一個三次等時中心在非光滑擾動下的極限環(huán)分支

宋海風,彭臨平,2

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,北京 100191)

(2.北京航空航天大學數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

1 引言

眾所周知,研究多項式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)是實平面微分系統(tǒng)定性理論的重要部分之一,這類問題的主要研究方法有逆積分因子法,Abelian積分法及平均方法等.對于光滑系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù),已經(jīng)得到了很多重要結論[1?10].

由于非光滑現(xiàn)象廣泛存在于自然科學和工程技術等領域,近年來非光滑系統(tǒng)越來越被重視,特別是關于非光滑系統(tǒng)極限環(huán)分支的研究工作更是層出不窮,其中有兩個重要的工作要特別指出:Liu和Han研究了平面分段光滑的Hamilton系統(tǒng)的閉軌族的極限環(huán)分支問題,推導證明了分段光滑系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)計算公式[11];Llibre等介紹了不連續(xù)系統(tǒng)的平均理論,給出了平均函數(shù)的表達式[12].又如Liang和Han利用Melnikov方法,研究了擦邊閉軌內外兩側閉軌族分支出的極限環(huán)的最大個數(shù),給出了廣義同宿分支的條件及二重廣義分支的條件[13].Li和Liu研究了分段光滑二次微分系統(tǒng)的閉軌族的極限環(huán)分支問題,借助于不連續(xù)微分系統(tǒng)的平均理論和復方法,估計了所考慮的系統(tǒng)在n次擾動下分支產生的極限環(huán)的最大個數(shù)[14].Cen等利用一階平均方法及Chebyshev準則,研究了一類二次等時中心在分段光滑的二次多項式擾動下的極限環(huán)分支現(xiàn)象,給出了分支產生的極限環(huán)的最大個數(shù)[15].

本文選取了如下三次可積非Hamilton系統(tǒng)

顯然,系統(tǒng)(1.1)有首次積分

系統(tǒng)(1.1)的相圖如圖1所示.

圖1 :系統(tǒng)(1.1)的相圖

利用非光滑系統(tǒng)的一階平均方法,研究系統(tǒng)(1.1)的任意分段三次多項式小擾動即

的極限環(huán)分支現(xiàn)象,其中0<|ε|?1,Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)是關于變量x和y的三次多項式,表達式如下

根據(jù)系統(tǒng)特點,借助于一些數(shù)學技巧,證明了下述定理.

定理1.1對于三次等時中心(1.1),在任意小的分段三次多項式擾動下,從未擾系統(tǒng)的周期環(huán)域中至多分支出7個極限環(huán),而且此上界是可以達到的.

注 Li和Zhao已在文獻[1]中研究了系統(tǒng)(1.1)在光滑擾動情況下的極限環(huán)分支問題,得到的結論是最多可以從未擾動系統(tǒng)的周期環(huán)域中分支出3個極限環(huán).與得到的結論相比可知,非光滑擾動比光滑擾動能分支出更多的極限環(huán).

本文的結構安排如下:第二部分簡要介紹非光滑系統(tǒng)的一階平均理論；第三部分計算系統(tǒng)(1.2)的一階平均函數(shù)；第四部分證明定理1.1.

2 非光滑系統(tǒng)的平均理論

在定理1.1的證明過程中將會用到一階平均方法,所謂的平均方法即是將極限環(huán)的個數(shù)問題轉化為研究一階平均函數(shù)的簡單零點個數(shù).下面首先對平均理論做一個簡單介紹,詳細論述見文獻[12,16,17].

引理2.1[12]考慮如下非光滑微分系統(tǒng)

其中

F1,F2:R×D→R,R1,R2:R×D×(?ε0,ε0)→R,h:R×D→R都是連續(xù)函數(shù),且這些函數(shù)均是關于變量θ以T為周期的周期函數(shù),D是R中的開子集,sign(h)是如下定義的符號函數(shù)

假定h(θ,r)是C1函數(shù)且0為其正則值,記M=h?1(0),Σ ={0}×D*M,Σ0=定義系統(tǒng)(2.1)的一階平均函數(shù)f:D→R如下

假定系統(tǒng)(2.1)滿足下面(i),(ii),(iii)三個條件.

(i)F1,F2,R1,R2和h關于r滿足局部Lipschitz條件;

(ii)對于a∈Σ0,存在a的一個鄰域V,使得對任意的z∈ˉV{a},有f(z)6=0及Brouwer度函數(shù)dB(f,V,a)6=0;

為了更方便地驗證引理2.1中的條件(ii),本文中我們用文獻[16]中一個充分條件來代替條件(ii).

