Bregman擬嚴格偽壓縮與均衡問題的強收斂定理及其應用

朱 勝, 黃建華

(1.福建農林大學金山學院, 福建 福州 350002；2.福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

非線性領域很多研究課題，如極大單調算子的零元問題、凸可行問題、變分不等式問題、補問題和均衡問題等，都可歸結成算子不動點問題來研究。關于算子的不動點理論的研究成果在物理學、規(guī)劃問題、優(yōu)化、經濟均衡問題、微分方程等領域中已獲得了廣泛應用。因此，對于算子不動點問題的研究或建立某種算法在適當的條件下證明算法的強、弱收斂性的研究是十分有意義的。

在研究算子不動點問題時，有一類算子即非擴張算子是十分重要而且被廣泛關注的。但是，在許多數學問題或實際問題的研究中，一些算子的非擴張性會隨空間結構的改變而發(fā)生變化。如有些算子在Hilbert空間中是非擴張的，而在Banach空間中卻不是非擴張的。為此，借助Bregman函數，對Bregman非擴張算子的不動點問題展開研究，使之將算子不動點理論推廣到更一般的Banach空間。

2013年, ZHU J H等人[1]對均衡問題與Bregman強非擴張不動點問題的公共解問題提出算法:

2015年, WANG Z M[2]研究了Bregman擬嚴格偽壓縮的不動點問題，提出算法:

受上述研究工作的啟發(fā),針對均衡問題和Bregman擬嚴格偽壓縮映射的不動點問題的公共解,引入Bregman投影算法,在適當的條件下，得到強收斂定理。最后，把所得的結果應用到變分不等式問題，凸可行問題與極大單調算子的零點問題上，所得到的結果豐富了非線性分析中關于這一類領域的研究成果。

1 基本概念與引理

設E為實自反的Banach空間，E*為其對偶空間，E的范數記為‖·‖，E與E*的配對記為〈·，·〉，f∶E→(-,+]是真的實值函數，f的Frechet共軛函數f*:E*→(-,+]定義為f*(x*)=sup{〈x*,x〉-f(x):x∈E},x*∈E*。

記f的有效域為domf={x∈E,f(x)<},f的有效域內部為int(domf)。對任意的x∈int(domf)與y∈E,f在方向y的右導數定義如下：

文獻[3]給出了Legendre函數f∶E→(-,+]的概念，即f是Legendre函數當且僅當其滿足下列條件：

如果E為實自反的Banach空間,f為Legendre函數[4]，則：

1)f為Legendre函數當且僅當f*為Legendre函數;

2)(?f)-1=?f*;

4)f和f*在各自的有效域內部是嚴格凸的。

定義1[5]設f∶E→(-,+]為凸的可微函數，稱Df:domf×int(domf)→[0,+)為關于f的Bregman距離

Df(y,x):=f(y)-f(x)-〈f(x),y-x〉。

值得注意的是Bregman距離并不是真正實際意義上的距離。易知,Df不滿足對稱性質和三角不等式性質。從Bregman距離的定義中容易得到四點等式性質：對任意的y、w∈domf與x、z∈int(domf)，有

Df(y,x)-Df(y,z)-Df(w,x)+Df(w,z)=〈f(z)-f(x),y-w〉。

定義2[6]設f∶E→(-,+]為可微的凸函數，點x∈int(domf)到非空閉凸子集C?domf上的Bregman投影為唯一的向量滿足

定義3[7]設f∶E→(-,+]為可微的凸函數。稱f是:

1)在x∈int(domf)全局凸的，若它在x的總體凸性模是正的，其中f在x的總體凸性模vf:int(domf)×[0,+)→[0,+)定義為

vf(x,t):=inf{Df(y,x):y∈domf,‖y-x‖=t}，?t>0;

2)全局凸的，若對?x∈int(domf)，f在x處都是總體凸的;

3)在有界集上全局凸，若對E的任何非空有界子集B和t>0，vf(B,t)均為正數，其中vf(B,t):=inf{vf(x,t):x∈B∩domf}為f在集合B上的全局凸性模。

引理1[7]稱f∶E→(-,+]是序列一致的，如果對E中任意兩個序列{xn}?int(domf)和{yn}?domf，當xn有界且滿足時，有成立。f在有界集上是全局凸的當且僅當f是序列一致的。

引理2[8]設f∶E→(-,+]是一致Frechet可微的，且在E的有界子集上是有界的。那么f在E的有界子集上是一致連續(xù)的且f∶E的強拓撲→E*的強拓撲在E的有界子集上是一致連續(xù)的。

引理3[9]設f∶E→(-,+]是可微的全局凸函數。取x0∈E,如果序列Df(xn,x0)是有界的，則序列xn也是有界的。

引理4[10]設f∶E→(-,+]為可微的凸函數且在int(domf)上是全局凸的，x∈int(domf)，非空閉凸子集C?int(domf)，若z∈C,則下列結論等價。

2)z是如下變分不等式的解：〈f(x)-f(z),z-y〉≥0,?y∈C,即

〈f(x)-?y∈C;

3)z是如下不等式的解：Df(y,z)+Df(z,x)≤Df(y,x),?y∈C,即

?y∈C。

1)閉的，若對任意序列{xn}?C，滿足xn→x∈C且Txn→y∈C(n→)，則Tx=y；

Df(p,Tx)≤Df(p,x),?x∈C，p∈F(T)；

Df(p,Tx)≤Df(p,x),?x∈C，p∈F(T)；

4)Bregman擬嚴格偽壓縮的，若存在k∈[0,1)，且F(T)≠?，使得

Df(p,Tx)≤Df(p,x)+kDf(x,Tx),?x∈C,p∈FT。

容易看出：Bregman相對非擴張、Bregman弱相對非擴張都是Bregman擬嚴格偽壓縮的。即,Bregman擬嚴格偽壓縮是比Bregman相對非擴張、Bregman弱相對非擴張更一般的算子。

