半線性橢圓方程組正解的存在性

張亞靜,楊燕君,郭偉香

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

本文研究以下半線性橢圓方程組

(1)

(2)

(3)

其中βjj>0,j=1,2,…,k,βij=βji≤0,i≠j,i,j=1,2,…,k.作者使用Pohozaev等式且通過積分估計(jì)證明了方程組(3)有無窮多個變號解。除此之外,Chen等人在文獻(xiàn)[4]中研究了以下問題

(4)

其中λ1,λ2,μ1,μ2>0,他們證明了對任意的k∈N,存在βk>0,使得方程組對每個給定的β∈(0,βk),方程組(4)至少有k個變號解。隨著研究的不斷深入,許多學(xué)者都考慮了Ω=RN的情形,比如文獻(xiàn)[5]中研究了以下問題

(5)

他們通過對f,g進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)證明了方程組(5)至少存在一個正解。在文獻(xiàn)[6]中Liu對類似的方程組

(6)

進(jìn)行了討論,作者通過對a(x),b(x)進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃p假設(shè),再運(yùn)用臨界點(diǎn)理論,在有界球內(nèi)找到了近似解,然后通過分析找到近似解的結(jié)構(gòu)再取極限,從而證明了方程組(6)有無窮多的正能量解。除此之外,Chen等人在文獻(xiàn)[7]中研究了以下問題

(7)

作者通過對a(x),b(x)作適當(dāng)?shù)募僭O(shè),證明了方程組(7)有一個正解且這個解滿足一些性質(zhì)。Qin等人在文獻(xiàn)[8]中研究了以下問題

(8)

通過對a(x)和F的一些假設(shè)證明了方程組(8)有一個非負(fù)的基態(tài)解且這個解關(guān)于某個點(diǎn)是徑向?qū)ΨQ的。

令α=β,u=v,h1=h2=h,則方程組(1)就轉(zhuǎn)化成了半線性橢圓方程

(9)

解的存在性問題,此問題在文獻(xiàn)[9]中已經(jīng)有所研究,得到方程(9)有兩個正解。對于橢圓方程問題[10-12]也受到了大量學(xué)者的關(guān)注。比如在文獻(xiàn)[10]中,Bahri研究了有界區(qū)域上的橢圓方程

(10)

作者證明了存在pN>1,使得對任意的p∈(1,pN),方程(10)有無窮多不同的解。

基于以上相關(guān)文獻(xiàn)([1-10])的啟發(fā),本文使用集中緊性原理和山路定理研究帶有擾動項(xiàng)的方程組(1)的正解的存在性。本文將方程(9)的結(jié)果進(jìn)一步推廣到對應(yīng)的方程組上進(jìn)行研究,我們通過集中緊性原理[13-14]來解決緊性缺失的問題。除此之外,對擾動項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)假設(shè),從而獲得了方程組(1)正解的存在性。

問題(1)是在Sobolev空間Ε=H1(RN)×H1(RN)的框架下提出來的,范數(shù)定義為

我們定義u+(x)=max(u(x),0),u-(x)=-min(u(x),0).

本文的結(jié)論如下:

則方程組(1)至少存在兩個正解。

1 預(yù)備知識

我們定義與方程組(11)相關(guān)的能量泛函為

眾所周知,泛函I的臨界點(diǎn)是方程組(1)的正解。當(dāng)p=α+β時,令

其中ω是方程-Δω+ω=|ω|p-1ω,x∈RΝ(2

(11)

易知方程組(11)有唯一解。我們定義與方程組(11)相關(guān)的能量泛函為

其中(ui,vi)(1≤i≤m)是(7)的解。當(dāng)m=0時,結(jié)論仍成立。

我們定義BR(0)是以0為圓心,R為半徑的球。

引理1 設(shè){(un,vn)}在E中有界,則存在(u,v)∈Ε,使得un弱收斂于u,vn弱收斂于v,且滿足

證明 令

則

因?yàn)閡n弱收斂于u,vn弱收斂于v,則存在{(un,vn)}的子序列(仍記作{(un,vn)}),對任意的自然數(shù)n,存在a(x)∈Lα+β(BR(0)),使得|un(x)|≤a(x),|vn(x)|≤a(x)在BR(0)中幾乎處處成立。

由控制收斂定理可知

由H?lder和Sobolev不等式,我們有

定義BR(y)是以y為圓心,R為半徑的球。從文獻(xiàn)[15,21]中我們引入|ωn|的集中函數(shù):

?t≥0.

由文獻(xiàn)[16,22],我們有以下引理。

引理2 設(shè){ωn}是H1(RN)上的有界序列,且Qn(t0;ωn)→0,t0>0,則在Lp(RΝ)中有ωn→0,2

引理3 任意給定常數(shù)C0>0,存在δ>0,使得:如果(u,v)∈E是(11)的解,且滿足‖u‖+‖v‖≤C0,|u|2+|v|2≤δ,那么(u,v)≡(0,0)。

證明

命題1的證明

首先,設(shè){(un,vn)}是I關(guān)于c∈R的一個(PS)c序列,即:

則對任意的(φ,ψ)∈Ε,有:

即

則

因此我們有

重復(fù)上面的過程且發(fā)現(xiàn)這個過程可以在有限步后停止,設(shè)(ui,vi)是(11)的解,我們有

因此,由引理3可知m不能趨于∞.

2 局部極小值的存在性

則存在一個正常數(shù)ρ0,使得Ι(u,v)≥0.

易知h(t)在t0處達(dá)到最大且

(12)

定義Bρ0={u,v∈H1(RΝ):‖(u,v)‖<ρ0}.

(13)

(14)

證明

其中

當(dāng)t→0時,我們有Ι(u0+tω1,v0+tω2)→Ι(u0,v0)<0.

當(dāng)t→∞時,我們有Ι(u0+tω1,v0+tω2)→-∞.

易知當(dāng)0

Ι(u0+tω1,v0+tω2)<Ι(u0,v0)+J∞,?t∈[0,t1)∪[t2,∞).

(15)

要證(14)式,我們只需證明

(16)

對任意的非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(a+b)α(c+d)β>aαcβ+bαdβ+αaα-1bcβ+βaαcβ-1d.

因此,我們有:

(17)

則由K的定義與(17)式可知,(16)式成立。

3 定理的證明

由引理5和命題2可知,存在ρ0>0,使得

Ι(u0,v0)≥0,?(u0,v0)∈Sρ0,Ι(u0,v0)<0,?(u0,v0)∈Bρ0,

易知存在t0>0,當(dāng)t≥t0時,使得Ι(u0+tω1,v0+tω2)<0.

設(shè)

當(dāng)m=0時,則c=Ι(u0,v0)<0,矛盾。

當(dāng)m≥1時,則c=Ι(u0,v0)+J∞,矛盾。