歸納演繹拓思路，怎樣解題求自然
——由阿基米德折弦定理說(shuō)開(kāi)去

☉浙江省臺(tái)州市三門(mén)初級(jí)中學(xué) 李如軍

讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，更要讓學(xué)生追尋試題的源頭，學(xué)會(huì)自己編題才能提升解題境界.筆者有幸得知2018年臺(tái)州市中考第24題源自阿基米德折弦定理，遂對(duì)該定理和中考題做了一番研究與整理，以饗讀者.

一、定理呈現(xiàn)

1.阿基米德折弦定理

圖1

圖2

2.解法欣賞

（1）補(bǔ)短法.

解法1：如圖2，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA，連接AC.

由M、B、A、C、四點(diǎn)共圓，得∠1+∠MBA=180°.

又∠3+∠MBF=180°，則∠MBA=∠MBF.

又MB=MB，BF=BA，則△MBF △MBA.

則∠F=∠MAB=∠MCB，則MF=MC.

又MD⊥CF，則CD=DF=DB+BF=AB+BD.

解法2：如圖3，延長(zhǎng)CD至F，使FD=CD.

由BM為圓O的弦，得∠3=∠4=∠5.

則∠1-∠5=∠2-∠4.

圖3

則BF=AB.

則CD=AB+BD.

解法3：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H.

由M是弧ABC的中點(diǎn)，得MA=MC.

由MD⊥BC，得∠MDC=90°=∠H.

又∠MAB=∠MCB，則△MHA △MDC.

則AH=CD，MH=MD.

又MB=MB，則Rt△MHBRt△MDB.

則HB=BD.

則CD=AH=AB+BH=AB+BD.

圖4

圖5

（2）截長(zhǎng)法.

解法4：如圖5，在CD上截取DG=DB.

由MD⊥BG，得MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.

又∠MGB=∠MCB+∠GMC，則∠BMA=∠GMC.

又MA=MC，則△MBA △MGC，則AB=GC.

則CD=CG+GD=AB+BD.

點(diǎn)評(píng)：歸納是演繹的源泉！

（3）對(duì)稱(chēng)法.

解法5：如圖6，連接AO、BO、OM.

圖6

作OW⊥CB交BC于點(diǎn)F，交圓于點(diǎn)W，作點(diǎn)M關(guān)于OW的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H，連接OP，OM分別交AC、BC于點(diǎn)E、G.

由∠OFG=∠CEM=90°，∠OGC=∠OGC，得∠ACB=∠FOG.

則∠AOB=∠MOP.

則△POM △BOA.

則PM=AB.

由PH⊥BC，MD⊥BC，得PM=HD.

則AB=PM=HD.

則CD=BH.

則BD+AB=CD.

點(diǎn)評(píng)：旋轉(zhuǎn)變換使線段和差問(wèn)題變得直觀、體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美.

（4）托勒密定理證法.

解法6：如圖7，由“托勒密定理”知AB·MC+BM·AC=AM·BC.

假設(shè)AM=MC=m.

AB·m+BM·2mcosα=BC·m.

AB+2BM·cosα=BC.

AB+2BD=CD+BD.

AB+BD=CD.

反思一種解法，歸納這種解法的原理以求類(lèi)比演繹出同類(lèi)解法，如補(bǔ)短法.及時(shí)歸納補(bǔ)短法自然就會(huì)產(chǎn)生另外一類(lèi)解法——截長(zhǎng)法.無(wú)論補(bǔ)短還是截長(zhǎng)，無(wú)非是構(gòu)造一對(duì)全等三角形，除了位置沒(méi)有特殊要求的構(gòu)造法，還有位置有特殊要求的對(duì)稱(chēng)法.在圓中還有很多定理，如托勒密定理，筆者發(fā)現(xiàn)借助托勒密定理可以證得阿基米德折弦定理.此種證法把公元前后不同國(guó)度的兩位大師緊緊聯(lián)系在一起！

圖7

圖8

二、中考題的誕生

如圖8，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D在弧BC上，點(diǎn)E在弦AB上（點(diǎn)E不與A重合），且四邊形BDCE是菱形.

（1）求證：AC=CE.

（2）求證：BC2-AC2=AB·AC.

（3）已知⊙O的半徑為3.

1.解法欣賞

第（1）問(wèn)，這里不再贅述.

下面解決第（2）問(wèn).

證法1：如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F.

點(diǎn)撥：①觀察“BC2-AC2”的形式，聯(lián)想到“勾股定理”，需要構(gòu)造直角三角形；②由“AC=CE”聯(lián)想到“等腰三角形三線合一”.

圖9

圖10

證法2：如圖10，延長(zhǎng)BA到G，使AG=AC.由∠ACG=∠G=∠ABC，構(gòu)造△GCA △GBC.

如圖11，延長(zhǎng)CA到H，使AH=AB，構(gòu)造△CAB△CBH.

圖11

圖12

如圖12，作∠BAC的角平分線交BC于K，則∠BAK=∠CAK=∠BAC=∠AEC=∠ABC，構(gòu)造△CAK△CBA.三種構(gòu)造相似三角形的方法均可證得結(jié)論.

對(duì)于第（3）問(wèn)的①，這里不再贅述.

下面解決第（3）問(wèn)的②.

圖13

由∠COD=∠A=∠ECD，得△COD △ECD.

所以CD2=OD·DE，即b2=3DE.

