對(duì)角線互相垂直的四邊形的性質(zhì)之一

北京師范大學(xué)出版集團(tuán)(100875) 岳昌慶

菱形及正方形的兩條對(duì)角線互相垂直,那么對(duì)角線互相垂直的四邊形都有哪些性質(zhì)呢?

(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半.

(2)順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四邊中點(diǎn),所得四邊形為矩形.

(3)對(duì)角線互相垂直的四邊形,一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和.

(4)如果四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,那么它的對(duì)角線互相垂直.

(5)若圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直,則由對(duì)角線交點(diǎn)所引一邊之垂線必平分其對(duì)邊.

還有其他性質(zhì),不再一一列舉.

性質(zhì)1-2的證明顯然,也屢次出現(xiàn)在中考、高考數(shù)學(xué)試題中,本文不再贅述.僅就性質(zhì)3-4談一點(diǎn)趣用(性質(zhì)5,筆者也有專文論述,此處限于篇幅,不涉及)

例1已知:如圖1,四邊形ABCD中,AC⊥BD于O.求證:AB2+CD2=AD2+BC2.

圖1

簡(jiǎn)證在Rt△AOB中,AB2=AO2+BO2,在Rt△COD中,CD2=CO2+DO2.所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,同理AD2+BC2=AO2+BO2+CO2+DO2,所以AB2+CD2=AD2+BC2.

評(píng)注對(duì)角線互相垂直的四邊形,一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和.

試問:上述命題的逆命題是否正確?答案是:逆命題也成立,即

例2已知:如圖2,四邊形ABCD中,AC,BD交于O且AB2+CD2=AD2+BC2.求證:AC⊥BD.

圖2

簡(jiǎn)證作AE⊥BD于E,作CF⊥BD于F,由勾股定理得AB2+CD2=AE2+BE2+CF2+DF2,AD2+BC2=AE2+DE2+BF2+CF2,由已知AB2+CD2=AD2+BC2可得BE2+DF2=DE2+BF2,即DF2-DE2=BF2-BE2,(DF+DE)(DF-DE)=(BF+BE)(BF-BE),-(DF+DE)FE=(BF+BE)FE,所以,2BD·FE=0,又BD/=0,所以FE=0,即F,E重合,所以AC⊥BD.

評(píng)注(1)如果四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和,那么該四邊形的兩對(duì)角線必互相垂直.

(2)本質(zhì)上本題證法是同一法.

(3)高一學(xué)習(xí)了余弦定理、向量、平面解析幾何中的解析法證明后,均可輕松獲證.

例3(1999年中考上海市卷第20題2分壓軸題)(2000年中考山東省卷第18題3分)四邊形ABCD中,如果____,那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線AC和BD互相垂直(只需填出使結(jié)果成立的一種情況即可).

解(1)四邊形ABCD是正方形;

或(2)四邊形ABCD是菱形;

或(3AB=AD,BC=CD;

或(4)AB2+CD2=AD2+BC2,等

評(píng)注(1)(2)是考生常見答案,(3)也有相當(dāng)一部分考生能答得上,能答得出(4)的幾乎是鳳毛麟角了.