K-g-fusion框架的等價刻畫

黃新麗

(福州理工學(xué)院文理學(xué)院, 福建 福州 350506)

Hilbert空間中的框架是Duffin和Schacffer[1]于1952年在研究非調(diào)和級數(shù)時引入的概念。 框架是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣，空間中的每個元素都能夠由它線性表出，但它的重構(gòu)表示式是不唯一的，這種冗余性使得它在實際應(yīng)用中非常有用。 目前，框架理論已經(jīng)在無線電通訊[2]、信號處理[3]等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。

隨著框架理論的發(fā)展，出現(xiàn)了框架的不同形式的推廣。 在處理巨大數(shù)據(jù)時，需要將一些數(shù)據(jù)做局部處理后再做整體處理，這種思想與計算機(jī)對大型數(shù)據(jù)處理時進(jìn)行分部計算的方法相符合。 2004年，Casazza和Kutyniok[4]研究框架整體與局部關(guān)系時引入了Fusion框架的概念。 2006年，孫文昌教授[5]在已有的幾種框架概念的基礎(chǔ)上提出了g-框架的概念。 2011年，Gǎvruta[6]在研究原子分解系統(tǒng)時引入了一種推廣框架——K-框架的概念。 一個序列fii∈I為H的K-框架的充要條件是其合成算子T滿足R(K)?R(T)，而序列fii∈I為H的框架的充要條件是其合成算子T為滿的，這說明K-框架與框架有許多性質(zhì)是不一樣的，因而K-框架具有重要的研究價值。 隨后，一些學(xué)者提出了K-g-框架[7]、K-fusion框架[8]、K-g-fusion框架[9]的概念。 本文在原有的框架理論的基礎(chǔ)上，研究K-g-fusion框架與其合成算子的關(guān)系，K-g-fusion框架與K-框架的等價刻畫，以及K-g-fusion框架在算子擾動下的穩(wěn)定性。 所得結(jié)論推廣了一些已有的結(jié)論。

在本文中，設(shè)H和H′為兩個可分的復(fù)Hilbert空間，Hii∈I是H′的閉子空間序列，其中I是正整數(shù)集的子集。 記L(H,Hi)為從H到Hi的所有有界線性算子的集合。 在本文中，算子Λi∈L(H,Hi)，其中i∈I。 定義l2({Hi})為

并定義其內(nèi)積為

則l2({Hi})是一個復(fù)的Hilbert空間。

對任意的閉子空間V?H，算子πV表示H→V的正交投影算子。idH表示H上的恒等算子。L(H)是H到H所有有界線性算子的集合。 令K∈L(H)，且K≠0，用R(K)和NK分別表示算子K的值域和核。

?f∈H。

常數(shù)A和B分別稱為K-框架的下界和上界。 特別的，當(dāng)K=idH時，K-框架即為框架。

定義2[8]961設(shè)W=Wii∈I是H的閉子空間序列,K∈L(H),vi>0,i∈I. 如果存在正數(shù)A,B使得對任意f∈H有

則稱{Wi,vi}i∈I是H的K-fusion框架.

定義3[9]3設(shè)W=Wii∈I是H的閉子空間序列,K∈L(H), Λi∈L(H,Hi),vi>0,i∈I。 如果存在正數(shù)A,B使得對任意f∈H有

(1)

則稱{Wi,Λi,vi}i∈I是H的K-g-fusion框架。

當(dāng)序列{Wi,Λi,vi}i∈I滿足式(1)的右邊時，序列{viΛiπWi}i∈I同時也是g-Bessel序列，可定義有界線性算子TΛ為

稱TΛ為{Wi,Λi,vi}i∈I的合成算子。TΛ的共軛算子

稱為{Wi,Λi,vi}i∈I的分析算子。

引理1[10]設(shè)L1∈L(H1,H),L2∈L(H2,H)，則下列命題等價：

1)R(L1)?R(L2)；

引理2[11]設(shè)H1和H2是兩個復(fù)Hilbert空間，T:H1→H2是具有閉值域的有界線性算子, 則

‖T+‖-1‖f‖≤‖T*f‖≤‖T‖·‖f‖,f∈R(T)。

定理1設(shè)Wii∈I是H中的閉子空間序列，vi>0，i∈I，則下面兩個條件等價：

1){Wi,Λi,vi}i∈I為H的K-g-fusion框架；

由引理1得R(K)?R(TΛ)。

因此，{Wi,Λi,vi}i∈I為H的K-g-fusion框架。

當(dāng)定理中的Λi=idH時，結(jié)論與文獻(xiàn)[13]中的定理1一致。

文獻(xiàn)[5]、[13]、[14]分別對框架與g-框架、K-框架與K-fusion框架的等價關(guān)系進(jìn)行了討論，下面本文討論K-框架與K-g-fusion框架的等價關(guān)系。

2){Wi,Λi,vi}i∈I為H的K-g-fusion框架。

證明首先因為R(K)為閉，R(Λi)?R(K)，由引理2得對任意的f∈H有

‖K*ΛiπWif‖2≥‖K+‖-2‖ΛiπWif‖2。

又因為ΛiπWi=πWiΛi，則對任意的f∈H有

2)?1) 因為fijj∈Ji是Wi的k-框架，{Wi,Λi,vi}i∈I為H的K-g-fusion框架，所以存在正數(shù)C′、D′，使得對任意的f∈H，滿足

當(dāng)Λi=idH時，算子K必須為滿的，與文獻(xiàn)[14]中的定理2結(jié)論一致。

下面討論K-g-fusion框架在算子擾動下的穩(wěn)定性。

定理3設(shè){Wi,Λi,vi}i∈I是H中的K-g-fusion框架，上界、下界分別為B和A，如果T∈L(H)，ΛiπWi=πWiΛi且|I|<，則下列兩個條件等價：

1){T(Wi),ΛiT*,vi}i∈I是H的TK-g-fusion框架。

2){T(Wi)}i∈I是閉子空間序列。

證明1)?2)直接由定義可得。

進(jìn)一步，

而|I|<，故有界。 由定義3得{T(Wi),ΛiT*,vi}i∈I是H的TK-g-fusion框架。

當(dāng)定理中的Λi=idH時，結(jié)論與文獻(xiàn)[15]中的定理1一致。 文獻(xiàn)[15]中舉例說明了定理中的條件|I|<是必須的，否則結(jié)論不一定成立。

定理4設(shè){Wi,Λi,vi}i∈I是H中的K-g-fusion框架，上界、下界分別為B和A，如果T∈L(H)，則下列兩個條件等價：

1){T(Wi),ΛiπWiT*,vi}i∈I是H的TK-g-fusion框架.

2){T(Wi)}i∈I是閉子空間序列.

證明1)?2)直接由定義可得.

A‖(TK)*f‖2=A‖K*T*f‖2≤

B‖T*f‖2≤B‖T*‖2‖f‖2

由定義3得{T(Wi),ΛiπWiT*,vi}i∈I是H的TK-g-fusion框架.

該定理改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]4中定理2.1.