轉(zhuǎn)移概率未知下Markov線性切換系統(tǒng)的H∞控制

徐風(fēng)風(fēng)，林瑞全，余康舟

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350116)

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)由于其便于維護(hù)、診斷，有利于資源共享及增強(qiáng)了系統(tǒng)的靈活性和可靠性等優(yōu)點(diǎn)在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。網(wǎng)絡(luò)化控制帶來(lái)若干優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，由于自身的時(shí)延、丟包、時(shí)序錯(cuò)亂、網(wǎng)絡(luò)寬帶受限、介質(zhì)接入限制等問(wèn)題不可避免地會(huì)影響系統(tǒng)的控制性能，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，如何設(shè)計(jì)控制器使NCS穩(wěn)定已經(jīng)成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

針對(duì)NCS中的時(shí)延問(wèn)題，一些學(xué)者從不同的角度進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1-5]在處理傳感器到執(zhí)行器之間的時(shí)變時(shí)延時(shí)，通過(guò)設(shè)置緩沖器的辦法將時(shí)變時(shí)延轉(zhuǎn)化為確定時(shí)延，簡(jiǎn)化了對(duì)系統(tǒng)的分析，但卻降低了系統(tǒng)的控制性能。研究學(xué)者Ray[6]在研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的分布式誘導(dǎo)時(shí)延時(shí)，提出了基于一個(gè)確定性的狀態(tài)估計(jì)器和線性狀態(tài)反饋控制律的分布式時(shí)延補(bǔ)償算法。文獻(xiàn)[7-8]利用系統(tǒng)模型和額外的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)信息，采用預(yù)估方法補(bǔ)償了數(shù)據(jù)丟包和時(shí)延的影響，但降低了設(shè)計(jì)的保守性。

上述研究方法需要在傳輸端和接收端設(shè)置緩存，增加了網(wǎng)絡(luò)的繁忙程度，有時(shí)會(huì)造成網(wǎng)絡(luò)堵塞。為了解決這個(gè)問(wèn)題，利用網(wǎng)絡(luò)延遲和數(shù)據(jù)丟包的時(shí)序和概率等信息，將網(wǎng)絡(luò)延時(shí)轉(zhuǎn)化為Markov鏈，并將NCS建立成Markov切換模型。在Markov切換系統(tǒng)模型中，各個(gè)子系統(tǒng)并不是簡(jiǎn)單的疊加，其模態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)切換系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性起到重要作用。在模態(tài)轉(zhuǎn)移概率精確已知的前提下，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，濾波，魯棒控制等問(wèn)題得到了充分研究[9-12]。但是在實(shí)際的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的模態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣通常難以獲取[13-16]，因此設(shè)計(jì)合理的NCS魯棒控制器具有重要意義。

本文在模態(tài)轉(zhuǎn)移概率完全未知的前提下，將隨機(jī)時(shí)延轉(zhuǎn)換為Markov鏈序列，并將NCS建立成Markov切換系統(tǒng)，將隨機(jī)時(shí)延的不確定性轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)模態(tài)切換的不確定性。設(shè)計(jì)合適的模態(tài)依賴狀態(tài)反饋控制器，通過(guò)Lyapunov函數(shù)給出了閉環(huán)控制系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件并利用LMI方法得出控制器參數(shù)。最后數(shù)值算例驗(yàn)證了該控制器設(shè)計(jì)方法有效。

1 問(wèn)題描述

考慮如下廣義切換系統(tǒng)模型：

(1)

其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rp分別為系統(tǒng)狀態(tài)，控制輸和測(cè)量輸出，ω(t)∈Rq為空間L2([0,])上的外部噪聲輸入信號(hào)。r(t)為系統(tǒng)的模態(tài)，且r(t)∈Ω，Ω∈1,2,3,…,N。A(r(t))，B(r(t))，C(r(t))，H(r(t))為模態(tài)r(t)下的系統(tǒng)參數(shù)。

dt=τt為傳感器到控制器的隨機(jī)時(shí)滯，且滿足下列條件：

0≤dt≤h,

其中，h是隨機(jī)時(shí)延dt的上界。

采用變采樣周期的方法將系統(tǒng)離散化，如果采樣時(shí)刻k隨機(jī)時(shí)延為dk，取此時(shí)刻變采樣周期Tk=dk。離散后的系統(tǒng)模型如下：

(2)

當(dāng)時(shí)延隨機(jī)變化時(shí)，系統(tǒng)的離散型模態(tài)參數(shù)A(r(t))，B(r(t))，H(r(t))也是不確定的，并用Ar，Br，Hr表示。離散參數(shù)如下：

經(jīng)過(guò)上述離散化過(guò)程，將控制系統(tǒng)時(shí)延不確定性轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)模態(tài)切換的不確定性，其模態(tài)切換的概率稱為模態(tài)轉(zhuǎn)移概率。模態(tài)轉(zhuǎn)移概率空間為Π=πrs，概率πrs=Pr(k)=s|r(k)=r，即表示從模態(tài)r轉(zhuǎn)移到模態(tài)s的概率為πrs。

對(duì)于一些實(shí)際的控制系統(tǒng)，通常很難獲得其模態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。因此做如下假設(shè)：

?

