用類比引導學生自然、合理地思考
——以人教版八年級下冊“19.2.2一次函數(shù)（第1課時）”教學設計為例

☉湖北省武漢市光谷第三初級中學 李景財

☉湖北省武漢市光谷實驗中學 周澤軍

筆者以2017年全國初中數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課評比中的一節(jié)課人教版八年級下冊“19.2.2一次函數(shù)（第1課時）”的教學設計為例，談談“用類比引導學生自然、合理地思考”這個話題.本課是一節(jié)概念課，類比思想貫穿課堂始終.回顧正比例函數(shù)的研究內(nèi)容，類比推測一次函數(shù)的學習內(nèi)容；溫習正比例函數(shù)的定義及形成過程，類比預設、生成一次函數(shù)的學習步驟及定義；在反思提升環(huán)節(jié)，通過揭示類比思想，讓學生整體感受本課的學習方式；在課外延伸環(huán)節(jié)，引導學生用類比的思想探究下節(jié)課的學習內(nèi)容，延伸課外學習.

一、教學過程設計及說明

1.創(chuàng)設情境，感受學習函數(shù)的必要性

環(huán)節(jié)1：情境導學.

問題1：觀看視頻——烏鴉喝水.

思考：假設故事中的瓶子為圓柱形，每個石子的體積相同，瓶子里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，那么放x粒石子后，水瓶里的水深ycm怎樣表示呢？

設計意圖：烏鴉喝水的視頻激發(fā)了學生的學習興趣與求知欲，營造了輕松的學習氛圍，同時感知數(shù)學源于實際生活，初步體會了建立函數(shù)模型的思想，感受到學習新知的必要性，引出課題.

2.回顧相關知識，類比推測學習內(nèi)容

問題2：大家回憶一下正比例函數(shù)，你能總結(jié)出正比例函數(shù)研究了哪幾個方面的內(nèi)容嗎？

生：正比例函數(shù)的定義、正比例函數(shù)的圖像、正比例函數(shù)的增減性、正比例函數(shù)的應用.

問題3：類比正比例函數(shù)的學習內(nèi)容，你能推測一下一次函數(shù)要研究哪些內(nèi)容嗎？

生：一次函數(shù)的定義、一次函數(shù)的圖像、一次函數(shù)的增減性、一次函數(shù)的應用.

設計意圖：通過回顧正比例函數(shù)研究的內(nèi)容、線索，類比得出一次函數(shù)研究的內(nèi)容、線索，讓學生對本節(jié)有一個整體的認識，使學生了解函數(shù)研究的基本內(nèi)容、思路與方法，積累了函數(shù)學習的經(jīng)驗，增強學習的預見性與主動性.

3.溫習定義步驟，提煉定義方式

問題4：正比例函數(shù)的概念是如何形成的呢？

師：請同學們看課本第86頁的思考至第87頁練習以上的部分，歸納正比例函數(shù)的概念是如何形成的.

生：從課本上我們不難看出，正比例函數(shù)定義的形成歷經(jīng)了下面三步：實際問題→抽取出解析式→從解析式的形式特征上定義.

設計意圖：通過復習課本，提煉出正比例函數(shù)定義的形成需要經(jīng)歷的三個步驟，為探究一次函數(shù)的定義提供了方法，積累了經(jīng)驗.

評析：以上情境導學環(huán)節(jié)，通過觀看視頻使學生感受函數(shù)學習的必要，激發(fā)了學生的學習欲望；通過問題1～4，讓學生回顧了正比例函數(shù)學習的知識結(jié)構，溫習了正比例函數(shù)定義形成的方法，類比得出本節(jié)課的學習內(nèi)容和方法，從而樹立了學習的信心，為自主學習、探究學習做好了心理準備.

4.遷移定義方式，類比生成新概念

環(huán)節(jié)2：活動研學.

活動1：感悟概念.

問題5：下列問題中，兩變量間是函數(shù)關系嗎？若是，請寫出函數(shù)關系式.

①有人發(fā)現(xiàn)，在20℃～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)C與溫度t（℃）有關，即C的值約是t的7倍與35的差；

②一種計算成年人標準體重G（單位：kg）的方法是，以厘米為單位量出身高值h，再減常數(shù)105，所得差是G的值；

③某城市市內(nèi)電話的月收費額y（單位：元）包括月租費22元和撥打電話xmin的計時費（按0.1元/min收?。?；

④某登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃，登山隊員由大本營向上登高xkm時，他們所在的位置的氣溫是y℃，試寫出y與x之間的關系式.

活動2：形成概念.

問題6：請大家類比正比例函數(shù)概念的形成過程，思考該怎樣學習一次函數(shù)的概念.

