改編例、習(xí)題：讓“教教材”走向“用教材教”
——以人教版八下教材例、習(xí)題改編為例

☉江蘇省海安市海陵中學(xué) 吳 晶

鐘啟泉教授指出：“用教材教”與“教教材”是區(qū)分新、舊教學(xué)的分水嶺.所謂“教教材”，就是指那種照本宣科的講課本，講例、習(xí)題，而“教教材”則需要對教材內(nèi)容進(jìn)行深度理解.具體研讀教材的角度很多，我們見到的很多文獻(xiàn)中關(guān)于教材解讀側(cè)重于對數(shù)學(xué)知識引入、呈現(xiàn)或前后貫通的研究，針對教材上例、習(xí)題的改編研究則不是很多.本文結(jié)合具體的教材例、習(xí)題改編案例，闡釋我們的做法與思考.

一、教材例、習(xí)題改編案例

案例1：“海倫-秦九韶公式”習(xí)題改編.

教材以“閱讀理解”介紹了著名的“海倫-秦九韶公式”，并配一道習(xí)題：

在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=6，請用海倫-秦九韶公式求△ABC的面積.

這個(gè)知識點(diǎn)非常重要，不但是數(shù)學(xué)文化的教育與熏陶，而且在各級考試中經(jīng)常作為命題熱點(diǎn)，所以在期中考試、期末考試復(fù)習(xí)時(shí)仍然要進(jìn)行訓(xùn)練.但到了期中、期末考試時(shí)，不能像新授二次根式階段一樣教學(xué)，而應(yīng)該與不同單元的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行綜合，比如，將該知識點(diǎn)與勾股定理綜合起來，可以改編如下：

設(shè)計(jì)意圖：這道習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)秦九韶公式，然后運(yùn)算之后的講評環(huán)節(jié)可以引導(dǎo)學(xué)生再利用海倫公式算一次，比較不同公式的一致性.思維深刻的學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)這三邊長恰能圍成一個(gè)直角三角形，于是可以利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再直接利用兩條直角邊的乘積的一半來快速解出該三角形的面積，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性.

案例2：共頂點(diǎn)雙等腰直角三角形問題.

教材上勾股定理習(xí)題中有如下一道共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形問題：

如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上.求證：AE2+AD2=2AC2.（提示：連接BD）

解法簡析：該題比較經(jīng)典，在八年級上學(xué)期學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)就在不少教輔資料上進(jìn)行了比較泛濫的訓(xùn)練，一方面說明教輔資料的超前訓(xùn)練，另一方面說明這類問題更本質(zhì)的是考查全等三角形的判定，當(dāng)然，這類習(xí)題也是網(wǎng)絡(luò)上有些人總結(jié)的所謂“手拉手模型”.那么，該如何發(fā)揮這道習(xí)題的教學(xué)功能，追求做一題、會一類、通一片的教學(xué)效果呢？我們給出如下改編：

教材改編題2：如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上.

（1）連接BD，求∠BDC的度數(shù).

（2）若AE=3，AD=4，求AB的長.

（3）求證AE2+AD2=2AC2.

（4）探究線段AE、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（5）設(shè)CE=5cm，分析四邊形ACBD的面積是否變化.如果變化，指出它的面積最大值；如果不變，請說明理由.

改編意圖：通過上述5個(gè)系列問題，可以讓學(xué)生對這個(gè)基本圖形可能的一些設(shè)問都有所訓(xùn)練，對圖形中線段與線段之間的關(guān)系、角與角之間的關(guān)系、不同三角形之間的關(guān)系等都有較全面的研究，實(shí)現(xiàn)做一題、會一類的教學(xué)效果.另外，從九年級圓的角度來看，該題中四邊形ACBD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，將來可以站在更高的視角來理解這個(gè)問題的結(jié)構(gòu)，在圓的教學(xué)過程中或中考復(fù)習(xí)階段，仍然值得把這個(gè)圖形進(jìn)行改編開發(fā)成系列問題，發(fā)揮一題多練的教學(xué)功能.

圖1

案例3：折疊黃金矩形.

教材在平行四邊形一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)中安排了折疊黃金矩形，限于篇幅，這里不鏈接該題（該題在不少地區(qū)期末考試、中考試題中都曾出現(xiàn)過）.以下只是針對該教材活動(dòng)給出系列設(shè)問，如下：

問題1：圖形中只有一個(gè)黃金矩形嗎？為什么？

問題2：在圖形中能否再折疊一次，得到一個(gè)60°的角？

改編意圖：這兩個(gè)問題可將探究成果擴(kuò)大，并關(guān)聯(lián)教材上另一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙做60°、30°、15°的角”，有利于學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，也是踐行鄭毓信教授提出的“數(shù)學(xué)知識不求多，而求聯(lián)；數(shù)學(xué)習(xí)題不求難，而求變”.

