高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張永澤

摘 要：隨著新課程改革的加快，高等數(shù)學(xué)知識在高考中的比重越來越大。高中教育應(yīng)該認(rèn)真的研究新課程的標(biāo)準(zhǔn)、新的考試大綱，認(rèn)真研究高等數(shù)學(xué)的知識，了解高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題。高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，與初等數(shù)學(xué)有著非常緊密的關(guān)系。在高等數(shù)學(xué)的角度上看待中學(xué)數(shù)學(xué)會更加深刻和全面。本文對高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開了研究。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);中學(xué)數(shù)學(xué);應(yīng)用

一、引言

通過研究證明，高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，和初等數(shù)學(xué)有著很多聯(lián)系[1]。有的初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，高等數(shù)學(xué)都給出了解答。所以，高等數(shù)學(xué)能夠幫助學(xué)生從不同的角度思考問題、研究初等數(shù)學(xué)問題。這些問題都是和中學(xué)教育內(nèi)容密切相關(guān)但是也沒有完全解決的，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識也可以解決理論和方法問題[2]。利用高等數(shù)學(xué)，可以從更高的角度來重新認(rèn)識初等數(shù)學(xué)中的重要的概念、理論基礎(chǔ)和背景知識等等，也可以借助高等數(shù)學(xué)知識統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)知識。

二、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的微積分的知識在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上能起到馭繁的作用，尤其在證明不等式、恒等式和研究函數(shù)的變化性態(tài)及作圖，不僅可以簡化解法，并能使問題的研究更為深入全面。

（一）不等式的證明

在研究變化過程中變量之間的相互制約關(guān)系時，更多的是不等式的研究.中等數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過恒等變化、數(shù)學(xué)歸納法、二次型等方法解決，或運用已有的基本不等式的證明，為此先要進行恒等變形，這需要較高的技巧。

利用微積分的知識和方法，例如微分中值定理，函數(shù)的增減性，極值判定法，定積分的性質(zhì)等。可簡化不等式的證明過程，降低技巧性。

歸納：從以上兩題可以知道在中學(xué)階段僅可通過恒等變形比較兩個函數(shù)的形式進行講解，操作麻煩，學(xué)生也很難接受，但學(xué)了高等數(shù)學(xué)之后，問題就變得簡單了[3]。

（二）函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象以其值、直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數(shù)的整體情況及其特性的時候，作用尤為明顯，例如兩個看起來很像的函數(shù)：，熟悉它們兩的圖象就知道中學(xué)數(shù)學(xué)的描點作圖是不完善的，有許多的不足之處，總會擔(dān)心點取的不夠多或點取的太多，例如函數(shù)的正確圖形應(yīng)為1-1（下左）而描點法很可能畫出1-2（下右）的錯誤圖形：

利用導(dǎo)數(shù)作為工具，就可有效的對函數(shù)的增減性，極值點，凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點作出準(zhǔn)確的判斷，從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象，一般來說，描繪函數(shù)的圖象可以按以下的步驟進行：

（1）求函數(shù)的定義域.

（2）考察函數(shù)的奇偶性，周期性.

（3）求函數(shù)的某些特殊點，如與兩坐標(biāo)的交點，不連續(xù)點，不可導(dǎo)點等.

（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點，凸性區(qū)間及拐點.

（5）考察漸近線.

（6）根據(jù)討論最后畫出函數(shù)的圖象.

三、高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。當(dāng)前，高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用必須要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容來設(shè)計高等數(shù)學(xué)思想方法的途徑，讓數(shù)學(xué)教學(xué)的思想方法都蘊含在數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵中[4]，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，必須要抓住分析的過程、概念的形成過程和定理的發(fā)現(xiàn)過程，同時，熟悉一些公式的推導(dǎo)過程和證明問題的方法的過程[5]。

（二）反復(fù)訓(xùn)練和強化。學(xué)生對于數(shù)學(xué)教學(xué)思想的掌握并不是一蹴而就的，而是應(yīng)該教師長期、耐心的進行練習(xí)和指導(dǎo)，才能夠掌握好。在每一個章節(jié)的課外練習(xí)和期末考試中都應(yīng)該具備一定的數(shù)學(xué)思想和方法，另外，教師也應(yīng)該讓學(xué)生練習(xí)各個章節(jié)的小結(jié)[6]，并積極主動的閱讀和數(shù)學(xué)思想方法有關(guān)系的參考書。在教學(xué)的過程中，我們要重點考察數(shù)學(xué)思想和方法，這是在數(shù)學(xué)知識的更高層次的抽象和概括，蘊含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中，在數(shù)學(xué)考試中也應(yīng)該多涉及到這方面的內(nèi)容[7]。

（三）揭示事物的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)思想教學(xué)中，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)的思想性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于推理的過程，數(shù)學(xué)涉及到很多公式、定理，這些公理都是通過推理獲得的[8]。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，交給學(xué)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想觀念。我們要揭示事物的本質(zhì)，揭示一些抽象的概念、計算定理、公式等等計算方法的本質(zhì)，涉及到一些極限方法，這是一種運動的、互相聯(lián)系的和量變引起質(zhì)變的辯證方法，例如函數(shù)的極值和最值問題，都可以設(shè)計到中學(xué)數(shù)學(xué)中，體現(xiàn)出來高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

綜上所述，相對于中學(xué)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對象和方法比較復(fù)雜的一部分，高等數(shù)學(xué)是比中學(xué)數(shù)學(xué)更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)。一直以來，初級數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都屬于高等數(shù)學(xué)，也有把中學(xué)中比較深入的代數(shù)、幾何和簡單的集合論初步、邏輯初步成為中等數(shù)學(xué)的。高等數(shù)學(xué)一般都被認(rèn)為是涉及到微積分的代數(shù)學(xué)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，逐漸的改變教學(xué)的方法，把高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合起來，有助于一些抽象的數(shù)學(xué)問題的解決，也能夠幫助學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識和方法。

參考文獻：

[1]淺談大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的知識銜接[J].蘭華龍.河南科技.2013（22）

[2]淺析高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)銜接[J].牛新宇，張若東.科技創(chuàng)新導(dǎo)報.2013（18）

[3]高中數(shù)學(xué)課程改革與高等數(shù)學(xué)銜接的利與弊[J].楊丹，陸媛.沈陽大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）.2013（01）

[4]高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接[J].吳文前.教育與教學(xué)研究.？2010（10）

[5]中國高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接的內(nèi)容改革研究[J].瞿曉鴻，楊靈娥.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊.2009（26）

[6]高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題的調(diào)查分析[J].肖永紅，范發(fā)明.高師理科學(xué)刊.2009（02）

[7]從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)型期的教學(xué)[J].賀金波，魯潔.赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2007（04）

[8]高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接改革的研究[J].馬仲立.天津理工學(xué)院學(xué)報.2000（S1）.