假設1 設C是一致凸和一致光滑的Banach空間E的非空閉凸子集，映射g:C×C→R為滿足以下條件的二元函數：

1)g(x,x)=0,?x∈C;

2)g是單調的，即g(x,y)+g(y,x)≤0,?x,y∈C;

4)?x∈C,g(x,.)是下半連續(xù)的凸函數。

引理6[12]設f:E→R是Legendre函數且f*在int(domf)的有界子集上是有界的,取x∈E,如果序列{Df(x,xn)}是有界的，則序列{xn}也是有界的。

引理7[13]設C是實自反的Banach空間E的非空閉凸子集，f∶E→R為在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的Legendre函數，T:C→C是Bregman擬嚴格偽壓縮映射，則T的不動點集F(T)是C的閉凸子集。

引理8[13]設E是實自反的Banach空間，f∶E→R是Legendre函數，且在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的。非空閉凸子集C?E，T:C→C為Bregman擬嚴格偽壓縮映射，則對任意x∈C,p∈F(T),k∈[0,1)，有

引理9[14]設E為實自反Banach空間，f∶E→-,+是真的下半連續(xù)函數，則f*:E*→-,+是真的弱*下半連續(xù)凸函數。因此，對任意z∈E，有

2 主要結果

定理1 設E是實自反的Banach空間，f∶E→R是強制的Legendre函數，且在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的。非空閉凸子集C?int(domf)，T:C→C為Bregman擬嚴格偽壓縮閉映射。設g:C×C→R是滿足條件1)-4)的二元函數。序列xn定義如下：

證明分為6步：

Df(v,f*(αnf(xn)+(1-αn)f(Txn)))≤αnDf(v,xn)+(1-αn)Df(v,Txn)≤

αnDf(v,xn)+(1-αn)[Df(v,xn)+kDf(xn,Txn)]≤Df(v,xn)+kDf(xn,Txn)。 (2)

因此，由式(2)又可得，

(3)

由四點等式性質知

Df(v,un)=Df(v,xn)+Df(xn,un)+〈f(xn)-f(un),v-xn〉。 (4)

把式(4)代入式(3)，可得

所以序列Df(xn,u)有界，再由引理3得序列xn有界。

(5)

即

Df(xn+2,xn+1)+Df(xn+1,u)≤Df(xn+2,u)， (6)

由于Dn是壓縮的，對于任意的正整數m≥n，有Dm?Dn。

在式(7)中令

m,n→，可Df(xm,xn)→0，(m,n→)。 (8)

根據引理1的結論可知，

(9)

所以xn是Cauchy序列。

5)證明xn強收斂于Ω:=FT∩EP(g)中的一個點。因為E是自反的Banach空間，且xn是Cauchy序列。不妨假設

(10)

首先，證明x*∈F(T)。在式(9)中取m=n+1，則有

(11)

(12)

由xn是有界，得un有界。因為f是一致Frechet可微，由引理2有

由于xn+1∈Cn和式(2)、式(3)，有

(14)

下面證明x*∈EP(g)。映射f是一致Frechet可微的，f在有界集上是一致連續(xù)的，由式(13)、式(15)知

因為，g(un,y)+〈f(un)-f(yn),y-un〉≥0,?y∈C。

由假設1的2)可得

〈f(un)-f(yn),y-un〉≥-g(un,y)≥g(y,un),?y∈C。 (17)

在式(17)中令n→，再由假設1的4)與式(16)有

g(y,x*)≤0,?y∈C。 (18)

對于任意的y∈C，取t∈(0,1]，令yt=ty+(1-t)x*∈C，則有g(yt,x*)≤0以及

0=g(yt,yt)≤tg(yt,y)+(1-t)g(yt,x*)≤tg(yt,y)。 (19)

所以有g(yt,y)≥0。進一步可得

?y∈C。

即證得x*∈EP(g)。綜合以上證明可得,x*∈Ω:=FT∩EP(g)。

〈f(u)-f(xn+1),xn+1-z〉≥0,?z∈Ω。 (20)

在式(20)中，令n→,有〈f(u)-f(x*),x*-z〉≥0,?z∈Ω，即因此，序列xn強收斂于證畢。

3 結果應用

3.1 極大單調算子的零點問題

設E為實自反Banach空間，映射A·E→2E*是極大單調的，且A-10≠?，f∶E→-,+為一致Frechet可微的，且在E有界子集上有界，則A相對于f的預解算子fx是Bregman相對非擴張閉映射[8]，從而也是Bregman 擬嚴格偽壓縮的。根據定理1可得：

定理2 設E是實自反的Banach空間，f∶E→R是強制的Legendre函數，且在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的。非空閉凸子集C?int(domf)，T:C→C為Bregman擬嚴格偽壓縮閉映射。設g:C×C→R是滿足條件1)-4)的二元函數。序列xn定義如下：

3.2 凸可行問題

3.3 變分不等式問題

引理10[2]設f∶E→R是強制的全局凸的Legendre函數，滿足ran(f-A)?ran(f)。設A:E→E*為Bregman反強單調映射[8]，若非空閉凸集C?(domA)∩(int domf)，則有下列結論

定理4 設E是實自反的Banach空間，f∶E→R是強制的Legendre函數，且在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的，且滿足ran(f-A)?ran(f)。A:E→E*為Bregman反強單調映射，非空閉凸子集C?(domA)∩(int domf)，T:C→C為Bregman擬嚴格偽壓縮閉映射。設g:C×C→R是滿足條件1)-4)的二元函數。序列xn定義如下：