以尋找思路為核心：教學(xué)生“學(xué)解題”
——從習(xí)題教學(xué)案例說(shuō)起

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 蔣駿哲

一、寫(xiě)在前面

近讀南京師范大學(xué)涂榮豹教授新著《數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考》，涂教授關(guān)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的原理有如下論述：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的任務(wù)，實(shí)際上是要教學(xué)生“學(xué)解題”，而現(xiàn)實(shí)中的解題教學(xué)大多是“叫”學(xué)生“解題”，或者是給學(xué)生“講”解題，并沒(méi)有把解題教學(xué)落到教學(xué)生“學(xué)解題”上.其實(shí)學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題，而是“學(xué)解題”.筆者深有同感，本文結(jié)合近期解題教學(xué)課堂上習(xí)題教學(xué)的案例，闡釋自己的一些實(shí)踐與思考.

二、習(xí)題教學(xué)案例

案例1：促進(jìn)學(xué)生積累基本圖形及性質(zhì).

例1如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BF平分∠CBA，交CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.若BC=3，AC=4，求CE的長(zhǎng).

圖1

圖2

教學(xué)記錄：經(jīng)過(guò)5分鐘的獨(dú)立思考后，多數(shù)學(xué)生只能求出AB=5，CD=2.4，后續(xù)沒(méi)有獲得進(jìn)展.為了啟發(fā)學(xué)生思考，我們不急于告知答案，也沒(méi)有安排個(gè)別已獲得答案的學(xué)生上臺(tái)展示，而是給出以下幾點(diǎn)思路啟發(fā)：

念頭1：該圖形中有一個(gè)等腰三角形，先找出來(lái)并證明；

念頭2：角平分線BF會(huì)啟發(fā)哪條重要輔助線？

念頭3：構(gòu)造輔助線后，是否得到一個(gè)新的直角三角形？該直角三角形的三條邊能否用一個(gè)未知數(shù)x表示不同邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程求解呢？

很多學(xué)生經(jīng)過(guò)這三個(gè)念頭的啟發(fā)，很快就發(fā)現(xiàn)等腰三角形CEF，于是待求的CE轉(zhuǎn)化為CF，進(jìn)一步在圖2中作出FH⊥AB，從而將目光聚焦到直角三角形AFH中，利用勾股定理獲得一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.

解后回顧與反思：解答之后，提醒學(xué)生以后遇到類似的看似沒(méi)有思路的幾何題，要學(xué)會(huì)自己向自己提這樣的方向性念頭.另外，要求最初沒(méi)有順利解出的學(xué)生整理記錄，并分解兩個(gè)基本圖形進(jìn)行整理：

基本圖形1：直角三角形中銳角平分線+斜邊上的高，一定會(huì)出現(xiàn)等腰三角形；

基本圖形2：角平分線的“比例”性質(zhì)，如圖1中，CF∶AF=BC∶AB.

教學(xué)隨感：提示思路、促進(jìn)解題者自己發(fā)現(xiàn)思路并貫通解題過(guò)程，而不是告知答案.前者是專業(yè)教師的“善于提問(wèn)”“善于引導(dǎo)”的基本功，后者只是針對(duì)這一道習(xí)題的解法展示.此外，解題能力強(qiáng)的學(xué)生往往是積累、收集、記憶、儲(chǔ)存這類基本圖形及性質(zhì)多的學(xué)生.所以，優(yōu)秀解題者遇到這種基本圖形出現(xiàn)時(shí)，就條件反射地有了方向或思路.

案例2：翻折問(wèn)題的多角度思考.

例2如圖3，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)C落在C′處. 若AB=6，AD′=2，求折痕MN的長(zhǎng).

教學(xué)記錄：這是八年級(jí)的一道練習(xí)題，八年級(jí)學(xué)生學(xué)過(guò)勾股定理、平行四邊形的有關(guān)知識(shí).學(xué)生經(jīng)過(guò)5分鐘獨(dú)立思考后，沒(méi)有獲得最終解答.部分學(xué)生的進(jìn)展是求出了AM、DM的長(zhǎng).我們通過(guò)對(duì)話追問(wèn)了不少優(yōu)秀學(xué)生的障礙，他們都把目光投向了右側(cè)一些直角三角形中，但是苦于缺少條件，無(wú)法進(jìn)展下去.為了幫助學(xué)生尋找思路，我們提供如下的啟發(fā)性念頭：

念頭1：在你們思考的基礎(chǔ)上，如果有八年級(jí)相似三角形的知識(shí)，也能夠順利繼續(xù)前行……目前此路難通；

念頭2：可另辟方向，如考慮翻折對(duì)稱，連接DD′，能不能求出它的長(zhǎng)度？

念頭3：容易想到線段DD′與MN的位置關(guān)系嗎？它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？如能攻克，則大功告成！

圖3

學(xué)生在上述思考的啟發(fā)下繼續(xù)思考，不到3分鐘，就有好幾名學(xué)生貫通了思路，筆者請(qǐng)他們上臺(tái)講解思路，待一名學(xué)生講解之后，有一半以上的學(xué)生都想通了思路.

案例3：雙角平分線與平行線綜合問(wèn)題.

例3如圖4，AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，E、F在DM上，連接BE、BF、CF.若BF平分∠DBC、BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù).

