帶跳隨機利率與波動率模型的遠期生效期權定價

薛廣明,鄧國和

(1.廣西財經(jīng)學院信息與統(tǒng)計學院,廣西南寧 530003)

(2.廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西桂林 541004)

1 引言

作為經(jīng)典Black-Scholes模型[1]的一類重要擴展模型,2000年,Duffie,Pan和Singleton等[2]學者提出的多元仿射跳擴散模型已廣泛應用于金融市場中基礎變量的建模和資產(chǎn)定價(如文獻[3–6]).這是因為多元仿射跳擴散模型不僅能表達金融市場中資產(chǎn)價格的常規(guī)平穩(wěn)運動,而且能較好地捕捉市場的非常規(guī)變動(如尖峰厚尾,波動聚集性,價格自身杠桿效應,突發(fā)事件爆發(fā)的暴漲暴跌等現(xiàn)象)和長期限特點.另外,該模型在數(shù)學分析與計算上具有易處理特性,能比較方便地獲得期權價格和對沖策略的解析式.我們知道,金融市場交易了大量奇異期權(例如,障礙期權,亞式期權,cliquet期權或ratchet期權等),作為構建基礎金融工具的遠期生效期權(Forward-starting options)[7]也引起了學術界和業(yè)界越來越多的關注.遠期生效期權是一種路徑依賴型期權(path-dependent options),它是現(xiàn)在支付期權費但在未來某個時刻(稱生效日)才生效的一種期權,該時刻也是期權執(zhí)行價格的確定時間.可見,遠期生效期權的收益對基礎資產(chǎn)的波動率非常敏感.另外,具有遠期生效特征的金融衍生工具(如cliquet期權或ratchet期權)通常是三年以上的長期限產(chǎn)品.顯然,在長期限內(nèi)假設利率,波動率等變量是常數(shù)不符合金融實際變化規(guī)律.同樣地,長期限內(nèi)金融市場也會發(fā)生非常規(guī)變動的突發(fā)事件.因此,需要綜合考慮波動率和利率過程的隨機變動,同時還需要關注市場中突發(fā)事件的作用.本文基于此,在多元仿射跳擴散模型的基礎上構建一類利率,股價及其波動率過程滿足具有相關性的隨機跳躍風險的仿射期限結構模型,并在此模型下討論遠期生效期權定價.

遠期生效期權有兩種基本類型,一種是期權的執(zhí)行價格被設定為標的基礎資產(chǎn)在期權生效日時價格的一定比例.另一種形式是基于標的基礎資產(chǎn)的收益率,這種情形可以看成標的基礎資產(chǎn)為到期日價格與生效日價格比值的歐式期權.這種引入不確定性執(zhí)行價格的作用不僅能增強期權自身作為風險管理和投資工具的靈活性,而且增加了確定期權費用的難度.因此,該期權在金融風險管理和產(chǎn)品創(chuàng)新設計中有廣泛應用.金融實務中,遠期生效期權常常被保險公司用來管理蘊含于擔保型股權掛鉤壽險產(chǎn)品的風險,有時也被用來對雇員實施獎勵,但對其定價僅是最近才受到關注.在經(jīng)典Black-Scholes模型下,遠期生效期權的定價可以較方便地轉化為類似的歐式期權定價,如Rubinstein[8],Wilmott[9],Zhang[10]等.隨后,Luci′c[11],Kruse和N¨ogel[12],Amerio[13],以及黃國安[14]等學者將經(jīng)典Black-Scholes模型中的常數(shù)波動率推廣到隨機波動率模型,并在Heston隨機波動率模型下給出了遠期生效期權價格的解析解,并分析了解析解的數(shù)值計算.Hsieh[15],Ahlip和Rutkowski[16],Van Haastrecht和Pelsser[17]在假設標的基礎資產(chǎn)價格過程同時包含隨機利率和隨機波動率的情況下獲得了遠期生效期權定價公式.Romo[18],Zhang和Sun[19]考慮了多因子隨機波動率模型下的遠期生效期權定價問題,并給出了其解析表達式.Beyer和Kienitz[20]給出了時變Levy過程下的遠期生效期權價格的解析表達式,并分析了VG,NIG等幾個具體模型的定價封閉式解.Ramponi[21]討論了結構轉換跳擴散模型下的遠期生效期權定價問題,分析了兩個狀態(tài)轉換Merton跳擴散模型下的數(shù)值實例,并將其與經(jīng)典Black-Scholes模型下的價格作比較.這些研究成果,盡管考慮了波動率過程,利率過程的時變性和隨機性,也引入了跳擴散過程來刻畫市場中的突發(fā)事件,但對波動率過程,利率過程的建模假設僅限于平穩(wěn)運動且基于利率過程與標的基礎資產(chǎn)之間的獨立假定.顯然,這些假設條件過于簡單.因為金融現(xiàn)實中,波動率,利率過程均與標的基礎資產(chǎn)之間具有緊密的統(tǒng)計依賴關系,且可能存在共同的跳躍風險作用.