注2.1假定f:D→R是C1函數(shù)且f(a)=0,其中D是R中的開子集且a∈D.如果雅克比行列式Jf(a)6=0時,存在a的一個鄰域V使得對所有的有

考慮如下形式的平面微分系統(tǒng)

其中P(x,y),Q(x,y),p(x,y),q(x,y):R2→R是連續(xù)函數(shù),ε是小參數(shù).假設系統(tǒng)(2.3)|ε=0圍繞中心(0,0)的周期環(huán)域

其中H(x,y)=h是系統(tǒng)(2.3)|ε=0的一個首次積分,hc和hs分別對應中心和分界線處的Hamilton函數(shù)值.

引理2.2[16]考慮系統(tǒng)(2.3)|ε=0及其首次積分H(x,y)=h.假設對于周期環(huán)域中的所有(x,y),都有xQ(x,y)?yP(x,y)60成立.設是一個連續(xù)函數(shù),并且對所有的和θ∈ [0,2π)都有

其中μ=μ(x,y)是系統(tǒng)(2.3)|ε=0相應于首次積分H(x,y)=h的積分因子,x=ρ(r,θ)cosθ,y= ρ(r,θ)sinθ.P,Q,p 和q 同前.

3 平均函數(shù)的計算

對于系統(tǒng)(1.1)的Hamilton函數(shù)

選擇如下的函數(shù)

使得

對系統(tǒng)(1.2)做變換

則有

其中

這里Pi(θ,r)和Qi(θ,r)是(1.2)式中的Pi(x,y),Qi(x,y)(i=1,2)通過(3.1)式變換得到的.令

則系統(tǒng)(3.2)可以寫成以下標準形式

其中

易驗證方程(3.3)滿足引理2.1中的三個條件,其一階平均函數(shù)為

對上式中第二個積分做變量替換θ→π?θ,則(3.4)式轉化為

其中

直接計算可得下列結論.

引理3.1以下積分等式成立

將引理3.1代入(3.5)式整理得

其中

且

命題3.1式(3.6)中的8個函數(shù)fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)是線性無關的且系數(shù)k1,k2,···,k8關于擾動參數(shù)是相互獨立的.

證 易知函數(shù)fi:(0,+∞)→R(i=1,2,3,4,5,6,7,8)在r=0處的泰勒展開式分別為

通過計算可以得到

所以這些函數(shù)是線性無關的.進一步有

由此可知系數(shù)k1,k2,···,k8關于擾動參數(shù)是相互獨立的.

4 主要結果的證明

這一部分主要研究f(r)的零點個數(shù),為此介紹一個重要的引理.

引理4.1[2]考慮n個線性無關的解析函數(shù)hi(x):D→R,i=1,2,···,n,其中D?R是一個區(qū)間.假設存在k∈{1,2,···,n}使得hk(x)在D 上不變號,則一定存在n個常數(shù)ci(i=1,2,···,n) 使得在D上至少有n?1個簡單零點.

由此引理及命題3.1得

命題4.1函數(shù)f(r)在區(qū)間(0,+∞)上零點個數(shù)的最大值至少為7.

定理1.1的證明為了估計f(r)在r∈(0,+∞)上零點個數(shù)的最小上界,令F(r)=rf(r).顯然F(r)和f(r)在r∈(0,+∞)上有完全相同的零點個數(shù).進一步有

對F(r)求五階導得

那么

則函數(shù)(4.1)變?yōu)?/p>

其中

由于多項式B(t)的系數(shù)是對稱的,若t06=0是其零點的話,則1/t0也為其零點,所以g(t)在(0,1)上至多有3個零點,即F(5)(r)在(0,+∞)上至多有3個零點,從而F(r)在[0,+∞)上至多有8個零點.由于F(0)≡0,所以F(r)在(0,+∞)上至多有7個零點,由其定義知函數(shù)f(r)在(0,+∞)至多有7個零點.再根據(jù)命題4.1得f(r)零點個數(shù)的最大值為7.

根據(jù)引理2.1,系統(tǒng)(1.2)至多有7個極限環(huán)從未擾動系統(tǒng)的周期環(huán)域中分支出來,而且最大個數(shù)7是可以達到的.定理1.1得證.