案例4：研究絕對值函數(shù).

教材在一次函數(shù)一章的習(xí)題中初步給出了絕對值函數(shù)，如下：

（1）畫出函數(shù)y=|x-1|的圖像.

（2）設(shè)P（x，0）是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與x軸上表示-3的點(diǎn)的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像.

教學(xué)組織：這道題的兩小問之間看似條件互不關(guān)聯(lián)，但是第（1）問給第（2）問提供了解法指導(dǎo)，起到了預(yù)熱、鋪墊作用.教學(xué)時(shí)，要充分利用這種鋪墊式問題，在學(xué)生處理第（2）問遇到困難時(shí)引導(dǎo)學(xué)生退回到上一問，思考解題方向.在此之后，可給出如下變式問題：

設(shè)Q（0，t）是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與點(diǎn)（0，-3）的距離為s.

①求t的函數(shù)s的解析式；

②直接寫出該函數(shù)圖像的最低點(diǎn)坐標(biāo)：_______.

改編意圖：從x軸變式到y(tǒng)軸上一點(diǎn)，并利用絕對值函數(shù)的圖像分析最低點(diǎn)，對教材習(xí)題進(jìn)行鞏固和拓展，讓學(xué)生初步感受絕對值函數(shù)的一些性質(zhì).

二、改編教材例、習(xí)題的幾點(diǎn)思考

1.明辨教材例、習(xí)題的教學(xué)價(jià)值與地位

旅美數(shù)學(xué)教育學(xué)者馬立平博士所指出的深刻理解數(shù)學(xué)知識經(jīng)由鄭毓信教授推介之后，得到不少同行的積極響應(yīng)，近些年在不少課例研究、命題研究的文獻(xiàn)中都能看出研究者們對深刻理解數(shù)學(xué)知識的追求.我們關(guān)于改編教材例、習(xí)題的做法也是基于深刻理解初中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，比如，教材上例、習(xí)題很多，改編時(shí)如何取舍呢？需要站在初中階段數(shù)學(xué)知識的深刻理解的高度進(jìn)行選取.比如，上文案例1中，我們選定了海倫公式作為改編，同時(shí)關(guān)聯(lián)了勾股定理的逆定理，這些內(nèi)容（二次根式的化簡與運(yùn)算、勾股定理）都是初中階段的核心知識，同時(shí)滲透了數(shù)學(xué)文化.案例4中絕對值函數(shù)雖然不是初中階段的核心知識，但是改編習(xí)題主要是讓學(xué)生對點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式、函數(shù)概念、函數(shù)研究方法有深刻理解和靈活運(yùn)用.

2.變式改編要源于教材又高于教材

選取教材例、習(xí)題進(jìn)行變式改編，要源于教材又要高于教材.具體來說，有些考題明明與教材無甚關(guān)聯(lián)，卻被有些命題者貼上源于教材的標(biāo)簽.而像上文中的幾個(gè)題例，都是教材中明確存在的習(xí)題或活動(dòng)素材，這里針對它們的改編就不止于再練一次，重復(fù)訓(xùn)練，而是在原題的基礎(chǔ)上變式拓展、成果擴(kuò)大、走向一般.比如案例2，不僅有效訓(xùn)練了共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形帶來的性質(zhì)，同時(shí)將這個(gè)基本圖形可能的命題考查方向都帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行充分的探究，并且關(guān)聯(lián)著后續(xù)圓的知識.再比如案例3，教材只是研究折疊出一個(gè)黃金矩形，而我們再次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中還有另一個(gè)黃金矩形，這也是改編習(xí)題要“高于教材”的具體追求.

3.變式改編重在引領(lǐng)學(xué)生想深、學(xué)透

踐行教材例、習(xí)題變式與改編是研究教材的一種重要方式，而不是“另選”（更多的是快速從一些資源網(wǎng)站直接下載、復(fù)制而來）大量與教材無關(guān)的所謂中考試題、名校?？荚囶}.其目的是引領(lǐng)學(xué)生想深、學(xué)透，實(shí)現(xiàn)教材資源教學(xué)價(jià)值的更大化的一種追求.“鄭毓信教授倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)知識不求多而求聯(lián)，數(shù)學(xué)習(xí)題不求量而要求變”，以及通過例、習(xí)題教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生想深、想透，都是我們變式改編例、習(xí)題的努力目標(biāo).

三、寫在后面

教材研究是經(jīng)典教研課題，我們選擇改編例、習(xí)題的研究方式才剛起步，還有待深入，文中提及的一些題例打磨還不夠充分，期待更多同行參與研討，加深我們對改編教材例、習(xí)題的認(rèn)識.