進(jìn)一步表示為
(17)
相應(yīng)地,平均手征位移C≡〈Γx(t)〉在動量空間中可表示為
(18)
上式的前一項(xiàng)與Zak相γ成正比,后一項(xiàng)是振蕩項(xiàng),在t→∞的極限下,振蕩項(xiàng)為零。由此可見平均手征位移包含Zak相,且在長時間極限下正比于Zak相。平均手征位移可以作為動力學(xué)拓?fù)洳蛔兞縼砻枋鱿到y(tǒng)的拓?fù)湎?。另外值得注意的?在動量空間求平均手征位移時并不需要給出硬幣初始態(tài)的具體形式,平均手征位移與初態(tài)無關(guān)。
(19)
(20)
其中r,r′取值與方程(19)相同。由上式,類似方程(18)可以計(jì)算平均手征位移C1和C2,并重新定義
C(0)=C1+C2
C(π)=C1-C2.
(21)
這樣就可以用成對的拓?fù)洳蛔兞?C(0),C(π))來描述系統(tǒng)的拓?fù)湎嘟Y(jié)構(gòu),不同拓?fù)鋮^(qū)域C(0)的差值和C(π)的差值分別對應(yīng)不同拓?fù)湎嗟南噙吔缣幠芰繛?和π束縛態(tài)各自的數(shù)目[17]。
Fig.1 Takingand different time stepst,(a),(b) and (c)show the mean chiral displacementC1,C2and topological invariantsC2(C(0),C(π)),respectively,as functions of the coin parameterθ1.In (c), orange and green solid lines are corresponding to topological invariantsC(0) andC(π) whent=7,while the dashed lines are analogue whenttends to ∞.(d) presents the variations of energy dispersion relation for different values ofθ1andθ2圖(c)中橙色和綠色實(shí)線(虛線)分別表示演化步數(shù)t=7(t=∞)對應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞緾(0)和C(π)；圖(d)給出選取不同的θ1和θ2時，能量隨動量變化的色散關(guān)系曲線。圖1 選取和不同的時間演化步數(shù)t=7、∞，圖(a)、(b)和(c)分別給出平均手征位移C1、C2和拓?fù)洳蛔兞?C(0),C(π))隨硬幣參數(shù)θ1的變化曲線
3 平均手征位移的魯棒性
(22)
(a) is the dynamical perturbation case; (b) is the static perturbation case.Fig.2 Takingandthe dashed lines are the mean chiral displacement as functions of the time stepst.The blue and red line are corresponding toandAs a comparison, the solid lines give the ideal cases ofΔ=0. As a reference,dotted lines represent the expected result fort→∞.(a)動態(tài)微擾；(b)靜態(tài)微擾。圖2 選取和藍(lán)虛線和紅虛線分別給出當(dāng)和時，平均手征位移在微擾下隨時間 的變化曲線。藍(lán)實(shí)線和紅實(shí)線對應(yīng)Δ=0的理想情況。作為參考，圖中點(diǎn)線給出t→∞時的預(yù)期理論值。
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