則b2=-9m+27，故AB·AC=mb2=-9m2+27m.

解法2：設(shè)OH=x，則AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2=4（9-x2）-［（9-x2）+（3-x）2］=-4x2+6x+18，則當(dāng)x=時(shí)，AB·AC取得最大值.

解法3：設(shè)cos∠COH=cos∠A==k，則OH=3k，則AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2=4（9-9k2）-［（9-9k2）+（3-3k）2］=-36k2+18k+18.

2.試題評(píng)析

第（1）問(wèn)主要考查對(duì)等腰三角形的判定、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)的掌握情況，知識(shí)內(nèi)涵豐富，難度不大，在解決阿基米德折弦定理的過(guò)程中，構(gòu)造了一個(gè)特殊的四邊形——菱形，使本題結(jié)論豐富，為中考題的誕生創(chuàng)造條件.以圓為背景，使得弧、弦、角三者相互轉(zhuǎn)化，為問(wèn)題解決方法的多樣性（一題多解）鋪設(shè)了道路.

在第（2）問(wèn)要證明的結(jié)論中，出現(xiàn)兩條線段的平方差形式，學(xué)生可以根據(jù)學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把問(wèn)題表征成：直角三角形中有關(guān)邊之間關(guān)系的問(wèn)題.這樣如何構(gòu)造直角三角形就成了第（2）問(wèn)的突破口，這時(shí)第（1）問(wèn)中證得的△ACE是等腰三角形可提供有益的啟示，即通過(guò)添加等腰三角形中的常見(jiàn)輔助線（底邊上的高）構(gòu)造出所需的直角三角形.另外，學(xué)生也可以把所要證明的結(jié)論變形成“a2=bc”的形式，這樣問(wèn)題就可表征成：兩個(gè)相似三角形中有關(guān)邊的關(guān)系問(wèn)題.如何構(gòu)造相似三角形成為問(wèn)題解決的突破口.因此，第（2）問(wèn)能有效地測(cè)出學(xué)生能否自覺(jué)、合理地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想及相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.問(wèn)題：根據(jù)考生反饋，學(xué)生對(duì)于式子BC2-AC2=AB·AC的變形能力、認(rèn)知能力、聯(lián)想能力較弱.由BC2-AC2能聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，但是很難構(gòu)造，將BC2-AC2=AB·AC變形為BC2=AB·AC+AC2=AC·（AB+AC）是比較困難的數(shù)感、符號(hào)感不強(qiáng)是導(dǎo)致此處思路出現(xiàn)障礙的重要原因.如果能夠變形成式子“a2=bc”，受阿基米德原理折弦定理“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”啟發(fā)構(gòu)造相似三角形就是順理成章的事了.

本題各小問(wèn)層次分明，梯度合理，內(nèi)在邏輯明顯，有利于學(xué)生在各小問(wèn)的相關(guān)啟發(fā)下拾級(jí)而上，也有利于不同層次學(xué)生的發(fā)揮，具有較好的信度和區(qū)分度.另外，本題合理地兼顧了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，能有效地檢測(cè)出數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力的水平.若該題第（3）問(wèn)將AC改為常量1，難度將下降不少，從而可以更好地考查學(xué)生利用函數(shù)模型分析問(wèn)題的能力.

三、教學(xué)建議

1.用好教材，構(gòu)建知識(shí)體系

教材是教學(xué)的藍(lán)本，是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn)，是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要載體.在日常教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究教材，充分理解教材編寫(xiě)意圖及教學(xué)要求，同時(shí)要加強(qiáng)與其他知識(shí)的橫向聯(lián)系，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，輔助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的高效內(nèi)化，便于學(xué)生審題時(shí)站在宏觀的角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.要用好教材、用活教材，特別是對(duì)教材例題、習(xí)題，教師一定要進(jìn)行充分挖掘，最好能進(jìn)行多維變式，開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

2.注重過(guò)程，體現(xiàn)主體地位

數(shù)學(xué)的教學(xué)要指向核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)不能依賴(lài)“短平快”的記憶與模仿，要放慢教學(xué)節(jié)奏，讓學(xué)生有充分的、真實(shí)的過(guò)程性體驗(yàn).要真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)生成的過(guò)程中鞏固“四基”，在合作交流的過(guò)程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在探究歸納的過(guò)程中領(lǐng)悟思想方法，并逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，形成問(wèn)題解決的自覺(jué)意識(shí).

3.深度教學(xué)，發(fā)展理性思維

理性思維是數(shù)學(xué)的核心思維能力，同時(shí)是人格素養(yǎng)的重要部分.發(fā)展理性思維、培養(yǎng)理性能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心任務(wù).教師要通過(guò)深度教學(xué)來(lái)發(fā)展學(xué)生思維的深度和廣度，引導(dǎo)學(xué)生深入問(wèn)題本質(zhì)，提高學(xué)生的橫向綜合能力和縱向突破能力.教師要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)揮好主導(dǎo)作用，將數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)結(jié)合在一起，給學(xué)生提供展示數(shù)學(xué)思維能力的平臺(tái)，彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的價(jià)值.

4.注重歸納，探索自然解法

追溯中考題的來(lái)源，剖析歸納其解法可知：歸納是演繹的源泉.只有做好題后總結(jié)歸納，才能演繹出新的解題思路，做好演繹，才能鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維.可見(jiàn)歸納與演繹是相輔相成的，只有做到追根溯源，才能達(dá)到道法自然的解題境界.