指向教學的中考試題研究*
——以2018年南通市部分中考試題為例

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學 印冬建

中考試題研究是一項日常的教學工作.在中考結(jié)束后，很多老師立即投入到新的中考題的研究中去，他們熱衷于對新穎考題、壓軸考題解法的研究，而對考題教學價值的研究不夠深入.筆者認為，這樣的試題研究是不全面、不科學的.中考具有極強的導向作用，它是我們進行數(shù)學教學的重要依據(jù).日常教學中，“四基”的教與學該到什么程度，學生發(fā)展的底在哪里，每一年的中考試題都有明示，都需要我們這些一線教師從試題中挖掘出來，并在教學中加以落實.近期，筆者結(jié)合南通市2018年中考卷進行了部分考題的教學價值分析，明晰了教學的方向，現(xiàn)將其呈現(xiàn)，供大家參考.

一、抓住核心知識，培養(yǎng)應(yīng)用意識

核心知識是學段中最重要的數(shù)學知識，它們具有較強的應(yīng)用性和發(fā)展性，在解決問題和后續(xù)學習中能發(fā)揮出巨大的作用.因而，對核心知識的考查也就成為了中考的重點.綜觀2018年各地的中考卷，需要用到方程、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)的圖像及性質(zhì)等為代表的核心知識的考題屢見不鮮.中考試題的研究，理所應(yīng)當該透過試題找核心，從考題中發(fā)現(xiàn)我們“司空見慣”的那些數(shù)學知識中真正的“核心”，給它們以準確的教學定位，力求通過日常教學的強化，使學生逐步形成自覺應(yīng)用的意識.

題1：（原卷第24題）如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點E.連接OC、BE，相交于點F.

（1）求證：EF=BF；

（2）若DC=4，DE=2，求直徑AB的長.

考題簡析：本題是一道以圓為背景的綜合題，主要考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識.解答第（1）問可根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂徑定理逐步證得；解答第（2）問應(yīng)先證明四邊形EFCD是矩形，然后由勾股定理建構(gòu)出含有半徑r的方程r2=（r-2）2+42，進而求出直徑AB的長是10.顯然，第（2）問的解答需要用到勾股定理、方程、矩形的性質(zhì)與判定等學段核心知識.

教學啟示：與一般數(shù)學知識相比，核心知識具有較強的應(yīng)用性和發(fā)展性，在中考中有很多的應(yīng)用，因而它們理應(yīng)走向數(shù)學教學的“前臺”.在上面的分析中，之所以說勾股定理、方程等是學段核心知識，是因為在2018年南通卷中對這些知識的考查還有多處.先來說說說對勾股定理的考查，第27題至少三處需要用到勾股定理求解，其中有一處和題1一樣需要將勾股定理和方程鏈接在一起解題，第22題需要將勾股定理與三角函數(shù)結(jié)合起來解決實際問題.至于方程，全卷考查的“點”不下十處，如第20題的解方程，第25題的列方程解決實際問題，第18題的列方程解決幾何問題等.如此多的考查點分布，充分體現(xiàn)了勾股定理與方程的重要地位，一線教師務(wù)必高度重視.關(guān)于勾股定理，記得科學家曾試圖用它與外星人溝通，足見勾股定理在數(shù)學界的地位.從南通卷對勾股定理的多次同卷考查可見，初中學段的勾股定理教學絕不能僅僅停留在知其然的地步，我們應(yīng)努力在學生知其所以然的基礎(chǔ)上，讓他們經(jīng)歷更多的勾股定理與相關(guān)核心知識鏈接與融合的過程，使他們在分析問題和解決問題的過程中能將勾股定理作為一個重要的工具自覺提取出來并加以應(yīng)用.方程的重要性，筆者不再贅述了.通過2018年南通卷的分析發(fā)現(xiàn)，僅僅會解方程是不夠的.初中階段，學生學習了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（組）、分式方程等多種形式的方程，對這些方程的學習都是按照“定義—解法—應(yīng)用”的流程展開的，而且應(yīng)用主要側(cè)重于實際問題中的列方程與解方程.事實上，方程作為解題模型應(yīng)用的范圍是很廣的.在教學中，我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)更為豐富的數(shù)學情境或生活情境，讓學生反復經(jīng)歷“抽象數(shù)學問題—建構(gòu)方程模型—解模檢驗—解決問題”的過程，從而讓學生體會到方程模型的價值所在，不斷提高用方程解決實際問題和數(shù)學問題的能力.

二、滲透數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學思維

數(shù)學思想是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容.為了凸顯數(shù)學思想的價值，發(fā)揮中考的導向作用，在各地的中考卷中，都會設(shè)計一些指向抽象、分類、類比、模型、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的考題.面對這些考題，我們不僅要考慮數(shù)學基礎(chǔ)知識的價值，還應(yīng)從思想方法的角度挖掘考題的價值，從發(fā)展學生理性思維的高度明晰數(shù)學思想的教學方向.這種扎根于中考試題的深度研究，將有助于我們真正理解數(shù)學思想的價值，從而在教學過程中把握教學契機，滲透數(shù)學思想，讓學生在思想感悟與應(yīng)用中不斷發(fā)展數(shù)學思維，養(yǎng)成“言之有理，述之有據(jù)，反思質(zhì)疑”的良好習慣.

