踐行問題驅(qū)動教學(xué)：從習(xí)題走向“問題”

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星匯學(xué)校 李艷敏

從深刻理解初中數(shù)學(xué)知識來看，初中內(nèi)容多屬于幾百年之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且有很多數(shù)學(xué)習(xí)題的“歷史”也很長，有老師提出數(shù)學(xué)教學(xué)中對于例、習(xí)題的選擇不宜過分追所謂的“網(wǎng)紅題”是有一定道理的.結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗，筆者認為，“經(jīng)典問題”（本文所提出的“經(jīng)典問題”是指在不同時期教材上都曾出現(xiàn)過的一些例、習(xí)題）的教學(xué)研究是值得大家重視的.本文結(jié)合兩則習(xí)題教學(xué)通過改編設(shè)計成“問題”教學(xué)的案例，展開對“經(jīng)典問題”教學(xué)的思考，供研討.

一、從習(xí)題走向“問題”的教學(xué)案例

案例1：平行與平分的組合圖形教學(xué).

習(xí)題1：如圖1，已知∠ADE=70°，DF平分∠ADE，∠1=35°，求證：DF∥BE.

證明：∵DF平分∠ADE（已知），

∵∠ADE=70°（ ），

∴________=35°.

∵∠1=35（° ），

∴_____=_____（ ）.

∴_____（ ）.

圖1

教學(xué)組織：如果安排學(xué)生練習(xí)之后核對答案，并弄清每一步的推理依據(jù)就完成該題的教學(xué)，則是典型的“入寶山而空返”（羅增儒 語）.教過多年七年級的老師（或者練習(xí)多本不同練習(xí)冊也有此體會）會知道，這是一個經(jīng)典圖形，考查角度、變式設(shè)問多樣.如何實現(xiàn)這個“經(jīng)典圖形”教學(xué)效益的最大化？有如下一些建議：

問題1：如圖1，已知∠ADE=68°，DF平分∠ADE，∠1=34°，求證：DF∥BE.

先安排學(xué)生獨立思考，學(xué)生貫通思路后，分別請兩個學(xué)生上臺講解思路，再由各個學(xué)生書寫過程，并投影批改.

接下來，跟進系列變式，促進學(xué)生深入思考、學(xué)深、學(xué)透、學(xué)活：

變式1：（一般化）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF平分∠ADE，求證：DF∥BE.

教學(xué)組織：學(xué)生練習(xí)之后，教師指出原問題中的34°、68°只是揭示了∠ADE=2∠1，并無其他特別意義.

變式2：（條件、結(jié)論置換設(shè)問）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF∥BE，求證：DF平分∠ADE.

變式3：（增加解題層次設(shè)問）如圖1，已知∠ADE=2∠1，DF⊥AC，BE⊥AC，求證：DF平分∠ADE.

變式4：（增加解題層次設(shè)問）如圖1，已知∠ADF=∠EBC，DF⊥AC，BE⊥AC，求證：BE平分∠ABC.

最后，還可安排班級前三分之一水平的學(xué)生由這個圖形編擬一道幾何證明題，其余學(xué)生整理上述問題及系列變式的解題思路、完善課堂筆記.

隨想：“習(xí)題1”這樣的填空題在很多教輔資料或習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案中經(jīng)常出現(xiàn)，如果我們在備課時，將其開發(fā)成問題串式的題組，以系列變式與追問的形式呈現(xiàn)（或成果擴大式的問題設(shè)計），就是真正用心在備課了，否則備課時只是選題填滿一張8開紙的習(xí)題單式學(xué)案印發(fā)，教師本人也只是無趣的重復(fù)勞動，教學(xué)即研究終是一句空話.

案例2：正方形經(jīng)典習(xí)題教學(xué).

習(xí)題2：如圖2，點E為正方形ABCD的邊BC的中點，連接AE，作∠AEF=90°，交正方形的一個外角平分線于點F.求證AE=EF.

教學(xué)組織：這道習(xí)題不少教師講評之后都會針對點E進行位置變式，達到一題多變的教學(xué)追求.事實上，除了一題多變，這道習(xí)題還有很多不同解法，即一題多解也應(yīng)該在這道習(xí)題教學(xué)時得到體現(xiàn).以下就圍繞這道習(xí)題進行系列設(shè)計.

問題2：如圖2，點E為正方形ABCD的邊BC上任意一點，連接AE，作∠AEF=90°，交正方形的一個外角平分線于點F.求證AE=EF.

教學(xué)組織：獨立思考后，很多學(xué)生容易想到一種思路，即如圖3，在AB上截取BM=BE，構(gòu)造等腰直角三角形BME，再證△AEM △ECF即可.這時可預(yù)設(shè)以下兩種思路，“留白式”提供給學(xué)生完善思考.