將式(3)中每一項(xiàng)不等式對(duì)應(yīng)相加可得：

(4)

為了對(duì)離散對(duì)象(2)進(jìn)行控制，設(shè)計(jì)如下模態(tài)依賴反饋控制器：

uk=K(r(k))x(k)， (5)

使得離散切換系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定。

將式(5)帶入系統(tǒng)(2)，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程為：

(6)

下面給出系統(tǒng)穩(wěn)定且具有H∞性能的定義。

定義對(duì)于離散切換系統(tǒng)(2)，若存在狀態(tài)反饋控制器(5)，使系統(tǒng)滿足下條件：

1)閉環(huán)控制系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定：

2)零初始條件下，系統(tǒng)輸出滿足：

(8)

則稱離散切換系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定，且具有γ-次優(yōu)H控制律。

2 H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)

定理對(duì)于給定標(biāo)量γ>0，若存在標(biāo)量ε>0以及對(duì)稱正定矩陣Ps和Qs，使得矩陣不等式(9)成立：

(9)

則稱閉環(huán)切換系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的，且具有H性能指標(biāo)γ。

證明當(dāng)外部擾動(dòng)ω(K)=0時(shí)，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(10)

其中P(r(k))Q(r(k))為系統(tǒng)模態(tài)r(k)下的一組對(duì)稱正定矩陣。以下簡(jiǎn)寫(xiě)成P(r)Q(r)V(r)，顯然V(k)>0,V()>0。

ΔV(k)=ΕV(x(k+1),r(k+1))|x(k),r(k)-V(x(k),r(k))=

將式(4)帶入式(11)，并轉(zhuǎn)換為矩陣形式：

(12)

其中，

(13)

若Θ<0，即ΔV(k)<0，上式在系統(tǒng)初始狀態(tài)下也成立，因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

引理1(Schur補(bǔ))給定常數(shù)矩陣A以及正定對(duì)稱矩陣P和Q，當(dāng)ATPA+Q<0時(shí)，有以下不等式成立

因此由引理1可得，Θ<0等價(jià)為

(14)

因此，若存在標(biāo)量ε>0以及對(duì)稱正定矩陣Ps和Qs使得矩陣不等式(14)成立，則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)外部擾動(dòng)ω(k)≠0時(shí)，引入指標(biāo)函數(shù)：

由初始條件V(0)=0，V()>0有

(16)

(17)

經(jīng)過(guò)上文的類似推導(dǎo)，可得Ξ<0與下式等價(jià)：

(18)

即Ξ1<0與式(15)等價(jià)。

(19)

針對(duì)線性矩陣不等式Ξ2，如果狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Π完全已知或者其上界和下屆已知，對(duì)于給定標(biāo)量γ>0，求解線性矩陣不等式(20)可得x，y，則狀態(tài)反饋控制參數(shù)Kr=yx-1，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，且具有H性能指標(biāo)γ。

如果狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Π完全未知，則通過(guò)求解下列優(yōu)化問(wèn)題：

(20)

可得抗擾動(dòng)系數(shù)γ的最小值，并在系統(tǒng)漸近穩(wěn)定條件下求得x，y。狀態(tài)反饋的控制參數(shù)Kr=yx-1，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，且具有H性能指標(biāo)γ。

3 數(shù)值算例

考慮式所描述的廣義切換系統(tǒng)，其參數(shù)在離散化后有3個(gè)模態(tài)，其參數(shù)如下：

模態(tài)一：

模態(tài)二：

模態(tài)三：

當(dāng)其轉(zhuǎn)移概率矩陣已知：

根據(jù)以上給定條件可知，系統(tǒng)3個(gè)模態(tài)的系數(shù)矩陣A(1),A(2),A(3)有在單位圓外的特征值，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

系統(tǒng)給定抗擾動(dòng)系數(shù)γ=0.15，并且在沒(méi)有丟包的情況下，通過(guò)Matlab求解LMI可得：

則反饋控制器參數(shù)：

給定的系統(tǒng)有3種模態(tài)，各個(gè)模態(tài)的切換概率已知。給定外部擾動(dòng)如下：

ωt=e-0.2tsin(0.5t),?t≥0

圖1 轉(zhuǎn)換概率已知情況下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量變化曲線Fig.1 State variable curve of closed-loop system with known transfer probability

從圖1中可知，系統(tǒng)在該控制器下能夠很好滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。在這種情況下可求得最小抗擾動(dòng)系數(shù)γ=0.145。

當(dāng)轉(zhuǎn)移概率未知，僅僅給出其上下限：

求解最優(yōu)化問(wèn)題可得最小抗擾動(dòng)系數(shù)：

γ2=0.43。

因此可求得反饋控制器增益：

結(jié)合上述所設(shè)計(jì)的控制器，通過(guò)Matlab仿真：

圖2 轉(zhuǎn)移概率未知的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量變化曲線Fig.2 State variable curve of closed-loop system with unknown transfer probability

從圖2中可知，盡管初始系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且各個(gè)模態(tài)的轉(zhuǎn)移概率未知，但通過(guò)轉(zhuǎn)移概率上下限所設(shè)計(jì)的控制器依然使閉環(huán)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定，能夠到達(dá)預(yù)期的要求。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)NCS系統(tǒng)，用Markov鏈描述了隨機(jī)時(shí)延的不確定性，并且基于H∞性能指標(biāo)給出了模態(tài)依賴狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，以LMI的形式給出使不穩(wěn)定系統(tǒng)變得穩(wěn)定的充分條件?？刂破鲄?shù)通過(guò)求解LMI矩陣得到，最終的數(shù)值仿真表明了該設(shè)計(jì)方法的有效性。