題2：（原卷第26題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2-2（k-1）x+k2-k（k為常數(shù)）.

（1）若拋物線經(jīng)過點（1，k2），求k的值；

（2）若拋物線經(jīng)過點（2k，y1）和（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍；

（3）若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值-，求k的值.

教學啟示：理性思維是一種較常見的思維方式，是建立在證據(jù)和邏輯推理法則之上的思維方式.可見，以理性思維為主的數(shù)學思維應(yīng)遵循邏輯性，追求嚴密性，它有著明確的方向，需要充分的依據(jù).上面的題2，就是一道能很好地考查學生數(shù)學思維的考題.結(jié)合考題分析不難發(fā)現(xiàn)，如果沒有理性思維的高度參與，在本題的解答過程中遺漏情形或誤增結(jié)果都是極有可能出現(xiàn)的.因而，在數(shù)學教學中，務(wù)必重視發(fā)展學生的數(shù)學思維.而隨著對中考試題的深入分析，我們還發(fā)現(xiàn)當大量數(shù)學思維參與解題時，一定會有許多數(shù)學思想蘊含其中.上面的題2自不必說，在對第（3）問中k的取值的探索過程中，需要分類討論，需要數(shù)形結(jié)合，還需要數(shù)學模型，幾種常見數(shù)學思想的作用都得到了極致發(fā)揮，而且只有將這些數(shù)學思想的價值真正發(fā)揮出來，我們才有可能正確地給出本題的求解過程.我們再來看試卷中的一道填空題：（原卷第13題）一個等腰三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則它的周長為______cm.本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系.給出的條件“等腰三角形兩邊的長為4cm和9cm”，并沒有明確底邊和腰，因此要分兩種情況討論：①當腰是4cm、底邊是9cm時，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去；②當?shù)走吺?cm、腰長是9cm時，能構(gòu)成三角形，則其周長=4+9+9=22（cm）.這道題同樣需要分類討論參與，而且僅僅分類討論還不行，最后還必須對所得結(jié)果能否滿足三角形三邊關(guān)系進行檢驗，這就需要數(shù)學思維的高度參與.所以，在數(shù)學教學中，我們應(yīng)該注意到數(shù)學思維往往與數(shù)學思想“伴生共長”這一特性，將發(fā)展學生的數(shù)學思維與數(shù)學思想教學結(jié)合在一起，有效融入教學進程中.在新知探索與問題解決過程中，要注意引導學生梳理其涉及的數(shù)學思想，并體會思維過程中不同數(shù)學思想的價值，從而養(yǎng)成堅持真理、修正錯誤、反思質(zhì)疑的意識和習慣.

三、注重實踐體驗，提高數(shù)學能力

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（下稱《課標（2011版）》）提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習……使學生增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”（下稱“四能”）.顯然，解答中考題不只需要知識，還需要一定的數(shù)學能力作為支撐.因而，只有我們在中考試題研究中厘清了解題的能力需求，才可能在接下來的教學中有的放矢地培養(yǎng)學生的數(shù)學能力.在2018年南通中考卷中，就存在著一些能力要求高于知識要求的考題，這些考題對一些具體的能力，如閱讀、作圖、運算、數(shù)據(jù)整理、建構(gòu)模型等顯性數(shù)學能力提出了較高的要求.而這些數(shù)學能力的養(yǎng)成，無一不與學生的自主實踐有著很大關(guān)聯(lián).因而，日常教學中，我們就應(yīng)圍繞中考解題所需要的數(shù)學能力設(shè)計一些能引導學生自主實踐的數(shù)學活動，讓他們在體驗中逐步形成個性化的數(shù)學能力.

題3：（原卷第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2t，0）、B（0，-2t）、C（2t，4t）三點，其中t＞0，函數(shù)y=的圖像分別與線段BC、AC交于點P、Q.若S△PAB-S△PQB=t，則t的值為______.

教學啟示：在數(shù)學教學中，教師對數(shù)學知識與技能一直都是十分重視的，在《課標（2011版）》引入了數(shù)學思想和數(shù)學基本活動經(jīng)驗后，“四基”才真正進入了一線教師的視野.要注意的是，雖然“四能”與“四基”同時出現(xiàn)在《課標（2011版）》中，但沒能引起一線教師的足夠重視.通過對2018年南通卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)命題人給出了多道考查閱讀、作圖、數(shù)據(jù)整理等數(shù)學能力的考題，這無疑給我們的教學敲響了警鐘.數(shù)學教學不僅要重視“四基”，還應(yīng)重視“四能”.我們應(yīng)根據(jù)學生能力發(fā)展的進程合理設(shè)置有梯度的數(shù)學活動，讓學生在自主實踐體驗中，不斷提升數(shù)學能力.比如，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力，我們可以從文本、圖形、符號等多個維度設(shè)計單獨或混合多種素材的閱讀材料，引導學生開展自主閱讀并提供相應(yīng)的指導與幫助，從而提高他們的數(shù)學閱讀能力；而作圖能力的提升離不開作圖過程的自主歷練，我們要在學生掌握基本作圖的情況下，引導他們進一步探索復雜圖形的規(guī)范作法，明晰其中的原理，并通過反復應(yīng)用，使這些作圖的方法與原理逐步固化為學生的作圖能力……