問題7：觀察以上出現(xiàn)的函數(shù)解析式，通過類比正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的定義方式，你能寫出一次函數(shù)的一般表達式嗎？

問題8：關注一次函數(shù)的一般表達式的特征，你能提出哪些問題？

生問1：從自變量的次數(shù)來看有何特征？

生答1：自變量x的次數(shù)都是1.

生問2：從解析式右邊的書寫形式與項數(shù)來看有何特征？

生答2：解析式右邊都是關于自變量x的一次二項式.

生問3：等式右邊的kx與b分別是什么項？

生答3：kx是一次項，k是一次項系數(shù)，b是常數(shù)項．

生問4：y是關于自變量x的幾次函數(shù)？

生答4：y是關于自變量x的一次函數(shù)．

生問5：解析式中的字母k、b有什么限定嗎？

生答5：k為常數(shù)，k≠0，k、b為常數(shù).

生問6：能類比正比例函數(shù)的概念，歸納出一次函數(shù)的概念嗎？

生答6：一般地，形如y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)．（師板書）

設計意圖：通過一組實際問題，寫出了幾個函數(shù)解析式；通過問題6～7，組織學生自問自答，搭建基于學生經(jīng)驗的自主學習，引導學生觀察、歸納、比較各式的特征，發(fā)現(xiàn)一類不同于正比例函數(shù)的函數(shù)，培養(yǎng)提出問題、分析問題的能力，訓練數(shù)學建模與數(shù)學抽象思維能力；通過形式類比，讓學生在對比、分析、思考、遷移過程中，經(jīng)歷一次函數(shù)概念的構建過程.

評析：在初中數(shù)學教學中，學生對于概念本質(zhì)的理解是學習的一個難點，采用類比教學是化解該難點的一種有效途徑與方法.本課對概念的定義形式采用類比的方法，先從形式上類比構建一次函數(shù)的定義式，再通過生生的互問互答，破解對概念的疑問，加深對概念的理解.

5.類比相近知識，厘清知識關系

活動3：理解概念.

問題9：對比y=kx+b（k≠0）與y=kx（k≠0），回答下列問題：

①一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的b可以為0嗎？當b=0時，y=kx+b（k≠0）變成了什么函數(shù)？

②一次函數(shù)與正比例函數(shù)有何關系？

③請在（1）和（2）兩個區(qū)域內(nèi)填上一次函數(shù)與正比例函數(shù).

設計意圖：讓學生對比兩種函數(shù)概念，引發(fā)學生的思維沖突，自主尋找得出一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關系.

圖2

6.類比設計變量，突破教學難點

環(huán)節(jié)3：檢測評學.

活動4：應用概念.

我活用——故事的延續(xù)……

問題10：在前面烏鴉喝水的故事中，假設瓶子為圓柱形，每粒石子的體積相同，瓶里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，瓶高10cm，烏鴉嘴長2cm，投入的石子的粒數(shù)為a，請分組寫出下列變量關于a的關系式.

①水面的高度x；②水面上升的高度y；③水面與瓶口的距離Z.

活動要求：①小組合作討論；②第1～3組寫x與a的關系式，第4～6組與y與a的關系式，第7～8組寫Z與a的關系式.

問題11：在上面出現(xiàn)的幾種情況中，每種情況最少投入多少粒石子，烏鴉正好可以喝到水？

追問1：借助三個函數(shù)關系式求得的同體積石子的粒數(shù)一樣嗎？

追問2：通過一致的結(jié)果我們可以得到什么啟示呢？

設計意圖：問題10采用了思維方式的類比，設不同的函數(shù)，列出三個不同的一次函數(shù)，使“運用一次函數(shù)解決實際問題”的難點得以突破；通過追問“至少投入多少粒石子，烏鴉正好可以喝到水”，把函數(shù)與方程聯(lián)系起來，讓學生感知函數(shù)中的變量與方程中的未知數(shù)是可以互相轉(zhuǎn)化的；通過不同的解析式，發(fā)現(xiàn)求得的結(jié)果相同，讓學生認識到一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的一個重要數(shù)學模型，感悟函數(shù)的思想，提升對函數(shù)本質(zhì)的感悟，使學生的思維上升到一個新高度.

評析：數(shù)學思維的呈現(xiàn)形式常常是隱蔽的，難以從教材中獲取.教師應在教學中有目的、有意識地進行思維方法的滲透．通過類比思維，設不同的變量，建立不同的函數(shù)，暴露利用三個不同函數(shù)解決同一問題的思維，使思維得到不同層次的訓練，不同的學生得到不同的發(fā)展.

7.提煉類比思想，感悟?qū)W習方式

環(huán)節(jié)4：反思提升.

