初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題初步探討

摘?要：最值問(wèn)題貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，在中考試卷中占據(jù)著較重的分?jǐn)?shù)。最值問(wèn)題的形式多種多樣，其解法也靈活多變，如果再加上生活背景，這就使得學(xué)生在遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)覺(jué)得難度較大，不容易搞懂。在初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題中，“花費(fèi)最少”“時(shí)間最短”等最值問(wèn)題都與日常生活有著緊密聯(lián)系，這就使得課堂教學(xué)難度加大，本文對(duì)此進(jìn)行初步探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);最值問(wèn)題;初步探討

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，最值的求解是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，在中考中常以壓軸題形式出現(xiàn)，這就增加了解題難度，使得學(xué)生在考場(chǎng)上丟失大量分?jǐn)?shù)。初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題最主要是考查學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，不管是代數(shù)形式還是幾何問(wèn)題都存在有待解決的最值問(wèn)題。下面，筆者從以下幾個(gè)方面對(duì)最值問(wèn)題展開(kāi)論述，希望對(duì)大家有所幫助。

一、 運(yùn)用配方法求最值

在講解最值問(wèn)題時(shí)，配方法是一種重要的基本解題方法。當(dāng)遇到二次多項(xiàng)式、一元二次方程時(shí)，學(xué)生要從配方的角度展開(kāi)思考，運(yùn)用配方法來(lái)進(jìn)行解答，從而快速解出問(wèn)題的答案。配方法的主要思路是將式子配成若干個(gè)完全平方式，通常以求取問(wèn)題最小值為主，主要考查學(xué)生的觀察和計(jì)算能力。筆者認(rèn)為，配方法是解答最值問(wèn)題的主要方式之一，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握并能夠快速應(yīng)用。

如，當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，方程y=3x2+12x+6的最小值為????。

y=3x2+12x+6=3（x2+4x+2+2-2）=3（x2+4x+4）-6=3（x+2）2-6。很顯然，當(dāng)x=-2時(shí)，y的最小值為-6。

如，當(dāng)x，y是實(shí)數(shù)，則x2+4y2-4xy+2015的最小值為????。

原式=x2+4y2-4xy+2015=（x2+4y2-4xy）+2015=（x-2y）2+2015。顯然有（x-2y）2≥0，所以當(dāng)x-2y=0時(shí)，所得到的代數(shù)值最小，最小值為2015。

二、 基本不等式求最值

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)在講授最值問(wèn)題的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握基本不等式。這類(lèi)問(wèn)題有個(gè)共性，當(dāng)遇到兩個(gè)數(shù)的積為定值，求兩數(shù)平方和最小值時(shí)，教師不妨帶領(lǐng)學(xué)生在解題時(shí)考慮不等式“a2+b2≥2ab”，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取等號(hào)。但是，在問(wèn)題求解過(guò)程中，學(xué)生一定要注意式子的每一項(xiàng)均為正數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行靈活運(yùn)用。

如，若xy=5，那么代數(shù)式1x4+14y4的最小值是??。

解，分1x4+14y4=1x22+12y22≥21x212y2=1（xy）2=25。所以：1x4+14y4的最小值是25。

三、

運(yùn)用判別法求最值

在遇到最值問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候看起來(lái)沒(méi)有任何思路，如果應(yīng)用配方法或不等式法來(lái)求解較為困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意來(lái)構(gòu)造關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程，再利用x為實(shí)數(shù)，通過(guò)方程判別式來(lái)求出y的取值范圍，最終得到最值。這種求解問(wèn)題的方法稱(chēng)為判別式法，主要應(yīng)用的范圍為分式型二次函數(shù)。

如，求x2-x+1x2+x+1的最大值與最小值分別為多少。

設(shè)x2-x+1x2+x+1=y，通過(guò)分式整理得：x2-x+1=yx2+yx+y。

即（1-y）x2-（1+y）x+1-y=0。因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以Δ≥0，即（1+y）2-4（1-y）2≥0，從而解得13≤y≤3。因此，x2-x+1x2+x+1的最大值為3，最小值為13。

如，求函數(shù)y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值。

原式可以化為：y12x2+x+1=3x2+6x+5，整理公式得（6-y）x2+（12-2y）x+（10-2y）=0，因?yàn)閤的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，因此關(guān)于x的二次方程均有實(shí)數(shù)根?！唳?（12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）=-4y2+40y-96≥0，即，y2-10y+24≤0，得4≤y≤6。因此，函數(shù)y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值為6。

四、 數(shù)形結(jié)合求最值

在做題時(shí)，當(dāng)遇到一些代數(shù)條件中的問(wèn)題有幾何意義時(shí)，或通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與幾何有所關(guān)聯(lián)時(shí)，教師不妨采取數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解問(wèn)題最值。

如，求x2+4+（8-x）2+16取最小值時(shí)實(shí)數(shù)x的值。

x2+4+（8-x）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2。此時(shí)，學(xué)生可以構(gòu)造圖形，作A（0，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（0，-2），設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，從而得：

0k+b=-2

8k+b=-4解得k=34

b=-2，得到y(tǒng)=34x-2，使y=0，則x=83。所以，當(dāng)x=83時(shí)，x2+4+（8-x）2+16存在最小值。

雖然最值問(wèn)題的解題思路和方法多種多樣，但是，“萬(wàn)變不離其宗”，學(xué)生只要從配方法、基本不等式、判別法及數(shù)形結(jié)合等多種角度深入分析，就能迅速解答問(wèn)題，從而在考場(chǎng)上取得理想的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王盛裕.例談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2002（2）.

[2]吳崇慶.初中數(shù)學(xué)求值問(wèn)題的兩種方法——兼談數(shù)學(xué)思想與方法的滲入[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1997（12）.

作者簡(jiǎn)介：

張火木，福建省晉江市，福建省晉江市磁灶中學(xué)。