用“非典型數(shù)學問題”的典型解法引導學生的創(chuàng)新思維

廣東省中山市華僑中學(528400) 羅志泉

我們的日常解題教學中,或者在解高考創(chuàng)新題的過程中,發(fā)現(xiàn)有一些數(shù)學問題,例如操作問題、邏輯推理問題等,不能用通常的數(shù)學方法來解;還有一些實際問題,研究的是事物的某種狀態(tài)或性質,其本身與數(shù)量無關,也不能用通常的數(shù)學方法來解.人們習慣上將上述的這類問題稱之為非典型數(shù)學問題.非典型數(shù)學問題近年來在各種數(shù)學競賽、數(shù)學建模競賽及數(shù)學知識應用競賽等賽題中頻頻出現(xiàn),特別是它與實際問題密切聯(lián)系,因此受到廣泛關注.

而所謂創(chuàng)新思維是一種突破常規(guī)的思維模式,它是在一定的知識積累之下才可能產生的,它的心理機質分為個四環(huán)節(jié),即創(chuàng)造透因,信息儲備,序化方式,創(chuàng)新結果.只有經過了前三個環(huán)節(jié),最后才能創(chuàng)造結果.這當中信息儲備就顯得尤為重要了,怎樣增強學生的信息儲備呢?教師可以利用這些非典型數(shù)學問題的獨特解法來激發(fā)學生的學習興趣,增強學生的信息儲備.本文介紹幾種常見的解題方法,以此來引導學生進行創(chuàng)新思維.

1、圖解法

例1(柳卡問題)假設每天中午有一艘輪船由哈佛開往紐約,同時也有一艘輪船由紐約開往哈佛,航行時間都為七晝夜,且均沿同一航線航行.問今天中午從哈佛開出的一艘輪船將會遇到幾艘從紐約開來的同一公司的輪船?

圖1

解用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達紐約,用從下到上的一條斜線表示.用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開出的輪船經7晝夜到達哈佛.顯然兩種斜線的交點總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘.

值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問題的一種簡單、美妙、不用數(shù)字計算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來解決這一類型的問題,請看下例:

例2(南昌高考模擬題)甲乙兩公交車往返于相距離24公里的A、B兩地之間,現(xiàn)兩車分別從兩地同時駛出,甲每小時行駛36公里,乙每小時行駛24公里,到達異地后立即返回,不計轉向時間,則從開始到4小時止,他們相遇次數(shù)為:

A.4次 B.5次 C.6次 D.7次

解由題意知,甲要小時往返一次,乙要2小時往返一次.以虛線表示乙,實線表示甲,作運行圖.從圖可知答案應選B,5次.

圖2

2、賦值法

賦值法解題,是對本身與數(shù)量無關的問題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉化成數(shù)量問題,然后利用整除性、奇偶性或正負號等的討論,使問題得以解決.

例3(江蘇高考模擬題)在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來的4枚棋子取走,以上算一次操作.證明:不論原來4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子. 解:乍看起來,這道題與數(shù)學關系不大,難點在于黑白子的分布沒有規(guī)律,而且題目中也沒有可供作數(shù)學運算的對象;看來,把問題轉化成明確的數(shù)學問題是最關鍵的一步.仔細研究變換規(guī)則,作一些聯(lián)想和對比,簡單地說,變換規(guī)則是:相鄰同色,中間放上黑子;相鄰異色,中間放白子.這就使我們聯(lián)想起乘法規(guī)則:同號相乘為正,異號相乘為負.因為只有白子、黑子之分,所以可用+1代表黑子,-1代表白子,黑子與白子之間放一個白子.正好用1×(-1)=(-1)×1=-1來表示;兩黑子之間及兩白子之間放一黑子,正好用(+1)×(+1)=(-1)×(-1)=1來表示,于是經過一次變換,即是用相鄰的兩個數(shù)相乘之后所得出的四個積來代替原來的四個數(shù).

設x1,x2,x3,x4分別表示開始時圓周上均勻放置的四枚棋子.由于每一個棋子可能為白子,也可能為黑子,因此x1,x2,x3,x4中的每個數(shù),即可能是+1,也可能是-1,連接進行三次變換,可產生以下情況(如下表所示):因為x21=x22=x23=x24=1,因此,經過三次變換后,四個數(shù)實際上都等于x1x2x3x4.如果這個數(shù)是1,那么已知全出現(xiàn)黑子.如果是-1,那么再進行一次變換,就會全部出現(xiàn)黑子,至此結論得證.