教學(xué)記錄：學(xué)生經(jīng)過(guò)5分鐘的獨(dú)立思考，基本沒(méi)有進(jìn)展.通過(guò)對(duì)話追問(wèn)幾個(gè)優(yōu)秀學(xué)生，他們都覺(jué)得條件太多，感覺(jué)無(wú)從下手，只解讀出幾個(gè)看似不太有用的結(jié)論.于是，為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，我們提供如下念頭：

念頭1：求∠EBC的關(guān)鍵是求哪個(gè)角？能否設(shè)這個(gè)角為α，便于后續(xù)推理演算？

念頭2：把目光投向頂點(diǎn)B處的一些角，這里雙角平分線BE、BF的夾角是多少度？結(jié)合以前積累的一些基本圖形及解題經(jīng)驗(yàn)，能否直接看出它的角度？

念頭3：用含α的式子分別表示∠ABD、∠BCN、∠FCB、∠BFC、∠FBC的度數(shù)；

念頭4：可以選擇在三角形BCF中，利用三角形內(nèi)角和得出關(guān)于α的方程，獲得解題思路的貫通.

經(jīng)過(guò)上述念頭的啟發(fā)，一些優(yōu)秀學(xué)生在5分鐘后就貫通了思路，想清了在△BCF中，∠FBC=45°+α，∠BFC=3α，∠FCB=90°-α，于是利用三角形內(nèi)角和得出α=15°，從而求得∠EBC=105°.

圖4

三、教學(xué)生“學(xué)解題”的幾點(diǎn)思考

1.理解習(xí)題結(jié)構(gòu)，預(yù)設(shè)啟發(fā)式提示語(yǔ)

教師在解題教學(xué)備課時(shí)不只是貫通思路、解出答案，而且要在此基礎(chǔ)上想清習(xí)題的深層結(jié)構(gòu)，對(duì)于較難習(xí)題還可辨析哪些步驟是關(guān)鍵步驟，有哪些可能的易錯(cuò)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)一些啟發(fā)式提示語(yǔ)，像上文中提供的一些念頭啟示都不是解題現(xiàn)場(chǎng)即興想出來(lái)的，而是課前就有充分的預(yù)設(shè)，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)障礙時(shí)就可適當(dāng)給出，這樣可提高課堂教學(xué)效率.另外，啟發(fā)式提示語(yǔ)要注意引導(dǎo)學(xué)生“回到習(xí)題”，學(xué)會(huì)審題，對(duì)一些關(guān)鍵條件充分解讀、關(guān)聯(lián)不同條件組合解讀，以便得到解題念頭.

2.基于理解學(xué)生，預(yù)設(shè)鋪墊式提示語(yǔ)

促進(jìn)學(xué)生尋找思路的解題教學(xué)在理解習(xí)題結(jié)構(gòu)的前提下，還要充分理解待教學(xué)生的學(xué)情，包括整體班情、個(gè)別優(yōu)秀學(xué)生的思維能力與層次水平，這樣在預(yù)設(shè)一些鋪墊式提示語(yǔ)之后，要有相應(yīng)學(xué)生能積極跟進(jìn)，以便教學(xué)對(duì)話順利進(jìn)行，一些學(xué)生率先跟上教師鋪墊式提示語(yǔ)之后，可安排他們上臺(tái)講解思路，讓更多學(xué)生能跟上思路.如果學(xué)生整體理解能力不強(qiáng)，則鋪墊式問(wèn)題要更加“密集”，跨度不能太大，要讓學(xué)生在鋪墊式問(wèn)題的提示之下，能獲得進(jìn)展，這樣學(xué)生才能通過(guò)解題收獲解題信心，有興趣參與解題、跟進(jìn)思考、“接力”思路進(jìn)展.

3.引導(dǎo)回顧反思，想清習(xí)題關(guān)鍵步驟

波利亞在名著《怎樣解題》中倡導(dǎo)解題教學(xué)要重視解后回顧與反思，在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生想清解題的關(guān)鍵步驟，一些易錯(cuò)點(diǎn)，一些容易看漏的條件信息，哪些是容易挖掘不深的條件，哪些條件可以組合、關(guān)聯(lián)起來(lái)助推思路進(jìn)展，等等.如果習(xí)題中有很多基本問(wèn)題或基本圖形存在，還需要引導(dǎo)學(xué)生分離、收集、積累這些基本圖形及其性質(zhì)，以便后續(xù)處理一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)遇到這類基本圖形及性質(zhì)能快速識(shí)別，獲得進(jìn)展.

四、寫(xiě)在后面

解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.如何開(kāi)展解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的基本課題、日常課題，很多名師、專家都對(duì)解題教學(xué)投入大量精力進(jìn)行研究，并形成了解題教學(xué)的諸多流派（如張景中院士倡導(dǎo)的“中巧說(shuō)”、傅學(xué)順教授倡導(dǎo)的“反應(yīng)塊”思想、顧泠沅教授總結(jié)的“變式教學(xué)”等）.對(duì)我們一線教師來(lái)說(shuō)，重要的不是“選邊站隊(duì)”，而是要通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕谭ǎh(yuǎn)離題海戰(zhàn)術(shù)，春風(fēng)化雨，帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)解題學(xué)會(huì)解題，悟得解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題智慧，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.