一個(gè)思想統(tǒng)領(lǐng)四個(gè)公式

☉江蘇省張家港市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 盧風(fēng)平

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點(diǎn)和根本想法，是活生生的數(shù)學(xué)靈魂，可以統(tǒng)領(lǐng)眾多的數(shù)學(xué)問題.筆者探究發(fā)現(xiàn)，在兩點(diǎn)間距離公式、定比分點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中都貫徹著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——“射影思想”（化斜為正），即一個(gè)思想統(tǒng)領(lǐng)了四個(gè)公式，以饗讀者.

一、平面上兩點(diǎn)間距離公式

在平面直角坐標(biāo)系中，已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則

證明：在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），分別向y軸和x軸作垂線，垂足分別為N1（0，y1），N2（x2，0），直線P1N1與P2N2相交于點(diǎn)Q.

則在直角△P2QP1中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2，為了計(jì)算其長(zhǎng)度，過點(diǎn)P1向x軸作垂線，垂足為M1（x1，0），過點(diǎn)P2向y軸作垂線，垂足為M2（0，y2），于是有

所以|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

由此得到兩點(diǎn)間的距離公式：

反思：平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離其是一維實(shí)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的延續(xù)和推廣，面對(duì)新問題，嘗試將其線段P1P2向x軸和y軸投影，化歸為熟悉的問題，再利用勾股定理實(shí)現(xiàn)問題的解決.

二、直線與二次曲線相交的弦長(zhǎng)公式

若直線l：y=kx+b與曲線C：f（x，y）=0交于兩點(diǎn)P1（x1，則弦長(zhǎng)或者

證明：由上面兩點(diǎn)間的距離公式知

又因?yàn)橹本€l：y=kx+b，則有y1=kx1+b，y2=kx2+b，代入兩點(diǎn)間的距離公式（*）式，整理可得或者這便是直線與二次曲線相交的弦長(zhǎng)公式.

三、平面上點(diǎn)到直線距離公式

已知點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），則點(diǎn)P到直線l的距離

證法一：設(shè)直線l的傾斜角為α，過點(diǎn)P作PM∥y軸交l于M（x1，y1），顯然x1=x0，所以所以

易得∠MPQ=α（圖1）或∠MPQ=180°-α（圖2）.

圖1

圖2

證法二：過點(diǎn)P作PM∥y軸交l于M，過點(diǎn)P作PN∥x軸交l于N（圖3），

由證法一知

同理得

所以在Rt△MPN中，PQ是斜邊上的高，所以

圖3

反思：從形上直觀認(rèn)識(shí)平面上點(diǎn)到直線的距離是斜在坐標(biāo)平面內(nèi)的線段長(zhǎng)，很一般，若將其看作是特殊線段的“投影”，即可轉(zhuǎn)化為特殊的兩點(diǎn)間的距離問題，為此，過P作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)M，便得到了證法一，若再進(jìn)一步過P作y軸的垂線，交直線l于點(diǎn)N，便得到了證法二，無(wú)論哪一種證法都是嘗試將斜線化歸為“正線”（與坐標(biāo)軸垂直的線段），即將所求線段看成是特殊線段的“投影”.

四、平面上定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

若兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

證明：如圖4，因?yàn)?/p>

圖4

反思：求二維定比分點(diǎn)坐標(biāo)問題的實(shí)質(zhì)是求兩個(gè)分量，即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，利用投影法即可將問題分解并轉(zhuǎn)化為一維問題.

以上四個(gè)公式的證明方法的來源是對(duì)線段長(zhǎng)度的認(rèn)識(shí)視角，用“投影思想”統(tǒng)領(lǐng)，通過對(duì)陌生問題化歸轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的突破.因此，我們?cè)诮忸}過程中應(yīng)多去思考用思想引領(lǐng)我們的解題道路.F