原式狀態(tài)第一次變換第二次變換第三次變換x1 x1x2 x1x22x3 x1x32x33x4 x2 x2x3 x2x23x4 x2x33x34x1 x3 x3x4 x3x24x1 x3x34x31x2 x4 x4x1 x4x21x2 x4x31x32x3

為了更好地理解這一結論,不妨看一個具體例子.假設四個棋子中,三黑一白,如下圖所示,果然不出四次變換,圓周上的棋子全是黑色的了.

圖3

用數(shù)學歸納法可以證明,一般情況下,若圓周上原來擺著2n枚棋子,最多操作2n次后一定全剩下黑子.

例4(江蘇高中聯(lián)賽)從10個英文字母A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z中任取5個字母(字母可以重復)組成一個詞,將所有可能的詞按“字典次序”排列,得到一個詞表:AAAAA,AAAAB,AAAAC,…AAAAZ,AAABA,AAABB,…DEGXY,DEGXZ,DEGYA,…ZZZZY,ZZZZZ.設位于CYZGB與XEFDA之間(除這兩個詞之外)的詞的個數(shù)為k,試寫出詞表中的第k個詞.

解把A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z這10個字母依次用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.表示,這樣問題中排列的單詞就變成了數(shù),0,1,2,3,…,99999.于是CYZGB,XEFDA分別變成了數(shù)28961,74530,k=74530-28961-1=45568,注意到AAAAA為0,故第k個詞所對應的數(shù)為45567,即:EFFGX.

3、抽屜原理

例5在平面上用A1,A2,···,A6來代表6個人,設它們無三點共線.將互相認識的兩人連一條紅線,否則連一條藍線.問題就轉化為:在這15條連線中要證明至少有一個同顏色的三角形.

證明考慮由A1出發(fā)的5條線,因為只有紅、藍兩種顏色(兩個抽屜),所以至少有3條為同色,不妨設A1A2,A1A3,A1A4為紅色.其次,再考慮△A2A3A4三邊的顏色,若均為藍色則結論成立(此三人互相不認識);否則,至少有一條邊為紅色,例如A2A3,則△A1A2A3的三邊都為紅色,結論也成立(此三人彼此都認識).

4、邏輯推理

例6要分派A,B,C,D,E五人去執(zhí)行一項任務,但按實際情況必須滿足以下條件:

(1)若A去,B也去;(2)D,E兩人中至少有一人去;

(3)B,C兩人中必須去且只能去一人;

(4)C,D都去或都不去;(5)E若去,則A,D都去.

問:應派誰們去?

解(逆推)若E去→A、D都去→B去→C不去→D不去,導自矛盾.所以E不能去.E不去→D去→C去→B不去→A不去,符合所有條件.所以應當派C、D去.

5、移植法

用一個學科的舊工具去解決另一學科的新問題,發(fā)現(xiàn)新的思維方法,我們姑且稱之為“移植”.

例7有1000個一模一樣的瓶子,其中999瓶是普通的水,有1瓶是毒藥.任何喝下毒藥的生物都會在一星期以內死亡.現(xiàn)在,你只有10只小白鼠和一星期的時間,如何檢驗出哪個瓶子里有毒藥?

解我們知道2的10次方等于1024,那么通過把瓶子編成二進制,同時把老鼠變成二進制的位置就可以分辨到底哪瓶水是毒藥:

1.把所有的瓶子編成1-1000的二進制,那么就是0000000001到1111101000

2.把老鼠分辨編成1-10號,分別對應二進制的第1位,第2位.....第10位

3.根據(jù)每瓶水的二進制代碼給老鼠喝水,該位置為1就給該位置的老鼠喝,為0就不喝,比如,0000000001就只給1號老鼠喝,0010010011,就給1號,2號,5號,8號老鼠喝

4.一星期后,看哪些老鼠死了,然后死的老鼠位為1,沒死的老鼠位為0,組成二進制數(shù),該數(shù)對應的瓶子編號就是有毒的編號

這個解法把二進制和十進制的轉換用到極致,實際上就是把具體事物移植到數(shù)字上來.

6、雜交法

運用舊學科的思想方法、基本觀點,滲透到新問題的研究中,從此誕生了新的概念,新的思想方法,這樣的思維飛躍姑且稱之為“雜交”.

例8A1,A2,···,An為空間n個點,P為任一點,G為A1,A2,···,An的重心,證明:PA21+PA22+···+PA2n≥GA21+GA22+···+GA2n.

解用表示向量(i=1,2,···,n),表 示向量表示向量則有:所以所以,

引導學生進行創(chuàng)新思維,最首要的是知識和方法的積累,這體現(xiàn)在不限學科、不限方法、不限常規(guī)的多角度,多層次地學習.如果我們教師平時注意引導,相信會收到良好的效果.