逆散射問(wèn)題求解的正則化GAUSS-NEWTON法

閔 濤,仝云莉

(西安理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,陜西西安 710054)

1 引言

逆散射問(wèn)題在遙感、無(wú)損探測(cè)、地球物理、醫(yī)用成像和雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別等方面[1?4]有著廣泛的應(yīng)用.但由于此類(lèi)問(wèn)題具有非線性、不適定的特點(diǎn),給數(shù)值求解帶來(lái)了很大困難.20世紀(jì)60年代,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家吉洪諾夫、伊萬(wàn)諾夫和拉弗倫捷耶夫等提出了不適定問(wèn)題正則化方法,隨后,很多學(xué)者對(duì)逆散射問(wèn)題進(jìn)行了卓有成效的研究.Jost等人[5]提出了逆散射微擾論,Moses[6]和Prosser[7?10]等人對(duì)此作了進(jìn)一步的研究,研究了一維和三維逆散射問(wèn)題,對(duì)解誤差進(jìn)行了分析和估計(jì),隨后Newton等人[7?8,11?14]對(duì)一維和三維逆散射問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究,并對(duì)解的唯一性進(jìn)行了討論.Colton等人[15?18]利用積分方程方法對(duì)聲波和電磁波逆問(wèn)題作了深入研究.其中,對(duì)逆散射理論發(fā)展貢獻(xiàn)最大的是Bleistein[19?26]和Cohen等人[27?29],他們以小擾動(dòng)理論和Born近似為理論基礎(chǔ),建立了利用Fourier變換等方法進(jìn)行反演的理論,最終形成了逆散射反演方法.本文在對(duì)障礙物的邊界進(jìn)行參數(shù)化處理的基礎(chǔ)上,將逆散射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一非線性積分方程,通過(guò)數(shù)值積分離散,提出利用迭代正則化高斯-牛頓法來(lái)求解,并進(jìn)行了數(shù)值模擬.

2 逆散射模型的建立

散射是指由光波、音波、電磁波或粒子在通過(guò)均勻介質(zhì)時(shí),遇到區(qū)域大小為?、邊界為Γ的障礙物而改變其直線運(yùn)動(dòng)軌跡的物理現(xiàn)象.為了計(jì)算方便,我們主要考慮二維區(qū)域并假定散射區(qū)域?是呈星形的,即在散射區(qū)域?中,存在連續(xù)的正函數(shù)R(θ)(0≤θ<2π),使得邊界Γ上的點(diǎn)用極坐標(biāo)表示為(R(θ),θ).假定入射波為波矢為k0的簡(jiǎn)諧波,即ψin(r)=exp(ik0·r),障礙物中的波數(shù)k1是一個(gè)常量.令ψsc(r)表示散射區(qū)域,總區(qū)域滿足微分方程

如果平面波正常照射介質(zhì)柱的軸線,并且電場(chǎng)E的兩極沿軸線分布在兩端,該散射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解方程 (1),其中 ψ =E,波數(shù)是真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率,εr,σ是障礙物的相對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率.

從入射角?處的遠(yuǎn)場(chǎng)散射數(shù)據(jù),得到散射振幅為

這種情況下

表示散射振幅和δB的Born近似[30?32].與SB相比,Born近似導(dǎo)致的誤差是很小的.

為了求方程(4)的導(dǎo)數(shù)近似,首先利用方程(1)和輻射邊界條件下區(qū)域ψ中邊界Γ的光滑性,得到格林函數(shù)表示為

對(duì)于模型的離散測(cè)量數(shù)據(jù),考慮

其中εi表示噪聲.假設(shè)εi是隨機(jī)變量,滿足

其中如果r∈?(0除外),則I?(r)=1.q用極坐標(biāo)表示為(2k0,?),Born近似所導(dǎo)致的誤差包含在ηj中.

為了解決反問(wèn)題的數(shù)據(jù)缺失和不適定性,使問(wèn)題更容易處理,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行降維處理.假設(shè)散射區(qū)域?呈星形,方程(7)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)表示

其中

方程(8)可以轉(zhuǎn)化為一維非線性第一類(lèi)Fredholm積分方程

一般來(lái)說(shuō),該方程的解R(θ)不連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)d(?).

