智慧教學(xué)，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)

☉江蘇省常熟市梅李高級中學(xué) 馬俊華

數(shù)學(xué)具有抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的邏輯銜接與拓展延伸，以促進(jìn)學(xué)生智慧學(xué)習(xí).在核心素養(yǎng)的引領(lǐng)下，如何立足于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？教師需要從挖掘數(shù)學(xué)教法，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維等方面，透析數(shù)學(xué)的本質(zhì)，增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、方法的深刻理解與靈活運(yùn)用.

一、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，要把握其本質(zhì)

在高中數(shù)學(xué)教材中，方程是其重要內(nèi)容，也是最基本的概念之一.何為方程？教材中明確定義為“含有未知數(shù)的等式”.但對于該描述，很多學(xué)生雖然會背、會解方程，但并未建立全面的“方程觀”.對于方程的概念，以及方程的解法，可以從訓(xùn)練中來獲得.但怎樣理解方程的本質(zhì)、未知數(shù)及等式，這都需要從挖掘概念的本質(zhì)中獲取.首先，對方程本質(zhì)的理解，要突出“變量”.在某一個(gè)方程x2+4y2=4中，通過觀察，該方程有兩個(gè)未知數(shù)，這兩個(gè)未知數(shù)也是兩個(gè)變量.如果我們對該方程進(jìn)行變形處理得到：從解析幾何視角來分析，該方程表示為一個(gè)橢圓.根據(jù)橢圓的定義，“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”就是橢圓.對于該常數(shù)，應(yīng)該大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離.因此在橢圓方程中，x，y為兩個(gè)變量，而2a=4則為不變量.由此，橢圓方程是通過這個(gè)定量關(guān)系來構(gòu)建起來的.為此，探討方程的本質(zhì)，就是要尋找等量關(guān)系.如求等面積、等體積的三角形或三棱錐的高，其中“面積、體積是不變量”是重要條件.當(dāng)然，在方程中還有靜態(tài)、動態(tài)之分.通過對“零點(diǎn)”的認(rèn)識，讓方程與函數(shù)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一.方程可以是函數(shù)的一部分，如y=f（x），令y=0，則f（x）=0.同樣，借助于函數(shù)圖像、性質(zhì)，還能為研究方程提供更寬廣的認(rèn)知空間.如某方程x3-3x-a=0有三個(gè)不同的根，求a的取值范圍.從方程的視角來看，對于該方程的求解較為困難.但如果我們將該方程延伸到函數(shù)領(lǐng)域，利用數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)的單調(diào)性、極值等特點(diǎn)來進(jìn)行求解則較為簡易.根據(jù)方程，我們假設(shè)y=x3-3x與y=a相交的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的根，則可以將三個(gè)根等價(jià)轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=x3-3x與y=a的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).另外，對于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)分析，還要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科知識的承接性.在初中階段對函數(shù)的理解，以“變量說”為主，體現(xiàn)了函數(shù)的變化觀點(diǎn)，表示為兩個(gè)變量之間的關(guān)系.在高中階段，函數(shù)的概念解釋為“對應(yīng)說”，將函數(shù)的兩個(gè)數(shù)集按照某種法則形成對應(yīng)的映射關(guān)系.

二、數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)，要把握其本質(zhì)

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，定理、公式、法則等結(jié)論性知識點(diǎn)很多，這些結(jié)論既反映了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一種特定現(xiàn)象，又是對數(shù)學(xué)知識的抽象概括.通常在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師往往強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生背誦、記憶這些結(jié)論，而很少關(guān)注對結(jié)論的解讀與理解.如對于函數(shù)圖像的平移問題，我們的背誦口訣為“左加右減”.但對于為什么，卻很少有學(xué)生能透徹明白其原因.可見，對于數(shù)學(xué)中的結(jié)論性知識，很多學(xué)生都停留于一般的直觀性認(rèn)知層面，并未進(jìn)行理性分析.函數(shù)的圖像是函數(shù)直觀化的表示方式，其變換規(guī)律可以從函數(shù)解析式入手，讓學(xué)生從中認(rèn)識函數(shù)，進(jìn)而培養(yǎng)理性精神.在不等式中，從代數(shù)結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)了算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的不等關(guān)系，也是對這兩種基本運(yùn)算“和”與“積”的大小關(guān)系的表現(xiàn).同樣，對于a+b+ab=1（a＞0，b＞0），求a+b與ab的取值范圍？在解該題時(shí)，需要我們認(rèn)識到“和”與“積”的不等關(guān)系.首先，利用，將“積”轉(zhuǎn)換為“和”的形式，得到；再利用將“和”轉(zhuǎn)換為“積”的形式，得到，即可得到解題結(jié)果.另外，對于均值不等式的理解，我們還可以將之與幾何圖形相結(jié)合，如圖1所示.

圖1

在半圓O中，AD=a，DB=b，CD⊥AB，求的大小.從圖中分析可知，對于CD，可以得出等于在圓內(nèi)，因?yàn)镃D≤OC，所以可以得到.同樣我們也可以利用面積關(guān)系來建立不等式.在正方形BCDE中，假設(shè)，則正方形的面積大于或等于四個(gè)直角形的面積之和，即.由此結(jié)合幾何圖形，來加深學(xué)生對不等式的理解，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維.

