淺談用旋轉(zhuǎn)法作輔助線證明幾何題—對2018年廣州市中考第25題的解讀與變式訓(xùn)練

廣東省廣州市聚德中學(xué)(510300) 江韻怡

1、試題呈現(xiàn)

(2018廣州中考第25題)如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

圖1

(1)求∠A+∠C的度數(shù);

(2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動,且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E運(yùn)動路徑的長度.

解(1)四邊形內(nèi)角和為360°,因?yàn)椤螧+∠D=90°,所以∠A+∠C=360°-90°=270°.

(2)將△BCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為△BAG,所以△BCD～=△BAG,所以BD=BG,∠BAG=∠BCD,CD=AG.因?yàn)椤螦BC=60°,所以∠DBG=60°,所以△BDG為等邊三角形,所以BD=BG=GD.由(1)得∠BAD+∠BCD=270°,所以∠BAD+∠BAG=270°,所以∠DAG=90°.在 Rt△ADG中,AD2+AG2=DG2,所以AF2+CD2=BD2.

圖2

圖3

(3)點(diǎn)E的運(yùn)動路徑的長度為如圖,因?yàn)锳B=AC,∠ABC=60°,所以△ABC為等邊三角形.在△ABC內(nèi)取點(diǎn)E,使∠BEC=150°,此時(shí)滿足AE2=BE2+CE2.證明如下,將△BEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AFC,則∠BEC=∠AFC=150°,則△ECF為等邊三角形EF=EC,所以∠ECF=60°,所以∠AFE=∠AFC-∠EFC=150°-60°=90°,所以AE2=EF2+AF2.因?yàn)镋F=EC,AF=BE,所以AE2=BE2+CE2.E在∠BEC為150°的圓周角的⊙I上,∠BHC=30°.因?yàn)锳B=BC=1,∠BIC=2∠BHC=60°,所以△IBC為等邊三角形,所以弧BC=

本題位于第25題,全卷的最后一題,是一道難題.本題條件較少,措詞簡單,圖形簡單僅僅只有一個(gè)不規(guī)則的四邊形,第一問非常容易,學(xué)生都很容易接受,考察四邊形內(nèi)角和定理,但這個(gè)問題其實(shí)意味深遠(yuǎn),給學(xué)生第二問以腳手架,并且別處心裁,學(xué)生很難聯(lián)想到270°的用法原來是利用360°-270°=90°,得到我們熟知的直角,虛者實(shí)之,妙不可言.

第二問探究三邊之間的關(guān)系,很容易聯(lián)想到割長補(bǔ)短等解題策略,但題者給出出乎意料的處理方法,題目條件中的連接BD,讓題目中的∠D=30°的特殊角給破壞了,引人深思.學(xué)生若能從已知AB=BC中頓悟到用旋轉(zhuǎn)輔助線將△BCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為△BAG破解了270度轉(zhuǎn)化到90度,所有問題都迎刃而解,精彩絕倫.

本題第3問,已知三邊的關(guān)系,求點(diǎn)E與定點(diǎn)A,B形成的角度.題者讓學(xué)生求解E的運(yùn)動路徑,也就是考察學(xué)生對弧長公式的理解與掌握程度.一個(gè)題目將四邊形,三角形,圓,旋轉(zhuǎn)等多個(gè)章節(jié)有機(jī)得結(jié)合在一起,從不同維度考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2、變式思考

對于此題目2,3問輔助線做法是比較有難度的.筆者進(jìn)行反思,得到以下變式思考,已達(dá)到訓(xùn)練的目的.

變式1一般等腰三角形中的應(yīng)用

如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC邊上任意一點(diǎn),求證:BD2+CD2=2AD2.

圖4

圖5

分析BD,CD,AD三個(gè)量分散在不同的三角形中,為了達(dá)到把它們集中在一起,并看到結(jié)論可以推想出勾股定理.條件AB=AC是作輔助線的關(guān)鍵,如圖5,把△ABD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,得到△ACE則△ABD全等于△ACE,將三邊集中到一個(gè)三角形中,同時(shí)利用題目條件∠BAC=90°證明三角形DEC為直角三角形,最后兩次利用勾股定理得到結(jié)論BD2+CD2=CD2+CE2=DE2=AD2+AE2即:BD2+CD2=2AD2.

變式2等邊三角形中的應(yīng)用如圖6,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=2,PB=PC=4,求∠APB的度數(shù).

圖6

圖7

分析同樣的題目中給出的三條線段都分散在各個(gè)三角形中,關(guān)鍵要充分利用等邊三角形三邊相等的條件,利用旋轉(zhuǎn)將三角形的三邊集中在一個(gè)三角形中,如圖7,把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABP′,再研究圖形中的各種關(guān)系,容易得到△APP′為等邊三角形,△BPP′為直角三角形,則∠APB=∠P′PA+∠P′PB=60°+90°=150°.

變式3在正方形中的應(yīng)用

如圖8,已知正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且AF平分∠DAE.求證:AE=DF+BE.

分析此題的做法很多,考慮到正方形的四邊相等這個(gè)信息,其中一種做法是學(xué)生可以利用旋轉(zhuǎn)將△ADF繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度(如圖9所示),從而將DF與BE邊拼在一起,然后證明它們與AE相等,得到結(jié)論AE=DF+BE.

圖8

圖9

3、回顧總結(jié)

使用旋轉(zhuǎn)法作輔助線就是在圖形具有等鄰邊特征時(shí),可以把圖形的某部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法.它具有以下特征:

1、旋轉(zhuǎn)方法主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來,從而為證明題目的結(jié)論創(chuàng)造必要的條件.

2、旋轉(zhuǎn)時(shí)要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的大小(三要素:中心、方向、大小),旋轉(zhuǎn)后注意得到哪些全等圖形,相等的角和相等的邊;

3、旋轉(zhuǎn)法作輔助線常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等具有相等鄰邊的圖形中.