本文在前人已有研究成果的基礎上,討論一類含跳風險的隨機波動率和隨機利率仿射擴散模型下遠期生效期權定價問題.主要貢獻為:首先,利用多元仿射跳擴散過程的特點建立了瞬時利率,基礎資產(chǎn)及其波動率行為的動力學模型,該模型中波動率,利率過程與基礎資產(chǎn)均受常規(guī)和非常規(guī)的因素影響,且利率,波動率過程與基礎資產(chǎn)之間存在共同跳躍風險成分.利用帶跳的Feynman-Kac定理建立了歐式未定權益滿足的偏微分-積分方程,并利用仿射期限結構特點,獲得了多元隨機變量的折現(xiàn)聯(lián)合條件特征函數(shù)的顯示解.其次,應用Fourier反變換方法和遠期概率測度技術,研究了兩類歐式遠期生效看漲期權的定價,分別獲得這些期權價格計算的顯示公式,為金融風險管理(如對沖策略的計算)提供便利.最后,給出數(shù)值計算實例,比較了利率或波動率過程對期權價格的不同表現(xiàn),以及利率,波動率過程中共同跳躍風險因素對期權價格和?對沖策略的影響.

2 模型設定

考慮一個無套利,無摩擦,且可連續(xù)自由進行交易的不完全市場,交易有限期限為T=[0,T],T<∞.該市場存在兩類交易證券,第一類證券為無風險債券或銀行存款賬戶,其收益按年無風險利率進行連續(xù)復利計算.第二類證券為風險資產(chǎn)(也稱標的基礎資產(chǎn).例如,股票),其收益St受市場中不確定性因素的影響.現(xiàn)設市場中所有不確定性因素均定義在一個帶有信息濾波的給定完備概率空間(?,F,(Ft)t∈T,Q)上,其中該概率空間上定義了四維標準布朗運動{Wt=(W1,t,W2,t,W3,t,W4,t)0,t∈T}和三維純跳躍過程Q是風險中性概率測度,信息濾波(Ft)t∈T為滿足通常條件的完備參考族.假定在風險中性概率Q下,股票對數(shù)回報Xt=lnSt滿足下列帶跳的隨機微分方程

其中rt為短期瞬時無風險利率,vt是股票的波動率過程,ρ1為股價St與其波動率vt之間的相關系數(shù),ρ2為股價St與無風險利率rt之間的相關系數(shù),且ρ1,ρ2均為常數(shù).另外,參數(shù)κ1,θ1,σ1與κ2,θ2,σ2分別刻畫波動率與無風險利率各自的均值回復速度,長期平均水平和標準差,假定它們均為非負常數(shù),并滿足2κiγi≥σ2i,i=1,2.純跳躍過程Zt=(Zxt,Zvt,Zrt)0的分量定義分別為下列復合Poisson過程

這里N1,t與N2,t是強度參數(shù)分別為常數(shù)λ1與λ2的兩個相互獨立的Poisson過程,Nt=N1,t+N2,t,λ=λ1+λ2.序列Y1=(Y1,n)n≥1獨立同分布,表示股價的隨機跳躍幅度,序列Y2=(Y2,n)n≥1獨立同分布,表示股票波動率的隨機跳躍幅度,序列Y3=(Y3,n)n≥1獨立同分布,表示利率的隨機跳躍幅度.假設Zt的聯(lián)合隨機跳躍幅度之分布具有跳變換θ:

其中

這里ρv,ρr分別是隨機變量序列Y1與Y2,以及Y1與Y3之間的相關系數(shù).系數(shù)c1,c2,c3∈C,μ = θ(1,0,0)?1.假定ρv,ρr,μv,μr,μx,v,μx,r,σx,v與σx,r均為常數(shù).