圖2

四、弘揚數(shù)學文化，涵養(yǎng)家國情懷

不管哪一門學科，都需要堅持正確的育人方向，數(shù)學也不例外.中考是具有明顯導向性的考試，一線教師應(yīng)堅持的正確育人方向?qū)芎玫伢w現(xiàn)在這場綜合性測試中.因而，在研究數(shù)學中考題時，除了關(guān)注考題涉及的“四基”和“四能”，我們還應(yīng)關(guān)注考題所蘊含的育人力量，努力挖掘并放大考題中的正能量.2018年的中考卷，試題情境十分豐富，除了常見的數(shù)學情境，還從我國古代數(shù)學家的研究成果和我國改革開放四十年輝煌成就中選取了很多典型素材作為考題背景.這些基于國家背景和時代背景的考題，意在讓考生和一線教師知道國家歷史之悠久，國家實力之強大，國家發(fā)展之快速……很好地傳遞中考命題人的家國情懷，這給一線教師帶來的啟示莫過于：在日常教學中注意弘揚祖國的優(yōu)秀數(shù)學文化，涵養(yǎng)學生的家國情懷.

題4：（原卷第15題）古代名著《算學啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之.意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里.慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為______.

考題簡析：本題是一道關(guān)于一元一次方程的名題，素材取自于我國元代數(shù)學家朱世杰的著作《算學啟蒙》.題中不僅給出了著作中的原題，還將其轉(zhuǎn)譯成現(xiàn)代文.這樣的命題設(shè)計，很好地體現(xiàn)了命題人的學生視角和數(shù)學視角：一方面，兩種文本的對照呈現(xiàn)，有效規(guī)避了文言文單一陳述可能帶來的閱讀偏差，減少“非數(shù)學錯誤”出現(xiàn)的機會；另一方面，兩種文本的對比，能讓學生很好地體會我國古代數(shù)學家取得的輝煌成就，初步感知這一成就在世界數(shù)學史中的領(lǐng)先地位，增強民族自豪感.解答本題，讀懂現(xiàn)代文陳述的數(shù)學問題并抽象數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵.根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，抓住題中給出的“快馬追上慢馬”這一結(jié)果，可以抽象出“快馬走的路程=慢馬12天走的路程+慢馬12天后走的路程”的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程240x=12×150+150x.

教學啟示：魯迅先生說：只有民族的，才是世界的.幾千年來，中華民族取得了豐碩的數(shù)學成就，為世界數(shù)學的發(fā)展作出了巨大貢獻.這些成就理應(yīng)成為數(shù)學教師最重要的教學素材，在日常教學活動中合理呈現(xiàn)并有效應(yīng)用.數(shù)學教學，育人為先.章建躍教授說數(shù)學教學要“發(fā)揮數(shù)學內(nèi)在的育人力量，謀求學生的長遠發(fā)展”，我想，弘揚祖國優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學文化應(yīng)該是有效的途徑之一吧.無論是過去、現(xiàn)在還是將來，一線教師都應(yīng)將國家成就與學生好好分享，隨時隨地有意識地激發(fā)學生對祖國的熱愛.如教學2018年南通卷第4題時，不僅要讓學生弄懂“如何用科學記數(shù)法表示827 000”，更要讓學生從“數(shù)字之大”上感知到“2017年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到827 000億元，穩(wěn)居世界第二”這一巨大發(fā)展成就及其獲得之不易.我想，只有如筆者所述這樣，將知識教學與情感育人融為一體，數(shù)學內(nèi)在的育人力量才能真正得以發(fā)揮出來，從而在弘揚祖國優(yōu)秀數(shù)學文化的同時，涵養(yǎng)學生的家國情懷.

研究中考試題，幾乎每一位初中數(shù)學教師都會做.緊盯新穎題和壓軸題，深度探索解題方法，本無可厚非，但如果只關(guān)注對這些考題解法的探索，而無視其教學價值分析，筆者認為這是十分不妥的.中考試題的價值是多維的，但指向教學無疑是最重要的.因而，我們研究中考題，更應(yīng)站在教學的角度分析考題：摸清考查的核心知識，在漸進訓練中發(fā)展學生的應(yīng)用意識；關(guān)注涉及的數(shù)學思想，在反復感悟中鍛煉學生的數(shù)學思維；理解試題的探索歷程，在實踐操作中提高學生的數(shù)學能力；把握考題的文化脈絡(luò)，在浸潤體驗中涵養(yǎng)學生的家國情懷……一年一度的中考又要來了，一大批“新鮮”的中考試題又將“迎面走來”，但愿本文所陳述的觀點與做法能給大家一些啟示.