在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)

☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué) 包正峰

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》一文在“課程基本理念”中創(chuàng)新性地指出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”.從而結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)，進(jìn)一步歸納總結(jié)出了高中階段數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

數(shù)學(xué)建模作為高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一大主要內(nèi)容，也是教師數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一大必備的技能技巧.數(shù)學(xué)建模是對(duì)具體的現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)一步用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)問題，最后利用數(shù)學(xué)知識(shí)與相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法來構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到解決問題的目的.

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，數(shù)學(xué)建模伴隨前行，是概念教學(xué)與知識(shí)應(yīng)用中的一條重要鏈條.那么如何在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)與滲透數(shù)學(xué)建模思維呢？本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過具體的教學(xué)案例來剖析數(shù)學(xué)建模的滲透與培養(yǎng).

二、問題的解決

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，即通過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來，進(jìn)而建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)等進(jìn)行求解.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型、最終解決實(shí)際問題.

1.已有數(shù)學(xué)建模的完善

在很多數(shù)學(xué)問題中，題目已經(jīng)給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式等相關(guān)條件，此時(shí)往往在已有的數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)上進(jìn)一步完善，通過題中對(duì)應(yīng)的模型加以完善，尋找相應(yīng)的破解思路，進(jìn)而得以解決.

例1（2019屆河南省高三一模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2），則3y-5x=（ ）.

分析：利用題目中已有的函數(shù)、不等式模型，巧妙地構(gòu)造函數(shù)模型f（t）=lnt-t+1（t＞0），并得到相應(yīng)的對(duì)數(shù)不等式的結(jié)論：lnx≤x-1，進(jìn)而結(jié)合該結(jié)論，利用兩邊夾定理，實(shí)現(xiàn)不等與相等的轉(zhuǎn)化，再結(jié)合等號(hào)成立時(shí)的條件來處理.解析：構(gòu)造函數(shù)（ft）=lnt-t+1（t＞0），由于，所以令f′（t）=0，解得t=1，函數(shù)（ft）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

所以f（t）max=f（1）=0，即f（t）=lnt-t+1≤0，即有l(wèi)nt≤t-1成立.

根據(jù)以上對(duì)數(shù)不等式的結(jié)論：lnx≤x-1，

可得ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤（x+y-3-1）+（2x-y+2-1）=3x-3，

所以3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤3x-3，

當(dāng)且僅當(dāng)x+y-3=2x-y+2=1時(shí)等號(hào)成立，解得x=1，y=3，此時(shí)3y-5x=4，

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合題目中已有的數(shù)學(xué)模型，即對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式或指數(shù)式的特點(diǎn)，通過完善數(shù)學(xué)建模，得到對(duì)數(shù)不等式的結(jié)論lnx≤x-1或指數(shù)不等式的結(jié)論ex≥x+1，巧妙地轉(zhuǎn)化其中的對(duì)數(shù)式或指數(shù)式，利用兩邊夾定理得以有效轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用等號(hào)成立時(shí)的條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，從而得以簡(jiǎn)單快捷地破解.

2.根據(jù)知識(shí)體系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

借助題目所反映的知識(shí)體系，有針對(duì)性地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，回歸知識(shí)本源，進(jìn)而借助于常見的思維方法來處理.比如在涉及平面向量的問題中，經(jīng)常通過坐標(biāo)系的建立，使其回歸到坐標(biāo)問題，進(jìn)而借助坐標(biāo)法來解決.

例2（2018屆江蘇省南京市高三第三次模擬考試·12） 在△ABC中，AB=3，AC=2，D為邊BC上一點(diǎn)，若的值為______.

分析：根據(jù)題目所反映的知識(shí)，借助坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)建?！ㄟ^建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)C（2cosα，2sinα），D（x，y），結(jié)合來確定x的值，再結(jié)合分別求出y的值，再來確定cosα的值，進(jìn)而結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式來求解的值.

解析：如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0）.

圖1

設(shè)C（2cosα，2sinα），D（x，y），

又因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以kBD=kBC，

故填答案：-3.

點(diǎn)評(píng)：在求解平面向量的相關(guān)問題中，利用數(shù)學(xué)建模，通過建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將所涉及的平面向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算來解答.這是解決平面向量問題的一類比較常見的思維方法，也是一種常見的思維方式.這樣合理地利用知識(shí)體系來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可以使得問題的破解更加有效可行.

3.結(jié)合條件信息進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

在題目條件中，通過挖掘條件信息，包括問題背景、函數(shù)關(guān)系式、等式等，找出其中的內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過形象思維的拓展，與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以有機(jī)鏈接，從而建立起反映題目條件的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到有效數(shù)學(xué)建模，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)模型所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來分析與解決問題.

例3（2019屆江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)高三第一學(xué)期期中考試·14）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|＜9，則xy的取值范圍為______.

分析：根據(jù)題目條件“正實(shí)數(shù)x，y滿足x2-xy+y2=9”，通過變換得到32=x2+y2-2xycos60°，聯(lián)想到解三角形中的余弦定理，借助形象思維進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的三角形模型來直觀處理.

解析：對(duì)于正實(shí)數(shù)x，y，根據(jù)x2-xy+y2=9，可得32=x2+y2-2xycos60°，

構(gòu)造如圖2所示的△ABC，其中BC=3，∠A=60°.

根據(jù)三角形的面積公式與三角形的性質(zhì)可得（正三角形時(shí)面積最大，此時(shí)BC所對(duì)應(yīng)的高最大，點(diǎn)A位于圖中的A1位置），

可得xy≤9；

圖2

由對(duì)稱性不妨令x≥y＞0，則有|x2-y2|=x2-y2＜9，即x2＜y2+9，則△ABC為銳角三角形，

此時(shí)點(diǎn)A位于圖中的臨界點(diǎn)A2處，A2B⊥BC，則有x=，此時(shí)xy=6，

所以xy＞6.

綜上所述，xy∈（6，9］.故填答案：（6，9］.

點(diǎn)評(píng)：借助題目條件，通過關(guān)系式進(jìn)行形象思維，結(jié)合余弦定理來構(gòu)造三角形模型，結(jié)合三角形的面積公式與直角三角形的性質(zhì)來確定相應(yīng)的代數(shù)式的取值范圍.借助數(shù)學(xué)建模，通過直觀模型角度的正常切入，使抽象思維轉(zhuǎn)化為直觀思維，結(jié)合數(shù)學(xué)模型的展示，達(dá)到了優(yōu)化解題過程、節(jié)約解題時(shí)間、提升解題能力的目的.

三、感悟與反思

隨著新課程理念的不斷深入，數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用也越來越廣泛，諸如函數(shù)與方程、不等式、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、排列與組合等眾多的數(shù)學(xué)知識(shí)，都要求我們從數(shù)學(xué)建模的角度加以理解與掌握，從生活問題中加以切入數(shù)學(xué)應(yīng)用.

其實(shí)，數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)；技術(shù)大致有章可循，藝術(shù)則無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則.學(xué)生只有通過不斷地套用、模仿、修正、改進(jìn)并創(chuàng)新，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握以及對(duì)數(shù)學(xué)模型的領(lǐng)會(huì).通過數(shù)學(xué)建模，激發(fā)學(xué)生的求知熱情與探究精神，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).