立體幾何中空間想象能力的培養(yǎng)途徑

☉山東省鄒平市第一中學(xué) 牛傳勇

直觀想象指的是依據(jù)空間想象來對事物的變化進(jìn)行感知，依據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)來解決數(shù)學(xué)難題.主要包含對解決問題思路的疏導(dǎo)、利用圖形描述數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)系等，通過這些能夠?qū)κ挛锏陌l(fā)展規(guī)律以及本質(zhì)有更深層次的理解.本文主要研究如何在實(shí)際生活中對學(xué)生的空間想象能力進(jìn)行培養(yǎng)，通過對已經(jīng)研究的文獻(xiàn)進(jìn)行整理，主要概括為以下幾點(diǎn).

一、讓學(xué)生對空間幾何圖形進(jìn)行觀察，同時動手制作模型；通過學(xué)生的觀察以及實(shí)際感知，讓學(xué)生的空間觀念得到提升，從而讓學(xué)生掌握空間圖形的能力得到有效的提升.

1.讓學(xué)生對簡單的幾何圖形進(jìn)行掌握，同時注意讓學(xué)生能夠用圖形來表達(dá)數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)的基點(diǎn)是對問題的分析以及解決.在學(xué)習(xí)立體幾何的內(nèi)容體系時，對幾何圖形的簡單認(rèn)識是在必修二教材中對于“立體幾何初步”的學(xué)習(xí).在實(shí)際生活當(dāng)中，學(xué)生已經(jīng)對生活中常見的幾何圖形有了一定的了解，但是還缺乏對相關(guān)幾何知識的系統(tǒng)學(xué)習(xí).因此在實(shí)際教學(xué)過程中要注意讓學(xué)生對實(shí)際的幾何模型進(jìn)行觀察，同時讓學(xué)生對實(shí)際的幾何圖形進(jìn)行分類、概括以及歸納.從而可以認(rèn)識到錐體、柱體以及臺體的主要特點(diǎn)，在這個基礎(chǔ)上了解到幾何圖形的簡單特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

案例1：教師先讓學(xué)生自行預(yù)習(xí)人教版高中數(shù)學(xué)必修2中第一章1.1“空間幾何體”的有關(guān)知識，再進(jìn)行以下思考：

（1）圖1是由圖2中的哪一個圖形旋轉(zhuǎn)得到的？

圖1

圖2

（2）棱臺與棱柱、棱錐有什么區(qū)別及聯(lián)系？圓臺、圓柱與圓錐又有什么區(qū)別及聯(lián)系？

（3）三棱錐有幾條棱、幾個頂點(diǎn)、幾個面？

隨后教師要讓學(xué)生們一一作答，并讓其余同學(xué)糾正錯誤，引導(dǎo)學(xué)生相互交流，進(jìn)一步加深對概念的理解，從而使抽象的定義逐步轉(zhuǎn)化為直觀想象的幾何體.

2.讓學(xué)生自己動手進(jìn)行幾何模型的制作，這一過程不僅能夠使學(xué)生的動手操作能力得到提升，還能夠使學(xué)生的空間想象能力得到發(fā)展.在進(jìn)行模型制作的過程中，首先需要對模型的空間結(jié)構(gòu)有一個清楚的了解，其次，要明白進(jìn)行模型制作的流程以及過程，包括材料的選擇、流程的順序等等.對于一些比較復(fù)雜的模型，需要學(xué)生們進(jìn)行合作才能按時完成，這樣能夠培養(yǎng)學(xué)生的合作協(xié)調(diào)能力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情以及學(xué)習(xí)興趣，同時能夠使學(xué)生的空間想象能力得到很好的提升.

二、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，加強(qiáng)學(xué)生在“交流、觀察以及思考”等方面的能力.通過讓學(xué)生對問題的思辨論證，使學(xué)生的語言能力以及邏輯推理能力得到提升.

1.讓學(xué)生注重對事物進(jìn)行觀察，來學(xué)習(xí)相關(guān)的基本的幾何知識，了解空間圖形的關(guān)系，對于學(xué)生理解直線之間的垂直以及平行關(guān)系有很大的幫助.空間圖形主要是由點(diǎn)、線以及面構(gòu)成的，因此，了解這些圖形之間的位置關(guān)系，能夠幫助我們更好的認(rèn)識空間圖形.

案例2：“空間圖形的公理”的教學(xué)設(shè)計(jì).教師在上課之前先讓學(xué)生對教材內(nèi)容進(jìn)行熟悉，然后提出以下問題：（1）梯形、三角形以及圓都是平面圖形嗎？理由是什么呢？（2）四邊形一定是平面圖形嗎？（3）公理2能夠體現(xiàn)出平面的哪些特征？將長方體中的線以及面當(dāng)做載體，能夠讓學(xué)生更加清楚的了解到空間幾何關(guān)系，體會到空間中點(diǎn)、線、以及面的關(guān)系.加強(qiáng)學(xué)生從實(shí)際圖形來認(rèn)識理論知識的能力，在進(jìn)行推理的過程中使學(xué)生的直觀想象能力得到鍛煉.其次，讓學(xué)生能夠正確的運(yùn)用圖形語言、自然語言以及符號語言來進(jìn)行圖形位置關(guān)系之間的描述.