注 2.1式(2.3)–(2.4)的跳變換來源于下述假定:且即模型 (2.1)–(2.4) 不僅考慮了股價與其波動率之間的共同跳躍,并且考慮了股價與無風險利率之間的共同跳躍.它們共同跳躍的強度分別為λ1和λ2,且基于波動率,無風險利率的跳躍幅度邊際分布滿足指數(shù)分布的條件下對應的股價跳躍幅度服從正態(tài)分布.進一步,還可以考慮股價,波動率過程,以及無風險利率各自的獨立跳躍情形,將模型(2.1)–(2.4)擴展至一般情形,這只需修改假設(2.2)–(2.3),增加獨自的跳變換,理論研究上與本文無本質(zhì)差異,但實證研究與數(shù)學計算上會很復雜.本文記這類模型為JSVSI模型(Stochastic Volatility and Stochastic Interest Rate with Jumps).

注2.2當λ1=0,λ2=0時,JSVSI模型退化為Ahlip和Rutkowski[16],以及Deng[22]的工作.當λ1=0,λ2=0且rt=0時,JSVSI模型變?yōu)镠eston的隨機波動率模型(即SV模型[23]).當λ2=0且rt=0時,JSVSI模型變?yōu)殡S機波動率跳擴散模型(即JSV模型[24]).當λ1=0且vt=0時,JSVSI模型變?yōu)殡S機利率跳擴散模型(即JSI模型).故本文市場模型具有較廣泛的適應性.

注2.3應用Duffie等人[2]方法,容易驗證模型(2.1)–(2.4)具有仿射結構特征.另外,考慮利率與波動率之間存在相關的情形,這將導致模型不再是仿射結構模型,且數(shù)學上不易處理,可能需要近似計算(見文獻[25]).

按照風險中性定價原理,該市場中所有交易證券的折現(xiàn)過程是(?,Ft)-鞅過程.記該市場中到期期限為T,收益依賴于變量(Xt,vt,rt)的任意可交易證券t時刻的價格為F(t,x,v,r),且該證券到期日T時的收益為H(XT,vT,rT)∈L2(?,FT,Q),于是在風險中性概率Q下,有

進一步,應用半鞅It?o公式與帶跳的Feynman-Kac定理,可得F=F(t,x,v,r)滿足下列拋物型偏微分–積分方程

其中R2=(?∞,+∞)×(?∞,+∞),以及fY1,Y2(y1,y2)和fY1,Y3(y1,y3)分別是隨機向量(Y1,Y2)和(Y1,Y3)的聯(lián)合概率密度函數(shù),其值由注2.1確定.

記 Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)為隨機向量(XT,vT,rT)基于t時刻值(xt,vt,rt)=(x,v,r)下的折項聯(lián)合條件特征函數(shù),其中u1,u2,u3∈C,t∈[0,T],i為虛數(shù)單位.

引理2.1設股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則聯(lián)合條件特征函數(shù)Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)具有解析表達式 exp{iu1x+A(τ,u1,u2,u3)+B(τ,u1,u2,u3)v+C(τ,u1,u2,u3)r},其中

證應用半鞅It?o公式與帶跳的Feynman-Kac定理,可得函數(shù)Φ=Φ(t,x,v,r;u1,u2,u3,T)也滿足拋物型偏微分–積分方程(2.6),且邊界條件

由于市場模型具有仿射結構特征.因此,方程(2.6)的解Φ具有指數(shù)形式

于是,將其代入方程(2.6),則待定系數(shù)

分別滿足下列常系數(shù)一階線性微分方程

和

以及

先解方程(2.10),(2.11).應用文[6]中引理2.1的證明,可得(2.7),(2.8)式.

下面解方程(2.12).顯然

將(2.7),(2.8)式中的B(t),C(t)代入(2.13)式中右邊四個定積分,經(jīng)繁瑣計算,分別得

由(2.13)式及上述四個積分表達式,整理得(2.9)式.

注 2.4(1) 當λ1= ρ1= κ1= γ1= σ1=0時(即JSI模型),則

(2) 當λ2= ρ2= κ2= γ2= σ2=0時(即JSV 模型),則

現(xiàn)令u1=u2=u3≡0,并記T?期無風險零息票債券t(t

引理2.2在模型(2.1)–(2.4)下,T-期無風險零息票債券t時刻的價格,P(t,T)=P(t,r,t+τ)等于

其中 a(τ)=A(τ,0,0,0),c(τ)=C(τ,0,0,0).