圖2

圖3

小明的思路：如圖4，在AB的延長線上截取BN=BE，構(gòu)造等腰直角三角形BNE……進一步可以證明四邊形CFEN是平行四邊形……

小敏的思路：如圖5，連接AC，作EG∥AB，交AC于G點……

圖4

圖5

教學(xué)組織：安排學(xué)生閱讀理解之后，完善“小明的思路”“小敏的思路”，先在小組內(nèi)交流，再由小組推薦一個學(xué)生代表在全班匯報展示他們對“小明的思路”“小敏的思路”的補充與完善.

問題變式：當點E在線段BC的延長線上時，其余條件不變，繼續(xù)研究AE與EF的數(shù)量關(guān)系.

拓展問題：如圖6，將正方形ABCD放在平面直角坐標系中進行研究，設(shè)點B與坐標原點重合，正方形的邊長為2.點E（m，0），連接AE，以AE為一條直角邊作等腰直角三角形AEF，使∠AEF=90°.設(shè)點F的坐標為（x，y），分析y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計意圖：通過變式問題與拓展問題，使得該題的教學(xué)功能得到大大加強，學(xué)生對這類正方形問題的深層結(jié)構(gòu)也有了更深的理解.

圖6

二、關(guān)于經(jīng)典問題教學(xué)的進一步思考

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，精準選取經(jīng)典問題

當前不少數(shù)學(xué)教育研究者都積極倡導(dǎo)在深刻理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上開展數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的選擇和課堂教學(xué)設(shè)計，否則用力過多就有可能走偏方向，因為作為“教什么”的教學(xué)內(nèi)容永遠是第一位的.所以關(guān)于經(jīng)典問題的選取，需要基于我們對初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，找準一些經(jīng)典問題或經(jīng)典圖形，并從不同角度進行改編變式或生長拓展.上文“習(xí)題1”就是這樣的經(jīng)典問題，并且該題的圖形也是一個經(jīng)典圖形.從這個意義上說，能精準識別（也即“看得出”）經(jīng)典問題也是需要“眼力”的.

2.基于年級學(xué)情出發(fā)，精心預(yù)設(shè)變式問題

在選定“經(jīng)典問題”之后，就需要針對這些問題進行變式改編與生長拓展.這里需要從學(xué)生已有解題經(jīng)驗出發(fā)，想清學(xué)生所在年級，已學(xué)習(xí)哪些章節(jié)，有了哪些知識基礎(chǔ)，然后選定一個相對簡單的問題，讓絕大多數(shù)學(xué)生都能順利解決.這一點非常關(guān)鍵，因為我們常常見到有些導(dǎo)入問題非常繁雜，多數(shù)學(xué)生在處理這類問題的初始階段就被“拒之題外”，對后續(xù)變式改編、生長拓展的參與和研究非常不利.上文中“問題2”是學(xué)生在學(xué)習(xí)正方形之后非常熟悉的一類幾何習(xí)題，在學(xué)習(xí)全等時就有相關(guān)輔助線構(gòu)造的經(jīng)驗.所以選擇從這個問題出發(fā)，學(xué)生分組討論之后再開展變式改編就是基于學(xué)情而精心預(yù)設(shè)的.

3.從習(xí)題走向“問題”，踐行問題驅(qū)動教學(xué)

從上文案例梳理可以看出，我們先呈現(xiàn)的是“習(xí)題”，然后改編設(shè)計成“問題”，一字之別，意義重大.從習(xí)題走向“問題”，背后是解題教學(xué)價值觀的不同.具體來說，習(xí)題教學(xué)往往是淺層的，上一題講評之后接著是下一題，屬于應(yīng)試教學(xué)的題海訓(xùn)練；而“問題”教學(xué)就是開展“問題驅(qū)動”教學(xué)，帶有研究性味道，是引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的問題背景出發(fā)，用“探索未知世界”的方式去研究新問題、不同視角的問題，就解題教學(xué)來說，實現(xiàn)了“成果擴大”的追求，教學(xué)品質(zhì)顯然更高一些.

三、寫在后面

最近看到朋友圈一些同行轉(zhuǎn)發(fā)的某知名教育學(xué)專家一句話“他們都往大處做，往高處走，我估計了一下自己的能力，覺得自己只能往小處做，往深處走”，深有同感.對于一線教師來說，每天面對最多的就是習(xí)題，解題、批改作業(yè)、選題、編題、講評是教學(xué)常態(tài)，要把每天都在做的“習(xí)題”研究想深、想透，讓我們選題的眼力再敏銳一些，然后從習(xí)題教學(xué)走向“問題”教學(xué).想來，我們要修煉的專業(yè)基本功（比如，深刻理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)情、理解教學(xué)、命題能力等）還有很多.