2.引導(dǎo)學(xué)生能夠正確的運(yùn)用周圍的物品進(jìn)行學(xué)習(xí).學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中，需要認(rèn)真的思考并分析圖形的動態(tài)過程，并對圖形變換的過程進(jìn)行演示，這是提高學(xué)生空間想象能力的很好的方法.比如，在對異面直線的概念進(jìn)行掌握的過程中，可以讓學(xué)生嘗試使用兩支筆作為直線，然后變換兩支筆之間的位置，進(jìn)行位置關(guān)系之間的演示.學(xué)生通過這一過程能夠發(fā)現(xiàn)在兩條直線的關(guān)系中，不僅有“相交”“平行”，還存在既不相交也不平行的位置關(guān)系，這樣就將“異面直線”的概念傳授給學(xué)生.

在進(jìn)行異面直線所成角的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)時，教師可以采用粉筆來進(jìn)行演示，將其中的一根粉筆進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，但是始終保持異面狀態(tài)，讓學(xué)生注意在這一過程中直線的位置關(guān)系會發(fā)生怎樣的變化.思考如何對這一變化進(jìn)行刻畫？再如，在進(jìn)行面面垂直關(guān)系的界定時，教師可以向?qū)W生提出這樣的問題：（1）工人師傅怎樣保證建造的墻與水平面相垂直？（2）將你的課本展開一定的角度，使其能夠樹立在桌面上，那么課本中的每一頁與桌面是什么關(guān)系？

在進(jìn)行課堂教學(xué)的過程中，由于受到學(xué)生自身認(rèn)知方面的限制，需要采用靈活的教學(xué)方法，運(yùn)用實(shí)物進(jìn)行展示可以將抽象的空間幾何表現(xiàn)為具體的圖形，讓學(xué)生對于抽象的數(shù)學(xué)知識能夠形成更加深刻的理解.

3.對特殊模型進(jìn)行運(yùn)用.利用特例進(jìn)行反例的構(gòu)造，對學(xué)生的推理能力加以重視，能夠幫助學(xué)生增強(qiáng)分析問題、解決問題以及思考問題的能力.

如在研究“三個角都是直角的四邊形一定是矩形嗎？”這一問題時，若學(xué)生僅靠推理很難推翻，因此就要借助特殊模型來解題.如圖3，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造長方體模型，然后在模型中取頂點(diǎn)構(gòu)造空間四邊形就很容易判別出四邊形ABCD并不是矩形.

圖3

4.加強(qiáng)對垂直關(guān)系以及平行關(guān)系的教學(xué)，讓學(xué)生的邏輯推理能力得到足夠的發(fā)展.

線與線以及面與面之間最基本的關(guān)系就是平行關(guān)系以及垂直關(guān)系，之后更加復(fù)雜的位置關(guān)系的刻畫就是基于平行以及垂直關(guān)系的基礎(chǔ)進(jìn)行的.

（1）對空間垂直關(guān)系以及平行關(guān)系的概念進(jìn)行關(guān)注.在進(jìn)行實(shí)際教學(xué)的過程中，常常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生將概念定義與判定定理混在一起.事實(shí)上，定義可以看做是對性質(zhì)的解讀.垂直以及平行關(guān)系的定義能夠體現(xiàn)出其特征以及實(shí)質(zhì).在進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)時，通常用空集或者交集對平行關(guān)系進(jìn)行定義，用角的度數(shù)對垂直關(guān)系進(jìn)行定義.

（2）借助模型以及對模型的觀察，對空間關(guān)系進(jìn)行更深一步的認(rèn)識，進(jìn)一步完善學(xué)生的空間觀念.讓學(xué)生通過對模型的觀察，了解點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，對平行以及垂直的定義進(jìn)行更深一步的理解，將抽象的概念轉(zhuǎn)化成具體的模型關(guān)系；通過學(xué)生自身的感知以及想象形成空間感，有助于學(xué)生空間想象能力的形成，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力.

例如圖4，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PQ∥平面ACD；

（Ⅱ）求AD與平面ABE所成角的正弦值.

圖4

例題答案：

證明：（Ⅰ）連接DP，CQ，在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)，所以，所以PQ∥DC.又PQ?平面ACD，DC?平面ACD，所以PQ∥平面ACD.

圖5

（Ⅱ）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，所以CQ⊥AB.

而DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.

而EB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC.所以CQ⊥平面ABE.

由（Ⅰ）知，四邊形DCQP是平行四邊形，

所以DP∥CQ.

所以DP⊥平面ABE.

所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP.

所以直線AD與平面ABE所成的角是∠DAP.

在Rt△APD中DP=CQ=2sin∠CAQ=1，

當(dāng)前階段學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括熟練的掌握空間圖形以及擁有良好的空間想象能力.對于這些能力的鍛煉以及培養(yǎng)需要一個較長的過程，這個過程是曲折、漫長的.在這一過程中，學(xué)生必須加強(qiáng)自身各方面能力的培養(yǎng)，時刻進(jìn)行學(xué)習(xí)以及反思，同時注意對模型的運(yùn)用，增強(qiáng)自身的思辨能力以及邏輯推理能力，使自身的空間想象能力能夠得到有效的提升.