3 遠期生效期權定價

本節(jié)考慮標的資產(chǎn)為股票的歐式遠期生效期權定價.首先給出遠期生效期權的定義,再給出歐式遠期生效期權的定價.遠期生效期權是一種在未來某指定時刻才開始生效的金融工具,它有兩種類型.一類是該期權在到期日T時刻的收益基于標的資產(chǎn)ST,但執(zhí)行價卻設定為標的資產(chǎn)在生效時刻T0(T00,稱絕對執(zhí)行價).于是,遠期生效期權在到期日T時刻的收益為

這里x+=max{x,0}且η=1表示看漲期權(call option),η=?1表示看跌期權(put option).本節(jié)僅討論歐式遠期生效看漲期權的定價,即η=1.對于看跌情形可類似討論.

記類型I(或類型II)的歐式遠期生效看漲期權在t∈[0,T]時刻的價格為CI(t,x,v,r,T0,T,k)(或CII(t,x,v,r,T0,T,K)).于是由(2.5)式可得

或

定理3.1設股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則當t∈[T0,T]時,

這里<[·]表示[·]的實部,i是虛數(shù)單位,函數(shù)A,B,C 的值由(2.7)–(2.9)式給出.

證先證(3.5)式.由于當前時間t∈[T0,T],故ST0是一個已知數(shù),于是(3.2)式退化為歐式標準看漲期權的計算.為此記?K=kST0,由(3.2)式可知

其中IA是集合A的示性函數(shù).仿文[22]的思想,應用計價單位變換法簡化計算式(3.7)中的兩個條件期望值.對第一個期望值,選擇股價St作為計價單位,并將概率測度Q變換到測度Q1,第二個期望值選擇T-期遠期測度P(t,T)作為計價單位且將測度Q變換到測度Q2.此時,測度變換的Radon-Nikod′ym 導數(shù)分別為

容易驗證,測度Q1和Q2都是概率測度Q的等價鞅測度.因此,在新的概率測度Q1和Q2下,式(3.7)可改寫成

這里φj(u),j=1,2是隨機變量XT分別在Q1和Q2下基于Ft-的條件特征函數(shù),即

下面在原概率測度Q下計算條件特征函數(shù)φj(u),j=1,2.由式(3.8)及引理2.1,可得

以及

現(xiàn)證(3.6)式.由(3.3),(3.4)式可知

得證(3.6)式.

定理3.2設股價St滿足模型(2.1)–(2.4),則當t∈[0,T0]時,

這里τ0=T?T0,?τ=T0?t,函數(shù)A,B,C的值由(2.7)–(2.9)式給出.

證先證(3.11)式.由于t∈[0,T0],此時ST0不再是一個已知數(shù).由(3.3)式可知

其中IA是集合A的示性函數(shù).顯然,由(3.8)式中的概率測度變換Q1,則(3.13)式的第一項可改寫成

由于隨機變量的分布函數(shù)與其特征函數(shù)的唯一確定性關系,應用Fourier反變換法可以由特征函數(shù)求出分布函數(shù).因此的計算僅需要計算隨機變量基于Ft的條件特征函數(shù),即顯然,由引理2.1及條件期望的迭代性質(zhì)知

下證(3.13)式的第二項中的條件期望.由于

由Fourier反變換法可知

又由引理2.2知

故

以及

結合(3.15),(3.16)式得證(3.11)式.

最后證明(3.12)式.由(3.3)–(3.5)式,以及當t∈[0,T0]時,可知

顯然

其中

以及

其中

故結合上述式子,整理得證(3.12)式.

期權的Greek參數(shù)值在管理金融風險過程中扮演重要作用,Greeks參數(shù)值中重要的對沖風險策略是?值,它是期權價格關于標的基礎資產(chǎn)價格的一階偏導數(shù),是描述基礎資產(chǎn)變動1個單位時期權價格的變化大小,也是應用期權對沖基礎資產(chǎn)的份額.

推論3.3設股價St滿足(2.1)–(2.4)式,則第I類型的遠期生效期權的?對沖策略為

4 數(shù)值計算實例

本節(jié)應用數(shù)值計算實例分析市場JSVSI模型下歐式遠期生效看漲期權的價格影響因素.以類型I為主要分析對象.首先,分析歐式遠期生效看漲期權分別在JSI,JSV與JSVSI三類模型下價格性能的表現(xiàn).其次,在JSVSI模型下以t∈[0,T0]情形為重點分析利率或波動率模型中幾個重要參數(shù)異動對歐式遠期生效看漲期權的價格影響.最后,討論利率或波動率與股價之間相關系數(shù)的敏感性.數(shù)值計算選用Mathematica 8.0和Matlab2015R軟件編程在Intel(R)Core(TM)i5-2500 CPU 3.30GHz,4 GB RAM聯(lián)想計算機上實現(xiàn).JSVSI模型的參數(shù)值設定如下表1,其中部分參數(shù)選自Eraker等人[26]實證S&P 500指數(shù)的估計值.

