多項(xiàng)式因式分解方法的再探討

張姝同 常健

摘 要：初中階段我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一種重要的恒等變形—因式分解，教材中主要介紹了公式法、提取公因式法、十字相乘法、求根法等一些基本方法。本文主要介紹雙十字相乘法；綜合除法；待定系數(shù)法；數(shù)列法等不常見(jiàn)且技巧性較強(qiáng)的因式分解方法，供廣大教育者和對(duì)因式分解有著濃厚興趣的中學(xué)生參考。

關(guān)鍵詞：因式分解；雙十字相乘法；綜合除法；待定系數(shù)法；數(shù)列法

一、 引言

在學(xué)習(xí)因式分解之前我們先學(xué)習(xí)了整式的乘法，因式分解與整式乘法這二者之間有著明顯關(guān)聯(lián)，比如（a+b）（a-b）=a2-b2就是我們平時(shí)說(shuō)的整式乘法，而a2-b2=（a+b）（a-b）就是因式分解，前者是順向思維，它有具體方法，直接按照法則操作進(jìn)行，而因式分解相對(duì)多項(xiàng)式乘法來(lái)說(shuō)是逆向思維過(guò)程，所以難度較大。以下給出四種技巧性較強(qiáng)的方法，每種方法給出具體分解過(guò)程，希望對(duì)一些特殊多項(xiàng)式的因式分解提供新思路。

二、 雙十字相乘法

十字相乘法是中學(xué)時(shí)代使用較頻繁的因式分解方法，這里介紹一種進(jìn)階的十字相乘法——雙十字相乘法。所謂雙十字相乘法，根據(jù)字面意思理解即有兩個(gè)十字相乘法組合而成的方法，具體而言就是對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f（其中x，y為未知數(shù)）的多項(xiàng)式，分解步驟是先分解其中的二次項(xiàng)得到前兩列，然后再將常數(shù)項(xiàng)分解寫(xiě)到第三列，分解后第三列與第二列構(gòu)成一個(gè)十字，使之對(duì)角相乘之和為ey，第三列與第一列組成的十字對(duì)角相乘之和等于dx。最后分解的結(jié)果就是將第一行寫(xiě)成的多項(xiàng)式與第二行寫(xiě)成的多項(xiàng)式相乘即可。下面以二次六項(xiàng)式為例說(shuō)明雙十字相乘法的具體分解過(guò)程。

【例1】 因式分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。

解：第一步先分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3的二次項(xiàng)得到前兩列，然后再分解常數(shù)項(xiàng)寫(xiě)到第三列，使其滿足與第一列十字相乘之和等于-5x，與第二列十字相乘之和等于35y。如圖1所示，所以：

圖1 雙十字相乘法示意圖

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=（2x-11y+1）（x+2y-3）

三、 利用綜合除法

對(duì)于一些次數(shù)較高的多項(xiàng)式，形如f（x）=a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an通常考慮用綜合除法來(lái)進(jìn)行因式分解。先寫(xiě)出最高次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的所有因子，然后寫(xiě)出所有可能的根（常數(shù)項(xiàng)因子除以最高次項(xiàng)系數(shù)的因子），最后利用綜合除法來(lái)一一驗(yàn)證。綜合除法是一種比帶余除法更簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式除法設(shè)f（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an并且設(shè)f（x）=（x-c）q（x）+r其中q（x）=b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…bn-2x+bn-1，按照下表的算法可以很快求出商式的系數(shù)和余式。

c|a0a1a2…an-1an

+cb0cb1…cbn-2cbn-1

b0b1b2…bn-1|r

下面以四次多項(xiàng)式為例說(shuō)明利用綜合除法分解因式的過(guò)程。

【例2】 分解因式f（x）=2x4+11x3+16x2+x-6。

解：觀察最高次項(xiàng)2x4的系數(shù)為2，因子有：±1，±2；常數(shù)項(xiàng)-6的因子有：±1，±2，±3；于是所有可能的根有：±1，±2，±3，±32，±12。其中f（1）=24，f-1=0，即-1是f（x）的根，然后用綜合除法一一試除，以2和-2為例：

2|211161-6

43092186

2154693|180

-2|211161-6

-4-14-46

272-3|0

由以上兩個(gè)綜合除法得知用-2除余式為0，即-2是原多項(xiàng)式的一個(gè)根。由綜合除法一一驗(yàn)算得用-1，-2，-3，12除多項(xiàng)式系數(shù)所得余式為零，即-1，-2，-3，12是上述多項(xiàng)式的根，即：

原式=（x+1）（x+2）（x+3）（2x-1）。

四、 待定系數(shù)法

所謂待定系數(shù)法簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是根據(jù)預(yù)先判斷的因式分解的形式，設(shè)出相應(yīng)的因式，然后用比較系數(shù)法解出未知數(shù)。待定系數(shù)法一般用于四次及以下的多項(xiàng)式，對(duì)更高次的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解使用此法，一是不容易判斷其因式分解的形式，二是次數(shù)越高計(jì)算量越大。下面以四次多項(xiàng)式為例說(shuō)明如何利用待定系數(shù)法分解因式。

【例3】 因式分解x4-x3+2x2-2x+4。

解：可以觀察到x4-x3+2x2-2x+4是首項(xiàng)系數(shù)為1的四次多項(xiàng)式，分解的形式只有兩種情況，一種是一個(gè)三次因式和一次因式，另一種是兩個(gè)二次因式。由綜合除法對(duì)所有可能的一次因式一一試除，所得余式都不為零?？梢灾郎鲜讲豢赡芊纸鉃橐粋€(gè)一次因式和一個(gè)三次因式的乘積，因此可設(shè)：

原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd

由此可得：a+c=-1，ac+b+d=2，ad+bc=-2，bd=4

解得：a=1，b=2，c=-2，d=2。即原式=（x2+x+2）（x2-2x+2）

五、 數(shù)列法分解因式

數(shù)列法適用于一些特殊的多項(xiàng)式，在因式分解中對(duì)于一些可看作等差數(shù)列或者是等比數(shù)列前n項(xiàng)和的多項(xiàng)式，我們就可利用有關(guān)的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算。下面以等比數(shù)列為例說(shuō)明數(shù)列法因式分解的具體運(yùn)算過(guò)程。

【例4】 分解因式x12+x9+x6+x3+1。

解：x12+x9+x6+x3+1=（x3）4+（x3）3+（x3）2+（x3）+1=（x3）5-1x3-1=（x5-1）x-1×x10+x5+1x2+x+1=（x+1）2（x+4）2

以上介紹了幾種技巧性較強(qiáng)的因式分解方法，我們知道多項(xiàng)式的因式分解方法多變，很多題目并不局限于單一的解法，有些甚至可以一題多解，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)生活中多學(xué)多練，不斷鉆研探索出更加簡(jiǎn)便而有趣的方法，使未來(lái)對(duì)多項(xiàng)式有更加深入的了解，對(duì)因式分解更加游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

[1]石函早，郭秀清.初等數(shù)學(xué)研究[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2015，8.

[2]畢嚴(yán)河.因式分解的方法技巧匯總[J].科技視界，2014（1）：277-279.

作者簡(jiǎn)介：

張姝同，常健，陜西省延安市，延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院。