3 迭代正則化Gauss-Newton法

方程(9)可以歸結(jié)為求解非線性方程F(γ)=y,這里

其中

k0是固定波數(shù),γ(ψ)未知[1,2,33].

在實(shí)際問(wèn)題中,右端數(shù)據(jù)y通常是由測(cè)量得到的,因而得到的數(shù)據(jù)是一個(gè)滿足kyδ?yk≤δ的近似數(shù)據(jù)yδ,這里δ>0是給定的較小的擾動(dòng)水平[34?35].

求解不適定問(wèn)題的方法主要有兩種:Tikhonov正則化和迭代法,本文主要采用迭代正則化Gauss-Newton法求解逆散射問(wèn)題.

定義泛函

其中α>0為正則化參數(shù),?(γ)為穩(wěn)定泛函.要求無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題(11)的解,首先將算子F線性化,利用F(γ)在第k次迭代點(diǎn)γk處的泰勒展開(kāi)式,得到

其中?(γ)=kL(γ?γ0)k為穩(wěn)定泛函,L是單位矩陣(L=L0=I∈Rn×n)或者是一階或二階導(dǎo)算子的離散近似,即

其中δij為克羅內(nèi)克符號(hào),j=1,2,···,n.方程(12)通過(guò)一階最優(yōu)條件求解,可得到

(13)式稱為迭代正則化Gauss-Newton法[36?37],簡(jiǎn)記為IRGN法.

要利用此方法數(shù)值求解逆散射問(wèn)題(10),需要將其離散化,本文采用梯形公式將其離散.將公式(13)改寫(xiě)為如下形式

其中hk=γk+1?γk,要得到F0(γk)TF0(γk),需要求解非線性算子F 的Fr′echet導(dǎo)數(shù).

邊坡工程按持久工況(天然工況)和短暫工況(暴雨工況)兩種工況利用理正軟件進(jìn)行計(jì)算設(shè)計(jì)。本次穩(wěn)定計(jì)算及邊坡設(shè)計(jì)安全系數(shù)具體取值為表2。

上述(14)式定義的算子是[0,2π]上的線性連續(xù)算子.

事實(shí)上,對(duì)于確定的θ=θ(h)∈[0,1],有

因此F 的Fr′echet導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)(14)式得到.

利用梯形公式將方程(14)進(jìn)行離散:把區(qū)間[0,2π]等分成N 個(gè)小區(qū)間,其步長(zhǎng)為同理 ψ0= φ0=0,ψN= φN=2π,φj=j4s(ψj= φj).設(shè) γ(ψj)= γj,則有

改寫(xiě)成矩陣形式為

其中

因此得到迭代格式γ(k+1)=γ(k)+h(k),通過(guò)此格式便可求出方程(10)的近似解.

4 數(shù)值模擬

考慮方程(10)所示的逆散射問(wèn)題,在數(shù)值求解之前 ,先做如下規(guī)定fl其中ψj為節(jié)點(diǎn),N為區(qū)間[0,2π]上均勻分布的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù),γ(ψ)為精確解,～γ(ψ)為數(shù)值解.

(3)在數(shù)值計(jì)算時(shí),假定擾動(dòng){yδ(φj)}Nj=0是隨機(jī)的,但是在實(shí)際應(yīng)用時(shí),反復(fù)測(cè)試是相當(dāng)困難甚至不可能的.因此,考慮確定性誤差.假設(shè)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)有以下擾動(dòng)形式

(4)基于Sigmoid-型函數(shù)的性質(zhì),選取正則化參數(shù)為

不難驗(yàn)證其滿足下列條件

可以看到,根據(jù)上述正則化參數(shù)的選取方法,在迭代開(kāi)始時(shí)能夠充分對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正則化,然后隨著迭代數(shù)的增加正則化參數(shù)逐漸減小,達(dá)到解穩(wěn)定的目的.