三、數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，要把握其本質(zhì)

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很多方法性的常識或者約定，如度量的方法、運(yùn)算的規(guī)則、變換的方法、論證的方法等.在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要認(rèn)識到方法的重要性，要關(guān)注對于數(shù)學(xué)方法本質(zhì)的理解，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)方法，認(rèn)識數(shù)學(xué)方法，知其然且知其所以然.對于數(shù)學(xué)方法，其本質(zhì)的挖掘在于突出數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)聯(lián)性.如在高中數(shù)學(xué)歸納法的探討中，歸納法是一種證明方法，其核心思想是建立在遞推的邏輯關(guān)系上.比如對于P（n）表示為與正整數(shù)n有關(guān)的命題，要想證明該命題成立，需要把握兩個(gè)步驟.一是證明P（1）為真；二是證明假設(shè)P（k）為真，則可以遞推P（k+1）為真，由此，對于該命題，就可以實(shí)現(xiàn)無窮動態(tài)的遞推過程.如P（1）為真，P（2）為真，P（3）為真→P（k）為真，P（k+1）為真→P（n-1）為真，P（n）為真.也就是說，對于任何一個(gè)正整數(shù)n，命題P（n）均為真.同樣，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，還要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：第一點(diǎn)是對遞推基礎(chǔ)的確定；第二點(diǎn)是對遞推依據(jù)的確定.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要嚴(yán)格遵守證明方法的邏輯性，進(jìn)行完全歸納，對于特殊情形若不完全歸納，都具有不確定性.所以說，一般在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，對于大量個(gè)別事實(shí)的觀察，需通過歸納來形成一般性的結(jié)論，并通過反復(fù)驗(yàn)證后得到正確性的結(jié)論.在高中數(shù)學(xué)中，對于數(shù)列求和方法的學(xué)習(xí)，可以有倒序相加法，也可以有錯(cuò)位相減法，但不管采用什么方法，其本質(zhì)都是通過消項(xiàng)，將無限變?yōu)橛邢?，將不可求變?yōu)榭汕?同樣，在對等差數(shù)列進(jìn)行前n項(xiàng)求和時(shí)，我們可以結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，利用倒序相加法，可以得到，從而得到.對于等差數(shù)列求前n項(xiàng)和的運(yùn)算過程，主要是考查學(xué)生的求簡意識以及轉(zhuǎn)化技巧，讓學(xué)生能夠化無限為兩項(xiàng)，便于求解.對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，我們可以利用相鄰項(xiàng)的關(guān)系an=an-1q，來計(jì)算Sn=a1+a2+…+an-1+an.兩邊乘以q，得到qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq，利用等比關(guān)系，對兩式進(jìn)行綜合，得到，從而得到從該解題過程來看，在進(jìn)行公式推導(dǎo)時(shí)，利用了錯(cuò)位相減法，可以很好地將中間項(xiàng)進(jìn)行消項(xiàng)處理，得到有限項(xiàng)的差.其實(shí)數(shù)列求和的方法還有很多種，但不同方法的運(yùn)用都是將消項(xiàng)作為主要目標(biāo).如分組求和法、并項(xiàng)法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等等.教師在引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)列求和的方法時(shí)，都要突出消項(xiàng)這個(gè)目標(biāo)，讓學(xué)生明白數(shù)列求和的本質(zhì)，即化無限或化不可求為有限或?yàn)榭汕?

四、精心設(shè)計(jì)教學(xué)，把握數(shù)學(xué)思維

運(yùn)用系統(tǒng)論來探究數(shù)學(xué)智慧教學(xué)，需要從教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容，以及教學(xué)過程的各個(gè)方面來統(tǒng)合，明確相互之間的邏輯與關(guān)系，搭建起有序的數(shù)學(xué)課堂.教學(xué)設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)的前提，因此教師要鉆研教材，挖掘數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，并結(jié)合學(xué)生學(xué)情，兼顧知識與能力的培養(yǎng).教師要激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)來啟發(fā)學(xué)生的智慧.面對數(shù)學(xué)問題，教師要激發(fā)學(xué)生的猜想與想象，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)解法、數(shù)學(xué)問題的透徹分析.在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，由于集合語言、運(yùn)算語言等較為抽象，學(xué)生往往感到難度大，因此教師在呈現(xiàn)知識點(diǎn)時(shí)，要化解概念的難點(diǎn)，巧妙地安排一些課堂追問.如對于單調(diào)性的理解，在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)y隨x的增大而增大（減小）；在高中數(shù)學(xué)中，利用集合語言來定義函數(shù)的單調(diào)性，從而幫助學(xué)生把握函數(shù)的本質(zhì)特點(diǎn).同樣，教師還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，從數(shù)學(xué)函數(shù)知識的學(xué)習(xí)，到函數(shù)思維的建構(gòu)，都要把握關(guān)鍵信息，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想.如類比法、化歸法的應(yīng)用，從而降低數(shù)學(xué)函數(shù)問題的難度.在學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)后，我們可以通過對指數(shù)函數(shù)的構(gòu)建模型來分析對數(shù)函數(shù)，從函數(shù)的三要素、性質(zhì)以及圖像等方面，運(yùn)用類比、化歸、數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解和應(yīng)變能力.

總之，高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，充分挖掘教材知識，全面?zhèn)湔n，對所講的數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論等內(nèi)容，積極借鑒其他教學(xué)成果，并融入到課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，以直觀、生動、趣味的方式揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)深、學(xué)透、學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)知識.除此之外，教師也要加強(qiáng)對專業(yè)知識的學(xué)習(xí)，參與學(xué)科教研和交流，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以便于更好的打造數(shù)學(xué)智慧課堂.W