問題12：本節(jié)課中，你學到了什么？

小組合作，將本節(jié)課學到的內(nèi)容整理成知識結(jié)構圖，畫在草稿紙上，然后上臺展示、分享.之后，教師出示自己設計的知識結(jié)構圖，供學生借鑒.

圖3

設計意圖：讓學生通過合作交流的方式養(yǎng)成回憶、總結(jié)、歸納的好習慣，便于學生及時將新知識納入已有的知識系統(tǒng)，加深對概念的理解與思維的升華.通過課堂小結(jié)揭示了貫穿知識導圖的暗線——類比思想，讓學生再次感悟類比學習的方式.

8.運用類比思想，創(chuàng)新作業(yè)設計

環(huán)節(jié)5：課外延伸.

（1）課本第90～91頁練習第2、3題.

（2）探究：類比正比例函數(shù)的學習內(nèi)容，列舉一到兩個一次函數(shù)的實例，給出它們的解析式并畫出函數(shù)圖像，探究函數(shù)的性質(zhì)，下節(jié)課以小組為單位展示你們探究的成果.

設計意圖：授人以魚不如授人以漁.通過基礎題訓練，鞏固、理解概念，使學生學會運用類比思想，設計探究性問題，讓學生通過類比方法，探究一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，培養(yǎng)學生自主學習的意識與能力，使學生會學.

二、課例反思

本課以類比教學為主要學習方法，從正比例函數(shù)的知識結(jié)構類比出一次函數(shù)的知識結(jié)構，明確學習內(nèi)容與方向；從正比例函數(shù)的定義方式類比出一次函數(shù)的定義方式，明確定義的方法；從正比例函數(shù)解析式的形式類比一次函數(shù)解析式的形式，明確定義式的結(jié)構；在課堂小結(jié)中提煉類比思想，完善知識結(jié)構；在課外延伸中運用類比思想，創(chuàng)新作業(yè)設計，指導課外學習，整節(jié)課利用類比引導學生自然、合理地思考與探究.

1.類比教學有利于激發(fā)學生的求知欲

波利亞說：“類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉.”在教學過程中，借助類比的思想方法，從已有知識出發(fā)，聯(lián)系新知識，此時學生的自信心大增，喚起了學生自主探究新知、發(fā)現(xiàn)新知的欲望；探究中學生又感受到發(fā)現(xiàn)數(shù)學奧秘的樂趣與成功感，較大地激發(fā)了學生的學習情感，可謂情生智、智激情、情智相生，由此可知“類比教學是激發(fā)學生求知欲的一劑良方”.

2.類比教學有利于促進學生自主探究

波利亞曾說：“新課題的解決是通過與已知課題類比實現(xiàn)的.”新課程標準倡導自主探究、自主構建的學習方式.類比教學立足最近發(fā)展區(qū)，通過舊知，在類比中同化新知，并納入認知結(jié)構，在潛移默化中融入自主探究的學習方式.本課通過正比例函數(shù)的知識內(nèi)容、定義方式類比出一次函數(shù)的學習內(nèi)容、定義方式，為學生營造自主探究的學習場域，讓學生經(jīng)歷了新知發(fā)現(xiàn)和自主構建的過程，感悟了研究問題的基本方法，所以說類比是引導學生實現(xiàn)自主合作探究的有效途徑.

3.類比教學有利于形成有意義的學習

知識結(jié)構化是達成有意義學習的主要方式，采用知識結(jié)構類比教學更有利于有意義的學習.本課中以正比例函數(shù)的知識結(jié)構類比出一次函數(shù)的知識結(jié)構，使學生明確了一次函數(shù)的學習內(nèi)容與方法，同時揭示了函數(shù)學習的結(jié)構，為今后學習二次函數(shù)、反比例函數(shù)明確方向并提供經(jīng)驗.類比教學有利于知識的整體構建，適用于單元結(jié)構教學.

4.類比教學有利于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

類比是數(shù)學研究與數(shù)學發(fā)現(xiàn)中常用的邏輯思維方法.課堂上，若能讓學生在問題的探究過程中用類比方法去感悟和理解教學內(nèi)容，學生既能掌握知識本身，又能積累數(shù)學活動經(jīng)驗，更有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)與系統(tǒng)結(jié)構抽象素養(yǎng).本節(jié)課中，知識結(jié)構的類比，培養(yǎng)學生的預判、猜想等合情推理能力、抽象思維能力；方法的類比，培養(yǎng)遷移、歸納的能力；思維方式的類比，暴露了思維的痕跡，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，所以說類比教學有利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

“類比是一個偉大的引路人.”用類比引導學生自然、合理地思考，激發(fā)了學生的潛能，促進了學生自主合作探究的學習，構建了富有生命與思維的課堂，這應是教師們所追求的課堂.