數(shù)值模擬時(shí),對(duì)所要識(shí)別的障礙物邊界γ(ψ),給定兩種參數(shù)化模型的精確解,分別對(duì)所得數(shù)值解和精確解進(jìn)行比較,以驗(yàn)證本文所提方法的有效性.

數(shù)值模擬一考慮真解

數(shù)值模擬時(shí),取N=100,L=L1,k0=2,迭代次數(shù)k=30,初始猜測(cè)γ(0)=(1,1,···,1)T,擾動(dòng)分別為δ=0,0.01,0.05時(shí),所得L∞和RE分別如表1所示,精確解與數(shù)值解的比較如圖1所示.

表1 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,迭代正則化Gauss-Newton法所得誤差比較

取N=100,k0=2,迭代次數(shù)k=30,初始猜測(cè)γ(0)=(1,1,···,1)T,L分別取單位矩陣I、L1或L2,擾動(dòng)分別為δ=0,0.01,0.05時(shí),所得L∞和RE分別如表2、表3所示,精確解與數(shù)值解的比較如圖2所示.

表2 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,L取不同時(shí)所得誤差(L∞)比較

圖1 :取不同的擾動(dòng)水平δ時(shí),所得精確解與數(shù)值解的比較

表3 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,L取不同時(shí)所得誤差(RE)比較

圖2 :無(wú)擾動(dòng)時(shí),L取不同的值所得精確解與數(shù)值解的比較

數(shù)值模擬二考慮真解

參數(shù)設(shè)置與模擬一相同,所得L∞和RE分別如下表4所示,精確解與數(shù)值解的比較如圖3所示.

表4 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,迭代正則化Gauss-Newton法所得誤差比較

圖3 :取不同的擾動(dòng)水平δ時(shí),所得精確解與數(shù)值解的比較

取N=100,k0=2,迭代次數(shù)k=30,初始猜測(cè)γ(0)=(1,1,···,1)T,L分別取單位矩陣I、L1或L2,擾動(dòng)分別為δ=0,0.01,0.05時(shí),所得L∞和RE分別如下表5、表6所示,精確解與數(shù)值解的比較如下圖4所示.

表5 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,L取不同時(shí)所得誤差L∞比較

表6 :不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下,L取不同時(shí)所得誤差RE比較

比較上述兩個(gè)數(shù)值模擬結(jié)果,可以得到如下結(jié)論:從表1和表4可以看出,在迭代數(shù)相同的情況下,當(dāng)右端測(cè)量數(shù)據(jù)無(wú)擾動(dòng)時(shí),所得解的誤差很小,數(shù)值解較準(zhǔn)確,而隨著擾動(dòng)的增加,數(shù)值解與精確解誤差的∞-范數(shù)和相對(duì)誤差也逐漸增加;從表2、表3和表5、表6可以看出,在迭代數(shù)一定的情況下,取不同的L值時(shí),隨著擾動(dòng)的增加,所得數(shù)值解與精確解誤差的∞-范數(shù)和相對(duì)誤差都在非常小的范圍內(nèi),特別取L=L1時(shí),所得數(shù)值解與精確解誤差的∞-范數(shù)和相對(duì)誤差都相對(duì)較小.

圖4 :無(wú)擾動(dòng)時(shí),L取不同的值所得精確解與數(shù)值解的比較

5 結(jié)論

本文采用迭代正則化Gauss-Newton法求解一類(lèi)根據(jù)遠(yuǎn)場(chǎng)散射數(shù)據(jù)識(shí)別介質(zhì)中障礙物形狀的逆散射問(wèn)題,通過(guò)數(shù)值模擬可以看出:用此方法求解此類(lèi)問(wèn)題是可行的、有效的;但是對(duì)于參數(shù)化后的邊界函數(shù),在利用正則化方法求解時(shí),當(dāng)穩(wěn)定泛函中的L取不同的算子時(shí),數(shù)值解的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性有微小差別,而當(dāng)L取一階導(dǎo)算子時(shí),數(shù)值求解所得結(jié)果更準(zhǔn)確.