表1 :JSVSI模型的基本參數(shù)值設定

4.1 三類模型下期權價格的性能表現(xiàn)

表2 :三類模型下歐式遠期生效看漲期權價格的性能表現(xiàn)

表2考查了遠期生效看漲期權在JSI模型,JSV模型與JSVSI模型下隨著當前時間t和當前股價S值變化時的價格變化情況.三類模型的基本參數(shù)值見表1,選取當前股價St=60,80,100,當前時間t=0.0,0.5,0.8,1.0,1.5,2.0,3.5.從表中可以看出,在JSI和JSV模型下遠期生效看漲期權價格隨著當前時間t的增大(從價內(nèi)期權變化到價外期權)而減少,但在JSVSI模型下,期權價格隨著當前時間t的增大而增大,在臨近到期日時變小.另外,在三類模型下遠期生效看漲期權的價格相差較大,其中JSV模型下期權價格最大,JSVSI模型下次之,JSI模型下期權價格最小,這是因為在JSVSI模型下同時考慮了利率和股價波動率過程對股價的影響,且波動率與利率對股價的杠桿作用不同.

圖1考查了三類模型下生效日T0對遠期生效看漲期權價格和?對沖策略的敏感性.圖1(a),(b)分別繪制了期權價格和?對沖策略隨生效日T0的變化情況.從圖示可以看出,三類模型下的遠期生效看漲期權價格和?對沖策略都是生效日T0的減函數(shù),但JSVSI模型下遠期生效看漲期權價格和其?對沖策略的值介于JSV模型和JSI模型相應值之間,這與表2分析一致.

圖1 :三類模型下生效日T0對期權價格和?對沖策略的影響

4.2 JSVSI模型下共同跳躍風險參數(shù)的作用

下面在JSVSI模型下分別討論利率rt,波動率過程vt中與股價Xt共同跳躍風險參數(shù)對期權價格及?對沖策略值的影響.

(1)考察波動率過程與股價之間共同跳躍風險參數(shù)λ1,μx,v,ρv,σx,v異動時對期權價格及?對沖策略值的作用,模型中其他參數(shù)值選取同表1,股價當前值St設定為100,當前時間t=0.計算結果見表3.從表3可以看到,跳躍強度參數(shù)λ1對期權價格及?對沖策略值的影響是反向的,但股價的共同跳躍幅度參數(shù)μx,v和σx,v對期權價格及?對沖策略值的影響是正向的.同樣地,期權價格及?對沖策略值是基于股價波動率過程跳躍幅度與股價跳躍大小之間的相關系數(shù)ρv的增函數(shù).

(2)考察利率過程與股價之間共同跳躍風險參數(shù)λ2,μx,r,ρr,σx,r異動時對期權價格及?對沖策略值的作用,計算結果見表4.表4表明,跳躍強度參數(shù)λ2對期權價格及?對沖策略值的影響也是反向的,且影響是顯著的.但利率對股價的共同跳躍幅度參數(shù)μx,r和σx,r影響反映在期權價格及?對沖策略值的表現(xiàn)是不同的,其中μx,r的影響是反向的,而σx,r的影響正向的.另外,期權價格及?對沖策略值是基于利率過程跳躍幅度與股價跳躍大小之間的相關系數(shù)ρr的增函數(shù).

表3 :波動率過程vt與股價Xt共同跳躍風險參數(shù)的敏感性

表4 :利率過程rt與股價Xt共同跳躍風險參數(shù)的敏感性

5 結論

本文在一類瞬時利率,股價的瞬時波動率和股價均滿足隨機跳擴散模型且利率,波動率與股價相關的環(huán)境下應用隨機分析、Fourier反變換等方法給出了歐式遠期生效看漲期權定價解析式.這類定價模型能較好地擬合金融實際中利率,股價的運動行為,捕捉金融市場中突發(fā)事件和波動的聚集性.最后,應用數(shù)值實例分析了利率,波動率對期權價格和?對沖策略值的影響.結果表明,利率和波動率因子對期權價格及對沖有顯著影響.這類模型對進一步研究其他奇異期權的定價有非常好的現(xiàn)實意義.